# 第 88 題：二項式定理

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P250-0088 · q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0038



## 原題與已知條件

commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":12}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":12}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

n 是非負整數，x 與 y 可交換；n=0 使用多項式空乘積單位元。


- [mko-binomial-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-binomial-theorem/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

n=12≥0; x,y commute

操作後

(x+y)^12 is a finite product of 12 factors

條件：無

每個因子選 x 或 y，且乘法可交換，才能按 y 的選取次數合併同類項。

步驟識別與依賴規則：finite_product · 依賴：G001





S002 · implies操作前

choose exactly 0 of 12 factors to contribute y

操作後

C(12,0)=479001600/(1·479001600)=1

條件：無

先排列 12 個位置，再除掉 0 個 y 位置與 12 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

C(12,0)=1; choose y 0 times

操作後

1·x^12·y^0

條件：無

相應的 x 次數為 12-0=12；指數相加仍為 12。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

choose exactly 1 of 12 factors to contribute y

操作後

C(12,1)=479001600/(1·39916800)=12

條件：無

先排列 12 個位置，再除掉 1 個 y 位置與 11 個 x 位置各自的重排，得到係數 12。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

C(12,1)=12; choose y 1 times

操作後

12·x^11·y^1

條件：無

相應的 x 次數為 12-1=11；指數相加仍為 12。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

choose exactly 2 of 12 factors to contribute y

操作後

C(12,2)=479001600/(2·3628800)=66

條件：無

先排列 12 個位置，再除掉 2 個 y 位置與 10 個 x 位置各自的重排，得到係數 66。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

C(12,2)=66; choose y 2 times

操作後

66·x^10·y^2

條件：無

相應的 x 次數為 12-2=10；指數相加仍為 12。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

choose exactly 3 of 12 factors to contribute y

操作後

C(12,3)=479001600/(6·362880)=220

條件：無

先排列 12 個位置，再除掉 3 個 y 位置與 9 個 x 位置各自的重排，得到係數 220。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

C(12,3)=220; choose y 3 times

操作後

220·x^9·y^3

條件：無

相應的 x 次數為 12-3=9；指數相加仍為 12。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

choose exactly 4 of 12 factors to contribute y

操作後

C(12,4)=479001600/(24·40320)=495

條件：無

先排列 12 個位置，再除掉 4 個 y 位置與 8 個 x 位置各自的重排，得到係數 495。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

C(12,4)=495; choose y 4 times

操作後

495·x^8·y^4

條件：無

相應的 x 次數為 12-4=8；指數相加仍為 12。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

choose exactly 5 of 12 factors to contribute y

操作後

C(12,5)=479001600/(120·5040)=792

條件：無

先排列 12 個位置，再除掉 5 個 y 位置與 7 個 x 位置各自的重排，得到係數 792。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

C(12,5)=792; choose y 5 times

操作後

792·x^7·y^5

條件：無

相應的 x 次數為 12-5=7；指數相加仍為 12。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

choose exactly 6 of 12 factors to contribute y

操作後

C(12,6)=479001600/(720·720)=924

條件：無

先排列 12 個位置，再除掉 6 個 y 位置與 6 個 x 位置各自的重排，得到係數 924。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S013





S015 · implies操作前

C(12,6)=924; choose y 6 times

操作後

924·x^6·y^6

條件：無

相應的 x 次數為 12-6=6；指數相加仍為 12。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S014





S016 · implies操作前

choose exactly 7 of 12 factors to contribute y

操作後

C(12,7)=479001600/(5040·120)=792

條件：無

先排列 12 個位置，再除掉 7 個 y 位置與 5 個 x 位置各自的重排，得到係數 792。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S015





S017 · implies操作前

C(12,7)=792; choose y 7 times

操作後

792·x^5·y^7

條件：無

相應的 x 次數為 12-7=5；指數相加仍為 12。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S016





S018 · implies操作前

choose exactly 8 of 12 factors to contribute y

操作後

C(12,8)=479001600/(40320·24)=495

條件：無

先排列 12 個位置，再除掉 8 個 y 位置與 4 個 x 位置各自的重排，得到係數 495。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S017





S019 · implies操作前

C(12,8)=495; choose y 8 times

操作後

495·x^4·y^8

條件：無

相應的 x 次數為 12-8=4；指數相加仍為 12。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S018





S020 · implies操作前

choose exactly 9 of 12 factors to contribute y

操作後

C(12,9)=479001600/(362880·6)=220

條件：無

先排列 12 個位置，再除掉 9 個 y 位置與 3 個 x 位置各自的重排，得到係數 220。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S019





S021 · implies操作前

C(12,9)=220; choose y 9 times

操作後

220·x^3·y^9

條件：無

相應的 x 次數為 12-9=3；指數相加仍為 12。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S020





S022 · implies操作前

choose exactly 10 of 12 factors to contribute y

操作後

C(12,10)=479001600/(3628800·2)=66

條件：無

先排列 12 個位置，再除掉 10 個 y 位置與 2 個 x 位置各自的重排，得到係數 66。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S021





S023 · implies操作前

C(12,10)=66; choose y 10 times

操作後

66·x^2·y^10

條件：無

相應的 x 次數為 12-10=2；指數相加仍為 12。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S022





S024 · implies操作前

choose exactly 11 of 12 factors to contribute y

操作後

C(12,11)=479001600/(39916800·1)=12

條件：無

先排列 12 個位置，再除掉 11 個 y 位置與 1 個 x 位置各自的重排，得到係數 12。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S023





S025 · implies操作前

C(12,11)=12; choose y 11 times

操作後

12·x^1·y^11

條件：無

相應的 x 次數為 12-11=1；指數相加仍為 12。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S024





S026 · implies操作前

choose exactly 12 of 12 factors to contribute y

操作後

C(12,12)=479001600/(479001600·1)=1

條件：無

先排列 12 個位置，再除掉 12 個 y 位置與 0 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S025





S027 · implies操作前

C(12,12)=1; choose y 12 times

操作後

1·x^0·y^12

條件：無

相應的 x 次數為 12-12=0；指數相加仍為 12。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S026





S028 · implies操作前

all k=0 through 12 have been accounted for

操作後

(x+y)^12=1·x^12·y^0 + 12·x^11·y^1 + 66·x^10·y^2 + 220·x^9·y^3 + 495·x^8·y^4 + 792·x^7·y^5 + 924·x^6·y^6 + 792·x^5·y^7 + 495·x^4·y^8 + 220·x^3·y^9 + 66·x^2·y^10 + 12·x^1·y^11 + 1·x^0·y^12

條件：無

每一種 x/y 選取都落入唯一的 k 類，因此這是完整有限展開，不是只列頭尾項。

步驟識別與依賴規則：collect_all_terms · 依賴：G001, S027









## 逐步反向核對


- S028 · premise_and_result_audit — 共有 n+1 個係數位置，k 的全範圍逐一保留。
- S027 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S026 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S025 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S024 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S023 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S022 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S021 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S020 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S019 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S018 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S017 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S016 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S015 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S014 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S013 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S012 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S011 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S010 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S009 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S008 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S007 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S006 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S005 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S004 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S003 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S002 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S001 · premise_and_result_audit — 此處不是非整數次方的無窮級數，也不套用到不可交換乘法。





## 結論

(12, [[0, 1, 12, 0], [1, 12, 11, 1], [2, 66, 10, 2], [3, 220, 9, 3], [4, 495, 8, 4], [5, 792, 7, 5], [6, 924, 6, 6], [7, 792, 5, 7], [8, 495, 4, 8], [9, 220, 3, 9], [10, 66, 2, 10], [11, 12, 1, 11], [12, 1, 0, 12]], complete_k_zero_through_n_coefficients)

完整展開如上述所有單項式；欄序表逐項對應。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-24

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 93d2e4a077e414a3942bac16dce9e28863cb7ee99d86362e30633aa77ab7a49d
- candidate record SHA-256: b39ff414a62b9e0342a5bf52a593ad5ec2bd1bb6ab42703ea58882e036d9220b
- semantic review receipt SHA-256: 4727d1bd957a9b7f6cadb7972ddb5ab80a31f5259dc5394c1dff2b71944ed36b
- question-first witness SHA-256: 51e18649133238ac992229f6e16542a5f3af53ca73b2262ab0524508ea937dee
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0038.json)