# 第 21910 題：全期望公式 [返回所在分頁 110](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/110/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261109-r04-law-of-total-expectation-foundations/#q-20261014-advance-20261109-r04-law-of-total-expectation-0010) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0042-21910 · q-20261014-advance-20261109-r04-law-of-total-expectation-0010 ## 原題與已知條件 同一有限probability space上的完整disjoint partition與integrable X。操作=totalexp-partition-audit；資料={"masses":[[1,19],[2,19],[16,19],[0,1]],"values":[9,10,12,108],"partition":[[0,1],[2,3]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 同一有限probability space上的完整disjoint partition與integrable X。操作=totalexp-partition-audit；資料={"masses":[[1,19],[2,19],[16,19],[0,1]],"values":[9,10,12,108],"partition":[[0,1],[2,3]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-law-of-total-expectation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-law-of-total-expectation/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=totalexp-partition-audit;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[partition, cell_masses, complete_disjoint_certificate, mean] 條件：無 原題歷史介面標記保留，本頁直接列來源有序欄位，不需JavaScript。tag不是額外證據，固定No保留其原聲稱範圍。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Total expectation complete original mass := sum(1/19, 2/19, 16/19, 0) 操作後 Total expectation complete original mass = 1 條件：無 保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Total expectation original atom0 weighted X := mul(1/19, 9) 操作後 Total expectation original atom0 weighted X = 9/19 條件：無 保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Total expectation original atom1 weighted X := mul(2/19, 10) 操作後 Total expectation original atom1 weighted X = 20/19 條件：無 保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Total expectation original atom2 weighted X := mul(16/19, 12) 操作後 Total expectation original atom2 weighted X = 192/19 條件：無 保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Total expectation original atom3 weighted X := mul(0, 108) 操作後 Total expectation original atom3 weighted X = 0 條件：無 保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Total expectation full original mean := sum(9/19, 20/19, 192/19, 0) 操作後 Total expectation full original mean = 221/19 條件：無 保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 ORIGINAL masses=[1/19, 2/19, 16/19, 0],SIGNED values X=[9, 10, 12, 108];ORIGINAL cell order=[[0, 1], [2, 3]] 操作後 flattened original atom labels=[0, 1, 2, 3] cover EVERY atom exactly ONCE including null atoms;total mass=1;integrable finite mean=221/19;NO independence premise 條件：無 分割必涵蓋全部原子，包括零質量點；cell順序保原輸入，cell內按來源排序。X可負，有限值可積；獨立性不是全期望公式的前提。 步驟識別與依賴規則：totalexp_same_law_complete_disjoint_partition_all_atoms · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Total expectation cell0 mass := sum(1/19, 2/19) 操作後 Total expectation cell0 mass = 3/19 條件：無 保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Total expectation cell0 numerator := sum(9/19, 20/19) 操作後 Total expectation cell0 numerator = 29/19 條件：無 保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Total expectation cell0 positive-mass conditional mean := div(29/19, 3/19) 操作後 Total expectation cell0 positive-mass conditional mean = 29/3 條件：無 保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 ORIGINAL cell index=0,atom labels=[0, 1];mass=3/19;weighted numerator=29/19 操作後 conditional quotient=29/3;positive denominator qualifies division 條件：無 正cell質量才可取條件均值比值。零cell中所有非負原子質量皆0，故分子0但0/0未定義；null不能當已算出的0。空cell亦屬此情況。 步驟識別與依賴規則：totalexp_cell_quotient_positive_mass_only_null_preserved · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Total expectation cell1 mass := sum(16/19, 0) 操作後 Total expectation cell1 mass = 16/19 條件：無 保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Total expectation cell1 numerator := sum(192/19, 0) 操作後 Total expectation cell1 numerator = 192/19 條件：無 保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Total expectation cell1 positive-mass conditional mean := div(192/19, 16/19) 操作後 Total expectation cell1 positive-mass conditional mean = 12 條件：無 保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 ORIGINAL cell index=1,atom labels=[2, 3];mass=16/19;weighted numerator=192/19 操作後 conditional quotient=12;positive denominator qualifies division 條件：無 正cell質量才可取條件均值比值。零cell中所有非負原子質量皆0，故分子0但0/0未定義；null不能當已算出的0。空cell亦屬此情況。 步驟識別與依賴規則：totalexp_cell_quotient_positive_mass_only_null_preserved · 依賴：G001, S015 ## 逐步反向核對 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation cell1 positive-mass conditional mean，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation cell1 numerator，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation cell1 mass，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation cell0 positive-mass conditional mean，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation cell0 numerator，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation cell0 mass，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation full original mean，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation original atom3 weighted X，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation original atom2 weighted X，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation original atom1 weighted X，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation original atom0 weighted X，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Total expectation complete original mass，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([[0, 1], [2, 3]], [[0, 3/19], [1, 16/19]], 是, 221/19) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 06eaa6a284169148bdac99a5384eb5de5fda8e07060106992999ef222307edf4 - candidate record SHA-256: 0ea9da5a8ec9b5d8ff2ebfbdecad3f5fb2f48e580680248a89cab308f4d9f2c8 - semantic review receipt SHA-256: dd44555041dfbb6fe9936aa00b9a5f8c5982c2784ef61dd0cbd5d1a303a49c1a - question-first witness SHA-256: 9a6011263f6ac53b9a1fd57addf2f3e2f6088b54802c539f332d689480dc2d17 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261109-r04-law-of-total-expectation-0010.json)