# 第 79 題：二項式定理 [返回所在分頁 1](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-foundations/#q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0029) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 P250-0079 · q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0029 ## 原題與已知條件 commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 n 是非負整數，x 與 y 可交換；n=0 使用多項式空乘積單位元。 - [mko-binomial-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-binomial-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 n=3≥0; x,y commute 操作後 (x+y)^3 is a finite product of 3 factors 條件：無 每個因子選 x 或 y，且乘法可交換，才能按 y 的選取次數合併同類項。 步驟識別與依賴規則：finite_product · 依賴：G001 S002 · implies操作前 choose exactly 0 of 3 factors to contribute y 操作後 C(3,0)=6/(1·6)=1 條件：無 先排列 3 個位置，再除掉 0 個 y 位置與 3 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 C(3,0)=1; choose y 0 times 操作後 1·x^3·y^0 條件：無 相應的 x 次數為 3-0=3；指數相加仍為 3。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 choose exactly 1 of 3 factors to contribute y 操作後 C(3,1)=6/(1·2)=3 條件：無 先排列 3 個位置，再除掉 1 個 y 位置與 2 個 x 位置各自的重排，得到係數 3。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 C(3,1)=3; choose y 1 times 操作後 3·x^2·y^1 條件：無 相應的 x 次數為 3-1=2；指數相加仍為 3。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 choose exactly 2 of 3 factors to contribute y 操作後 C(3,2)=6/(2·1)=3 條件：無 先排列 3 個位置，再除掉 2 個 y 位置與 1 個 x 位置各自的重排，得到係數 3。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 C(3,2)=3; choose y 2 times 操作後 3·x^1·y^2 條件：無 相應的 x 次數為 3-2=1；指數相加仍為 3。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 choose exactly 3 of 3 factors to contribute y 操作後 C(3,3)=6/(6·1)=1 條件：無 先排列 3 個位置，再除掉 3 個 y 位置與 0 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 C(3,3)=1; choose y 3 times 操作後 1·x^0·y^3 條件：無 相應的 x 次數為 3-3=0；指數相加仍為 3。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 all k=0 through 3 have been accounted for 操作後 (x+y)^3=1·x^3·y^0 + 3·x^2·y^1 + 3·x^1·y^2 + 1·x^0·y^3 條件：無 每一種 x/y 選取都落入唯一的 k 類，因此這是完整有限展開，不是只列頭尾項。 步驟識別與依賴規則：collect_all_terms · 依賴：G001, S009 ## 逐步反向核對 - S010 · premise_and_result_audit — 共有 n+1 個係數位置，k 的全範圍逐一保留。 - S009 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S008 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S007 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S006 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S005 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S004 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S003 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S002 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S001 · premise_and_result_audit — 此處不是非整數次方的無窮級數，也不套用到不可交換乘法。 ## 結論 (3, [[0, 1, 3, 0], [1, 3, 2, 1], [2, 3, 1, 2], [3, 1, 0, 3]], complete_k_zero_through_n_coefficients) 完整展開如上述所有單項式；欄序表逐項對應。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-24 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: cf4e1f7f8d78ed60f943b2d479df01c4f91916a75a398eaa11210089550988c2 - candidate record SHA-256: 21b2626189c705dc0737559d187bef9356d1ac50e4d45f57126d8f37e0d9daca - semantic review receipt SHA-256: 4727d1bd957a9b7f6cadb7972ddb5ab80a31f5259dc5394c1dff2b71944ed36b - question-first witness SHA-256: 51e18649133238ac992229f6e16542a5f3af53ca73b2262ab0524508ea937dee - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0029.json)