# 第 80 題：二項式定理

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P250-0080 · q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0030



## 原題與已知條件

commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":4}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":4}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

n 是非負整數，x 與 y 可交換；n=0 使用多項式空乘積單位元。


- [mko-binomial-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-binomial-theorem/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

n=4≥0; x,y commute

操作後

(x+y)^4 is a finite product of 4 factors

條件：無

每個因子選 x 或 y，且乘法可交換，才能按 y 的選取次數合併同類項。

步驟識別與依賴規則：finite_product · 依賴：G001





S002 · implies操作前

choose exactly 0 of 4 factors to contribute y

操作後

C(4,0)=24/(1·24)=1

條件：無

先排列 4 個位置，再除掉 0 個 y 位置與 4 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

C(4,0)=1; choose y 0 times

操作後

1·x^4·y^0

條件：無

相應的 x 次數為 4-0=4；指數相加仍為 4。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

choose exactly 1 of 4 factors to contribute y

操作後

C(4,1)=24/(1·6)=4

條件：無

先排列 4 個位置，再除掉 1 個 y 位置與 3 個 x 位置各自的重排，得到係數 4。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

C(4,1)=4; choose y 1 times

操作後

4·x^3·y^1

條件：無

相應的 x 次數為 4-1=3；指數相加仍為 4。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

choose exactly 2 of 4 factors to contribute y

操作後

C(4,2)=24/(2·2)=6

條件：無

先排列 4 個位置，再除掉 2 個 y 位置與 2 個 x 位置各自的重排，得到係數 6。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

C(4,2)=6; choose y 2 times

操作後

6·x^2·y^2

條件：無

相應的 x 次數為 4-2=2；指數相加仍為 4。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

choose exactly 3 of 4 factors to contribute y

操作後

C(4,3)=24/(6·1)=4

條件：無

先排列 4 個位置，再除掉 3 個 y 位置與 1 個 x 位置各自的重排，得到係數 4。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

C(4,3)=4; choose y 3 times

操作後

4·x^1·y^3

條件：無

相應的 x 次數為 4-3=1；指數相加仍為 4。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

choose exactly 4 of 4 factors to contribute y

操作後

C(4,4)=24/(24·1)=1

條件：無

先排列 4 個位置，再除掉 4 個 y 位置與 0 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

C(4,4)=1; choose y 4 times

操作後

1·x^0·y^4

條件：無

相應的 x 次數為 4-4=0；指數相加仍為 4。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

all k=0 through 4 have been accounted for

操作後

(x+y)^4=1·x^4·y^0 + 4·x^3·y^1 + 6·x^2·y^2 + 4·x^1·y^3 + 1·x^0·y^4

條件：無

每一種 x/y 選取都落入唯一的 k 類，因此這是完整有限展開，不是只列頭尾項。

步驟識別與依賴規則：collect_all_terms · 依賴：G001, S011









## 逐步反向核對


- S012 · premise_and_result_audit — 共有 n+1 個係數位置，k 的全範圍逐一保留。
- S011 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S010 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S009 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S008 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S007 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S006 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S005 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S004 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S003 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S002 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S001 · premise_and_result_audit — 此處不是非整數次方的無窮級數，也不套用到不可交換乘法。





## 結論

(4, [[0, 1, 4, 0], [1, 4, 3, 1], [2, 6, 2, 2], [3, 4, 1, 3], [4, 1, 0, 4]], complete_k_zero_through_n_coefficients)

完整展開如上述所有單項式；欄序表逐項對應。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-24

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 3aab3830ab5e3dd310ade7aaa3decdad12221ba23cfbe5c57986a4dc6d814082
- candidate record SHA-256: 5e7c6a058b4e8278cfa800d3aec66c838a2de5a560f8155e6b06c6f00fae7d76
- semantic review receipt SHA-256: 4727d1bd957a9b7f6cadb7972ddb5ab80a31f5259dc5394c1dff2b71944ed36b
- question-first witness SHA-256: 51e18649133238ac992229f6e16542a5f3af53ca73b2262ab0524508ea937dee
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0030.json)