# 第 89 題：二項式定理 [返回所在分頁 1](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-foundations/#q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0039) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 P250-0089 · q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0039 ## 原題與已知條件 commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":13}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":13}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 n 是非負整數，x 與 y 可交換；n=0 使用多項式空乘積單位元。 - [mko-binomial-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-binomial-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 n=13≥0; x,y commute 操作後 (x+y)^13 is a finite product of 13 factors 條件：無 每個因子選 x 或 y，且乘法可交換，才能按 y 的選取次數合併同類項。 步驟識別與依賴規則：finite_product · 依賴：G001 S002 · implies操作前 choose exactly 0 of 13 factors to contribute y 操作後 C(13,0)=6227020800/(1·6227020800)=1 條件：無 先排列 13 個位置，再除掉 0 個 y 位置與 13 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 C(13,0)=1; choose y 0 times 操作後 1·x^13·y^0 條件：無 相應的 x 次數為 13-0=13；指數相加仍為 13。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 choose exactly 1 of 13 factors to contribute y 操作後 C(13,1)=6227020800/(1·479001600)=13 條件：無 先排列 13 個位置，再除掉 1 個 y 位置與 12 個 x 位置各自的重排，得到係數 13。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 C(13,1)=13; choose y 1 times 操作後 13·x^12·y^1 條件：無 相應的 x 次數為 13-1=12；指數相加仍為 13。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 choose exactly 2 of 13 factors to contribute y 操作後 C(13,2)=6227020800/(2·39916800)=78 條件：無 先排列 13 個位置，再除掉 2 個 y 位置與 11 個 x 位置各自的重排，得到係數 78。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 C(13,2)=78; choose y 2 times 操作後 78·x^11·y^2 條件：無 相應的 x 次數為 13-2=11；指數相加仍為 13。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 choose exactly 3 of 13 factors to contribute y 操作後 C(13,3)=6227020800/(6·3628800)=286 條件：無 先排列 13 個位置，再除掉 3 個 y 位置與 10 個 x 位置各自的重排，得到係數 286。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 C(13,3)=286; choose y 3 times 操作後 286·x^10·y^3 條件：無 相應的 x 次數為 13-3=10；指數相加仍為 13。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 choose exactly 4 of 13 factors to contribute y 操作後 C(13,4)=6227020800/(24·362880)=715 條件：無 先排列 13 個位置，再除掉 4 個 y 位置與 9 個 x 位置各自的重排，得到係數 715。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 C(13,4)=715; choose y 4 times 操作後 715·x^9·y^4 條件：無 相應的 x 次數為 13-4=9；指數相加仍為 13。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 choose exactly 5 of 13 factors to contribute y 操作後 C(13,5)=6227020800/(120·40320)=1287 條件：無 先排列 13 個位置，再除掉 5 個 y 位置與 8 個 x 位置各自的重排，得到係數 1287。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 C(13,5)=1287; choose y 5 times 操作後 1287·x^8·y^5 條件：無 相應的 x 次數為 13-5=8；指數相加仍為 13。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 choose exactly 6 of 13 factors to contribute y 操作後 C(13,6)=6227020800/(720·5040)=1716 條件：無 先排列 13 個位置，再除掉 6 個 y 位置與 7 個 x 位置各自的重排，得到係數 1716。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 C(13,6)=1716; choose y 6 times 操作後 1716·x^7·y^6 條件：無 相應的 x 次數為 13-6=7；指數相加仍為 13。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 choose exactly 7 of 13 factors to contribute y 操作後 C(13,7)=6227020800/(5040·720)=1716 條件：無 先排列 13 個位置，再除掉 7 個 y 位置與 6 個 x 位置各自的重排，得到係數 1716。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 C(13,7)=1716; choose y 7 times 操作後 1716·x^6·y^7 條件：無 相應的 x 次數為 13-7=6；指數相加仍為 13。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 choose exactly 8 of 13 factors to contribute y 操作後 C(13,8)=6227020800/(40320·120)=1287 條件：無 先排列 13 個位置，再除掉 8 個 y 位置與 5 個 x 位置各自的重排，得到係數 1287。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 C(13,8)=1287; choose y 8 times 操作後 1287·x^5·y^8 條件：無 相應的 x 次數為 13-8=5；指數相加仍為 13。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 choose exactly 9 of 13 factors to contribute y 操作後 C(13,9)=6227020800/(362880·24)=715 條件：無 先排列 13 個位置，再除掉 9 個 y 位置與 4 個 x 位置各自的重排，得到係數 715。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 C(13,9)=715; choose y 9 times 操作後 715·x^4·y^9 條件：無 相應的 x 次數為 13-9=4；指數相加仍為 13。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 choose exactly 10 of 13 factors to contribute y 操作後 C(13,10)=6227020800/(3628800·6)=286 條件：無 先排列 13 個位置，再除掉 10 個 y 位置與 3 個 x 位置各自的重排，得到係數 286。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 C(13,10)=286; choose y 10 times 操作後 286·x^3·y^10 條件：無 相應的 x 次數為 13-10=3；指數相加仍為 13。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 choose exactly 11 of 13 factors to contribute y 操作後 C(13,11)=6227020800/(39916800·2)=78 條件：無 先排列 13 個位置，再除掉 11 個 y 位置與 2 個 x 位置各自的重排，得到係數 78。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 C(13,11)=78; choose y 11 times 操作後 78·x^2·y^11 條件：無 相應的 x 次數為 13-11=2；指數相加仍為 13。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 choose exactly 12 of 13 factors to contribute y 操作後 C(13,12)=6227020800/(479001600·1)=13 條件：無 先排列 13 個位置，再除掉 12 個 y 位置與 1 個 x 位置各自的重排，得到係數 13。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 C(13,12)=13; choose y 12 times 操作後 13·x^1·y^12 條件：無 相應的 x 次數為 13-12=1；指數相加仍為 13。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 choose exactly 13 of 13 factors to contribute y 操作後 C(13,13)=6227020800/(6227020800·1)=1 條件：無 先排列 13 個位置，再除掉 13 個 y 位置與 0 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 C(13,13)=1; choose y 13 times 操作後 1·x^0·y^13 條件：無 相應的 x 次數為 13-13=0；指數相加仍為 13。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 all k=0 through 13 have been accounted for 操作後 (x+y)^13=1·x^13·y^0 + 13·x^12·y^1 + 78·x^11·y^2 + 286·x^10·y^3 + 715·x^9·y^4 + 1287·x^8·y^5 + 1716·x^7·y^6 + 1716·x^6·y^7 + 1287·x^5·y^8 + 715·x^4·y^9 + 286·x^3·y^10 + 78·x^2·y^11 + 13·x^1·y^12 + 1·x^0·y^13 條件：無 每一種 x/y 選取都落入唯一的 k 類，因此這是完整有限展開，不是只列頭尾項。 步驟識別與依賴規則：collect_all_terms · 依賴：G001, S029 ## 逐步反向核對 - S030 · premise_and_result_audit — 共有 n+1 個係數位置，k 的全範圍逐一保留。 - S029 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S028 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S027 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S026 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S025 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S024 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S023 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S022 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S021 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S020 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S019 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S018 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S017 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S016 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S015 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S014 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S013 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S012 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S011 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S010 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S009 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S008 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S007 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S006 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S005 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S004 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S003 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S002 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S001 · premise_and_result_audit — 此處不是非整數次方的無窮級數，也不套用到不可交換乘法。 ## 結論 (13, [[0, 1, 13, 0], [1, 13, 12, 1], [2, 78, 11, 2], [3, 286, 10, 3], [4, 715, 9, 4], [5, 1287, 8, 5], [6, 1716, 7, 6], [7, 1716, 6, 7], [8, 1287, 5, 8], [9, 715, 4, 9], [10, 286, 3, 10], [11, 78, 2, 11], [12, 13, 1, 12], [13, 1, 0, 13]], complete_k_zero_through_n_coefficients) 完整展開如上述所有單項式；欄序表逐項對應。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-24 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: eec207fc0059dbdef010feebaa91faf18e4d967869b995e71fe9dd778dc1e5d9 - candidate record SHA-256: 545927f9fdff6f135e310a1394314ac42b7211dc1917cf091f2ad4a0c0efb8fd - semantic review receipt SHA-256: 4727d1bd957a9b7f6cadb7972ddb5ab80a31f5259dc5394c1dff2b71944ed36b - question-first witness SHA-256: 51e18649133238ac992229f6e16542a5f3af53ca73b2262ab0524508ea937dee - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0039.json)