# 第 84 題：二項式定理

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P250-0084 · q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0034



## 原題與已知條件

commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":8}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":8}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

n 是非負整數，x 與 y 可交換；n=0 使用多項式空乘積單位元。


- [mko-binomial-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-binomial-theorem/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

n=8≥0; x,y commute

操作後

(x+y)^8 is a finite product of 8 factors

條件：無

每個因子選 x 或 y，且乘法可交換，才能按 y 的選取次數合併同類項。

步驟識別與依賴規則：finite_product · 依賴：G001





S002 · implies操作前

choose exactly 0 of 8 factors to contribute y

操作後

C(8,0)=40320/(1·40320)=1

條件：無

先排列 8 個位置，再除掉 0 個 y 位置與 8 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

C(8,0)=1; choose y 0 times

操作後

1·x^8·y^0

條件：無

相應的 x 次數為 8-0=8；指數相加仍為 8。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

choose exactly 1 of 8 factors to contribute y

操作後

C(8,1)=40320/(1·5040)=8

條件：無

先排列 8 個位置，再除掉 1 個 y 位置與 7 個 x 位置各自的重排，得到係數 8。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

C(8,1)=8; choose y 1 times

操作後

8·x^7·y^1

條件：無

相應的 x 次數為 8-1=7；指數相加仍為 8。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

choose exactly 2 of 8 factors to contribute y

操作後

C(8,2)=40320/(2·720)=28

條件：無

先排列 8 個位置，再除掉 2 個 y 位置與 6 個 x 位置各自的重排，得到係數 28。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

C(8,2)=28; choose y 2 times

操作後

28·x^6·y^2

條件：無

相應的 x 次數為 8-2=6；指數相加仍為 8。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

choose exactly 3 of 8 factors to contribute y

操作後

C(8,3)=40320/(6·120)=56

條件：無

先排列 8 個位置，再除掉 3 個 y 位置與 5 個 x 位置各自的重排，得到係數 56。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

C(8,3)=56; choose y 3 times

操作後

56·x^5·y^3

條件：無

相應的 x 次數為 8-3=5；指數相加仍為 8。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

choose exactly 4 of 8 factors to contribute y

操作後

C(8,4)=40320/(24·24)=70

條件：無

先排列 8 個位置，再除掉 4 個 y 位置與 4 個 x 位置各自的重排，得到係數 70。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

C(8,4)=70; choose y 4 times

操作後

70·x^4·y^4

條件：無

相應的 x 次數為 8-4=4；指數相加仍為 8。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

choose exactly 5 of 8 factors to contribute y

操作後

C(8,5)=40320/(120·6)=56

條件：無

先排列 8 個位置，再除掉 5 個 y 位置與 3 個 x 位置各自的重排，得到係數 56。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

C(8,5)=56; choose y 5 times

操作後

56·x^3·y^5

條件：無

相應的 x 次數為 8-5=3；指數相加仍為 8。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

choose exactly 6 of 8 factors to contribute y

操作後

C(8,6)=40320/(720·2)=28

條件：無

先排列 8 個位置，再除掉 6 個 y 位置與 2 個 x 位置各自的重排，得到係數 28。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S013





S015 · implies操作前

C(8,6)=28; choose y 6 times

操作後

28·x^2·y^6

條件：無

相應的 x 次數為 8-6=2；指數相加仍為 8。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S014





S016 · implies操作前

choose exactly 7 of 8 factors to contribute y

操作後

C(8,7)=40320/(5040·1)=8

條件：無

先排列 8 個位置，再除掉 7 個 y 位置與 1 個 x 位置各自的重排，得到係數 8。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S015





S017 · implies操作前

C(8,7)=8; choose y 7 times

操作後

8·x^1·y^7

條件：無

相應的 x 次數為 8-7=1；指數相加仍為 8。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S016





S018 · implies操作前

choose exactly 8 of 8 factors to contribute y

操作後

C(8,8)=40320/(40320·1)=1

條件：無

先排列 8 個位置，再除掉 8 個 y 位置與 0 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S017





S019 · implies操作前

C(8,8)=1; choose y 8 times

操作後

1·x^0·y^8

條件：無

相應的 x 次數為 8-8=0；指數相加仍為 8。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S018





S020 · implies操作前

all k=0 through 8 have been accounted for

操作後

(x+y)^8=1·x^8·y^0 + 8·x^7·y^1 + 28·x^6·y^2 + 56·x^5·y^3 + 70·x^4·y^4 + 56·x^3·y^5 + 28·x^2·y^6 + 8·x^1·y^7 + 1·x^0·y^8

條件：無

每一種 x/y 選取都落入唯一的 k 類，因此這是完整有限展開，不是只列頭尾項。

步驟識別與依賴規則：collect_all_terms · 依賴：G001, S019









## 逐步反向核對


- S020 · premise_and_result_audit — 共有 n+1 個係數位置，k 的全範圍逐一保留。
- S019 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S018 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S017 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S016 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S015 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S014 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S013 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S012 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S011 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S010 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S009 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S008 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S007 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S006 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S005 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S004 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S003 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S002 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S001 · premise_and_result_audit — 此處不是非整數次方的無窮級數，也不套用到不可交換乘法。





## 結論

(8, [[0, 1, 8, 0], [1, 8, 7, 1], [2, 28, 6, 2], [3, 56, 5, 3], [4, 70, 4, 4], [5, 56, 3, 5], [6, 28, 2, 6], [7, 8, 1, 7], [8, 1, 0, 8]], complete_k_zero_through_n_coefficients)

完整展開如上述所有單項式；欄序表逐項對應。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-24

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: dc9f23a697f7335087267e53580835ab8bfeb8a2899be3d531f640fdfc845f21
- candidate record SHA-256: 4328835a5349426dcc0c743989a14d45df7a730e3e30adfda142b282dfb004f2
- semantic review receipt SHA-256: 4727d1bd957a9b7f6cadb7972ddb5ab80a31f5259dc5394c1dff2b71944ed36b
- question-first witness SHA-256: 51e18649133238ac992229f6e16542a5f3af53ca73b2262ab0524508ea937dee
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0034.json)