# 第 81 題：二項式定理

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P250-0081 · q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0031



## 原題與已知條件

commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":5}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":5}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

n 是非負整數，x 與 y 可交換；n=0 使用多項式空乘積單位元。


- [mko-binomial-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-binomial-theorem/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

n=5≥0; x,y commute

操作後

(x+y)^5 is a finite product of 5 factors

條件：無

每個因子選 x 或 y，且乘法可交換，才能按 y 的選取次數合併同類項。

步驟識別與依賴規則：finite_product · 依賴：G001





S002 · implies操作前

choose exactly 0 of 5 factors to contribute y

操作後

C(5,0)=120/(1·120)=1

條件：無

先排列 5 個位置，再除掉 0 個 y 位置與 5 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

C(5,0)=1; choose y 0 times

操作後

1·x^5·y^0

條件：無

相應的 x 次數為 5-0=5；指數相加仍為 5。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

choose exactly 1 of 5 factors to contribute y

操作後

C(5,1)=120/(1·24)=5

條件：無

先排列 5 個位置，再除掉 1 個 y 位置與 4 個 x 位置各自的重排，得到係數 5。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

C(5,1)=5; choose y 1 times

操作後

5·x^4·y^1

條件：無

相應的 x 次數為 5-1=4；指數相加仍為 5。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

choose exactly 2 of 5 factors to contribute y

操作後

C(5,2)=120/(2·6)=10

條件：無

先排列 5 個位置，再除掉 2 個 y 位置與 3 個 x 位置各自的重排，得到係數 10。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

C(5,2)=10; choose y 2 times

操作後

10·x^3·y^2

條件：無

相應的 x 次數為 5-2=3；指數相加仍為 5。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

choose exactly 3 of 5 factors to contribute y

操作後

C(5,3)=120/(6·2)=10

條件：無

先排列 5 個位置，再除掉 3 個 y 位置與 2 個 x 位置各自的重排，得到係數 10。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

C(5,3)=10; choose y 3 times

操作後

10·x^2·y^3

條件：無

相應的 x 次數為 5-3=2；指數相加仍為 5。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

choose exactly 4 of 5 factors to contribute y

操作後

C(5,4)=120/(24·1)=5

條件：無

先排列 5 個位置，再除掉 4 個 y 位置與 1 個 x 位置各自的重排，得到係數 5。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

C(5,4)=5; choose y 4 times

操作後

5·x^1·y^4

條件：無

相應的 x 次數為 5-4=1；指數相加仍為 5。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

choose exactly 5 of 5 factors to contribute y

操作後

C(5,5)=120/(120·1)=1

條件：無

先排列 5 個位置，再除掉 5 個 y 位置與 0 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

C(5,5)=1; choose y 5 times

操作後

1·x^0·y^5

條件：無

相應的 x 次數為 5-5=0；指數相加仍為 5。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

all k=0 through 5 have been accounted for

操作後

(x+y)^5=1·x^5·y^0 + 5·x^4·y^1 + 10·x^3·y^2 + 10·x^2·y^3 + 5·x^1·y^4 + 1·x^0·y^5

條件：無

每一種 x/y 選取都落入唯一的 k 類，因此這是完整有限展開，不是只列頭尾項。

步驟識別與依賴規則：collect_all_terms · 依賴：G001, S013









## 逐步反向核對


- S014 · premise_and_result_audit — 共有 n+1 個係數位置，k 的全範圍逐一保留。
- S013 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S012 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S011 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S010 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S009 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S008 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S007 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S006 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S005 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S004 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S003 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S002 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S001 · premise_and_result_audit — 此處不是非整數次方的無窮級數，也不套用到不可交換乘法。





## 結論

(5, [[0, 1, 5, 0], [1, 5, 4, 1], [2, 10, 3, 2], [3, 10, 2, 3], [4, 5, 1, 4], [5, 1, 0, 5]], complete_k_zero_through_n_coefficients)

完整展開如上述所有單項式；欄序表逐項對應。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-24

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: f3c3e4ccc308bcd901b24542db12b5c2a10f1d605f9acf9a7cc4b678b82b2f78
- candidate record SHA-256: ae70e48aa29ca598890a106deba0c23e910d96caacc943e7ee4dcf7aa7b47bab
- semantic review receipt SHA-256: 4727d1bd957a9b7f6cadb7972ddb5ab80a31f5259dc5394c1dff2b71944ed36b
- question-first witness SHA-256: 51e18649133238ac992229f6e16542a5f3af53ca73b2262ab0524508ea937dee
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0031.json)