# 第 421 題：二項式定理 [返回所在分頁 3](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/3/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-foundations/#q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0021) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 P1000-0421 · q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0021 ## 原題與已知條件 commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-coefficient；資料={"n":20,"k":20}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-coefficient；資料={"n":20,"k":20}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 0≤k≤n 的整數計數；C(n,k) 為選 k 個位置的子集數，補集雙射給出對稱性。 - [mko-binomial-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-binomial-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 n=20≥0; multiplication commutes 操作後 group the finite product by the number of y choices 條件：無 每個因子選x或y，依選y的次數分組，係數先作整數計數。 步驟識別與依賴規則：commutative_product · 依賴：G001 S002 · implies操作前 choose 20 positions out of 20 操作後 C(20,20)=2432902008176640000/(2432902008176640000·1)=1 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 choose 0 positions out of 20 操作後 C(20,0)=2432902008176640000/(1·2432902008176640000)=1 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 choose subset of size 20 操作後 its complement has size 0 條件：無 取補集是互逆映射，因此這兩個選法數目相同。 步驟識別與依賴規則：subset_complement_bijection · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 C(20,20)=1; C(20,0)=1 操作後 symmetric coefficients equal: 是 條件：無 數值核對符合補集雙射；n=0仍只有空子集一種。 步驟識別與依賴規則：coefficient_symmetry · 依賴：G001, S004 ## 逐步反向核對 - S005 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S004 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S003 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S002 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S001 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 ## 結論 (20, 20, 1, 1, 是) 上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 34606b508cb09a2fde4e0597cc715ba866919f3f668f72c6ad223852fc52c7dc - candidate record SHA-256: f08662f0a431da75e80f67de66cc4c3f1368b80f4535fbc10246b7e76be5db8f - semantic review receipt SHA-256: 6c2c6d46aded7582a11ac41a8c0b3bdde2669a53bdb6e796eea2039994a02772 - question-first witness SHA-256: 77e43898df9efdbf8094ad81fe4ab91cf4b4bd82f481eb9b4699b73cb4da612b - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0021.json)