# 第 85 題：二項式定理

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P250-0085 · q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0035



## 原題與已知條件

commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":9}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":9}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

n 是非負整數，x 與 y 可交換；n=0 使用多項式空乘積單位元。


- [mko-binomial-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-binomial-theorem/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

n=9≥0; x,y commute

操作後

(x+y)^9 is a finite product of 9 factors

條件：無

每個因子選 x 或 y，且乘法可交換，才能按 y 的選取次數合併同類項。

步驟識別與依賴規則：finite_product · 依賴：G001





S002 · implies操作前

choose exactly 0 of 9 factors to contribute y

操作後

C(9,0)=362880/(1·362880)=1

條件：無

先排列 9 個位置，再除掉 0 個 y 位置與 9 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

C(9,0)=1; choose y 0 times

操作後

1·x^9·y^0

條件：無

相應的 x 次數為 9-0=9；指數相加仍為 9。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

choose exactly 1 of 9 factors to contribute y

操作後

C(9,1)=362880/(1·40320)=9

條件：無

先排列 9 個位置，再除掉 1 個 y 位置與 8 個 x 位置各自的重排，得到係數 9。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

C(9,1)=9; choose y 1 times

操作後

9·x^8·y^1

條件：無

相應的 x 次數為 9-1=8；指數相加仍為 9。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

choose exactly 2 of 9 factors to contribute y

操作後

C(9,2)=362880/(2·5040)=36

條件：無

先排列 9 個位置，再除掉 2 個 y 位置與 7 個 x 位置各自的重排，得到係數 36。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

C(9,2)=36; choose y 2 times

操作後

36·x^7·y^2

條件：無

相應的 x 次數為 9-2=7；指數相加仍為 9。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

choose exactly 3 of 9 factors to contribute y

操作後

C(9,3)=362880/(6·720)=84

條件：無

先排列 9 個位置，再除掉 3 個 y 位置與 6 個 x 位置各自的重排，得到係數 84。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

C(9,3)=84; choose y 3 times

操作後

84·x^6·y^3

條件：無

相應的 x 次數為 9-3=6；指數相加仍為 9。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

choose exactly 4 of 9 factors to contribute y

操作後

C(9,4)=362880/(24·120)=126

條件：無

先排列 9 個位置，再除掉 4 個 y 位置與 5 個 x 位置各自的重排，得到係數 126。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

C(9,4)=126; choose y 4 times

操作後

126·x^5·y^4

條件：無

相應的 x 次數為 9-4=5；指數相加仍為 9。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

choose exactly 5 of 9 factors to contribute y

操作後

C(9,5)=362880/(120·24)=126

條件：無

先排列 9 個位置，再除掉 5 個 y 位置與 4 個 x 位置各自的重排，得到係數 126。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

C(9,5)=126; choose y 5 times

操作後

126·x^4·y^5

條件：無

相應的 x 次數為 9-5=4；指數相加仍為 9。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

choose exactly 6 of 9 factors to contribute y

操作後

C(9,6)=362880/(720·6)=84

條件：無

先排列 9 個位置，再除掉 6 個 y 位置與 3 個 x 位置各自的重排，得到係數 84。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S013





S015 · implies操作前

C(9,6)=84; choose y 6 times

操作後

84·x^3·y^6

條件：無

相應的 x 次數為 9-6=3；指數相加仍為 9。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S014





S016 · implies操作前

choose exactly 7 of 9 factors to contribute y

操作後

C(9,7)=362880/(5040·2)=36

條件：無

先排列 9 個位置，再除掉 7 個 y 位置與 2 個 x 位置各自的重排，得到係數 36。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S015





S017 · implies操作前

C(9,7)=36; choose y 7 times

操作後

36·x^2·y^7

條件：無

相應的 x 次數為 9-7=2；指數相加仍為 9。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S016





S018 · implies操作前

choose exactly 8 of 9 factors to contribute y

操作後

C(9,8)=362880/(40320·1)=9

條件：無

先排列 9 個位置，再除掉 8 個 y 位置與 1 個 x 位置各自的重排，得到係數 9。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S017





S019 · implies操作前

C(9,8)=9; choose y 8 times

操作後

9·x^1·y^8

條件：無

相應的 x 次數為 9-8=1；指數相加仍為 9。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S018





S020 · implies操作前

choose exactly 9 of 9 factors to contribute y

操作後

C(9,9)=362880/(362880·1)=1

條件：無

先排列 9 個位置，再除掉 9 個 y 位置與 0 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S019





S021 · implies操作前

C(9,9)=1; choose y 9 times

操作後

1·x^0·y^9

條件：無

相應的 x 次數為 9-9=0；指數相加仍為 9。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S020





S022 · implies操作前

all k=0 through 9 have been accounted for

操作後

(x+y)^9=1·x^9·y^0 + 9·x^8·y^1 + 36·x^7·y^2 + 84·x^6·y^3 + 126·x^5·y^4 + 126·x^4·y^5 + 84·x^3·y^6 + 36·x^2·y^7 + 9·x^1·y^8 + 1·x^0·y^9

條件：無

每一種 x/y 選取都落入唯一的 k 類，因此這是完整有限展開，不是只列頭尾項。

步驟識別與依賴規則：collect_all_terms · 依賴：G001, S021









## 逐步反向核對


- S022 · premise_and_result_audit — 共有 n+1 個係數位置，k 的全範圍逐一保留。
- S021 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S020 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S019 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S018 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S017 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S016 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S015 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S014 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S013 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S012 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S011 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S010 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S009 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S008 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S007 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S006 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S005 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S004 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S003 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S002 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S001 · premise_and_result_audit — 此處不是非整數次方的無窮級數，也不套用到不可交換乘法。





## 結論

(9, [[0, 1, 9, 0], [1, 9, 8, 1], [2, 36, 7, 2], [3, 84, 6, 3], [4, 126, 5, 4], [5, 126, 4, 5], [6, 84, 3, 6], [7, 36, 2, 7], [8, 9, 1, 8], [9, 1, 0, 9]], complete_k_zero_through_n_coefficients)

完整展開如上述所有單項式；欄序表逐項對應。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-24

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: f9105b70c0fe521b1d2a2e605050446312f8d4bb127fe1cf3e146d9de08b0676
- candidate record SHA-256: 1e5adec7973c6ba17775b222172d98a1de9ab18b8835795a86cacbc20a7d7e9f
- semantic review receipt SHA-256: 4727d1bd957a9b7f6cadb7972ddb5ab80a31f5259dc5394c1dff2b71944ed36b
- question-first witness SHA-256: 51e18649133238ac992229f6e16542a5f3af53ca73b2262ab0524508ea937dee
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0035.json)