# 第 82 題：二項式定理 [返回所在分頁 1](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-foundations/#q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0032) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 P250-0082 · q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0032 ## 原題與已知條件 commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":6}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":6}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 n 是非負整數，x 與 y 可交換；n=0 使用多項式空乘積單位元。 - [mko-binomial-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-binomial-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 n=6≥0; x,y commute 操作後 (x+y)^6 is a finite product of 6 factors 條件：無 每個因子選 x 或 y，且乘法可交換，才能按 y 的選取次數合併同類項。 步驟識別與依賴規則：finite_product · 依賴：G001 S002 · implies操作前 choose exactly 0 of 6 factors to contribute y 操作後 C(6,0)=720/(1·720)=1 條件：無 先排列 6 個位置，再除掉 0 個 y 位置與 6 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 C(6,0)=1; choose y 0 times 操作後 1·x^6·y^0 條件：無 相應的 x 次數為 6-0=6；指數相加仍為 6。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 choose exactly 1 of 6 factors to contribute y 操作後 C(6,1)=720/(1·120)=6 條件：無 先排列 6 個位置，再除掉 1 個 y 位置與 5 個 x 位置各自的重排，得到係數 6。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 C(6,1)=6; choose y 1 times 操作後 6·x^5·y^1 條件：無 相應的 x 次數為 6-1=5；指數相加仍為 6。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 choose exactly 2 of 6 factors to contribute y 操作後 C(6,2)=720/(2·24)=15 條件：無 先排列 6 個位置，再除掉 2 個 y 位置與 4 個 x 位置各自的重排，得到係數 15。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 C(6,2)=15; choose y 2 times 操作後 15·x^4·y^2 條件：無 相應的 x 次數為 6-2=4；指數相加仍為 6。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 choose exactly 3 of 6 factors to contribute y 操作後 C(6,3)=720/(6·6)=20 條件：無 先排列 6 個位置，再除掉 3 個 y 位置與 3 個 x 位置各自的重排，得到係數 20。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 C(6,3)=20; choose y 3 times 操作後 20·x^3·y^3 條件：無 相應的 x 次數為 6-3=3；指數相加仍為 6。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 choose exactly 4 of 6 factors to contribute y 操作後 C(6,4)=720/(24·2)=15 條件：無 先排列 6 個位置，再除掉 4 個 y 位置與 2 個 x 位置各自的重排，得到係數 15。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 C(6,4)=15; choose y 4 times 操作後 15·x^2·y^4 條件：無 相應的 x 次數為 6-4=2；指數相加仍為 6。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 choose exactly 5 of 6 factors to contribute y 操作後 C(6,5)=720/(120·1)=6 條件：無 先排列 6 個位置，再除掉 5 個 y 位置與 1 個 x 位置各自的重排，得到係數 6。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 C(6,5)=6; choose y 5 times 操作後 6·x^1·y^5 條件：無 相應的 x 次數為 6-5=1；指數相加仍為 6。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 choose exactly 6 of 6 factors to contribute y 操作後 C(6,6)=720/(720·1)=1 條件：無 先排列 6 個位置，再除掉 6 個 y 位置與 0 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 C(6,6)=1; choose y 6 times 操作後 1·x^0·y^6 條件：無 相應的 x 次數為 6-6=0；指數相加仍為 6。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 all k=0 through 6 have been accounted for 操作後 (x+y)^6=1·x^6·y^0 + 6·x^5·y^1 + 15·x^4·y^2 + 20·x^3·y^3 + 15·x^2·y^4 + 6·x^1·y^5 + 1·x^0·y^6 條件：無 每一種 x/y 選取都落入唯一的 k 類，因此這是完整有限展開，不是只列頭尾項。 步驟識別與依賴規則：collect_all_terms · 依賴：G001, S015 ## 逐步反向核對 - S016 · premise_and_result_audit — 共有 n+1 個係數位置，k 的全範圍逐一保留。 - S015 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S014 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S013 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S012 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S011 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S010 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S009 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S008 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S007 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S006 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S005 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S004 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S003 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S002 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S001 · premise_and_result_audit — 此處不是非整數次方的無窮級數，也不套用到不可交換乘法。 ## 結論 (6, [[0, 1, 6, 0], [1, 6, 5, 1], [2, 15, 4, 2], [3, 20, 3, 3], [4, 15, 2, 4], [5, 6, 1, 5], [6, 1, 0, 6]], complete_k_zero_through_n_coefficients) 完整展開如上述所有單項式；欄序表逐項對應。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-24 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 16bf39eb4083814e2793cbfe26a705eae841583efe8149c59412e44ed9c19385 - candidate record SHA-256: 2531e6633211868ae41db4ca6648e59dc84c9ffefe9457cecf6fe026ea0c19ba - semantic review receipt SHA-256: 4727d1bd957a9b7f6cadb7972ddb5ab80a31f5259dc5394c1dff2b71944ed36b - question-first witness SHA-256: 51e18649133238ac992229f6e16542a5f3af53ca73b2262ab0524508ea937dee - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0032.json)