# 第 90 題：二項式定理 [返回所在分頁 1](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-foundations/#q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0040) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 P250-0090 · q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0040 ## 原題與已知條件 commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":14}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":14}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 n 是非負整數，x 與 y 可交換；n=0 使用多項式空乘積單位元。 - [mko-binomial-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-binomial-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 n=14≥0; x,y commute 操作後 (x+y)^14 is a finite product of 14 factors 條件：無 每個因子選 x 或 y，且乘法可交換，才能按 y 的選取次數合併同類項。 步驟識別與依賴規則：finite_product · 依賴：G001 S002 · implies操作前 choose exactly 0 of 14 factors to contribute y 操作後 C(14,0)=87178291200/(1·87178291200)=1 條件：無 先排列 14 個位置，再除掉 0 個 y 位置與 14 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 C(14,0)=1; choose y 0 times 操作後 1·x^14·y^0 條件：無 相應的 x 次數為 14-0=14；指數相加仍為 14。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 choose exactly 1 of 14 factors to contribute y 操作後 C(14,1)=87178291200/(1·6227020800)=14 條件：無 先排列 14 個位置，再除掉 1 個 y 位置與 13 個 x 位置各自的重排，得到係數 14。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 C(14,1)=14; choose y 1 times 操作後 14·x^13·y^1 條件：無 相應的 x 次數為 14-1=13；指數相加仍為 14。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 choose exactly 2 of 14 factors to contribute y 操作後 C(14,2)=87178291200/(2·479001600)=91 條件：無 先排列 14 個位置，再除掉 2 個 y 位置與 12 個 x 位置各自的重排，得到係數 91。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 C(14,2)=91; choose y 2 times 操作後 91·x^12·y^2 條件：無 相應的 x 次數為 14-2=12；指數相加仍為 14。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 choose exactly 3 of 14 factors to contribute y 操作後 C(14,3)=87178291200/(6·39916800)=364 條件：無 先排列 14 個位置，再除掉 3 個 y 位置與 11 個 x 位置各自的重排，得到係數 364。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 C(14,3)=364; choose y 3 times 操作後 364·x^11·y^3 條件：無 相應的 x 次數為 14-3=11；指數相加仍為 14。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 choose exactly 4 of 14 factors to contribute y 操作後 C(14,4)=87178291200/(24·3628800)=1001 條件：無 先排列 14 個位置，再除掉 4 個 y 位置與 10 個 x 位置各自的重排，得到係數 1001。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 C(14,4)=1001; choose y 4 times 操作後 1001·x^10·y^4 條件：無 相應的 x 次數為 14-4=10；指數相加仍為 14。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 choose exactly 5 of 14 factors to contribute y 操作後 C(14,5)=87178291200/(120·362880)=2002 條件：無 先排列 14 個位置，再除掉 5 個 y 位置與 9 個 x 位置各自的重排，得到係數 2002。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 C(14,5)=2002; choose y 5 times 操作後 2002·x^9·y^5 條件：無 相應的 x 次數為 14-5=9；指數相加仍為 14。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 choose exactly 6 of 14 factors to contribute y 操作後 C(14,6)=87178291200/(720·40320)=3003 條件：無 先排列 14 個位置，再除掉 6 個 y 位置與 8 個 x 位置各自的重排，得到係數 3003。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 C(14,6)=3003; choose y 6 times 操作後 3003·x^8·y^6 條件：無 相應的 x 次數為 14-6=8；指數相加仍為 14。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 choose exactly 7 of 14 factors to contribute y 操作後 C(14,7)=87178291200/(5040·5040)=3432 條件：無 先排列 14 個位置，再除掉 7 個 y 位置與 7 個 x 位置各自的重排，得到係數 3432。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 C(14,7)=3432; choose y 7 times 操作後 3432·x^7·y^7 條件：無 相應的 x 次數為 14-7=7；指數相加仍為 14。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 choose exactly 8 of 14 factors to contribute y 操作後 C(14,8)=87178291200/(40320·720)=3003 條件：無 先排列 14 個位置，再除掉 8 個 y 位置與 6 個 x 位置各自的重排，得到係數 3003。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 C(14,8)=3003; choose y 8 times 操作後 3003·x^6·y^8 條件：無 相應的 x 次數為 14-8=6；指數相加仍為 14。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 choose exactly 9 of 14 factors to contribute y 操作後 C(14,9)=87178291200/(362880·120)=2002 條件：無 先排列 14 個位置，再除掉 9 個 y 位置與 5 個 x 位置各自的重排，得到係數 2002。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 C(14,9)=2002; choose y 9 times 操作後 2002·x^5·y^9 條件：無 相應的 x 次數為 14-9=5；指數相加仍為 14。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 choose exactly 10 of 14 factors to contribute y 操作後 C(14,10)=87178291200/(3628800·24)=1001 條件：無 先排列 14 個位置，再除掉 10 個 y 位置與 4 個 x 位置各自的重排，得到係數 1001。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 C(14,10)=1001; choose y 10 times 操作後 1001·x^4·y^10 條件：無 相應的 x 次數為 14-10=4；指數相加仍為 14。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 choose exactly 11 of 14 factors to contribute y 操作後 C(14,11)=87178291200/(39916800·6)=364 條件：無 先排列 14 個位置，再除掉 11 個 y 位置與 3 個 x 位置各自的重排，得到係數 364。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 C(14,11)=364; choose y 11 times 操作後 364·x^3·y^11 條件：無 相應的 x 次數為 14-11=3；指數相加仍為 14。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 choose exactly 12 of 14 factors to contribute y 操作後 C(14,12)=87178291200/(479001600·2)=91 條件：無 先排列 14 個位置，再除掉 12 個 y 位置與 2 個 x 位置各自的重排，得到係數 91。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 C(14,12)=91; choose y 12 times 操作後 91·x^2·y^12 條件：無 相應的 x 次數為 14-12=2；指數相加仍為 14。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 choose exactly 13 of 14 factors to contribute y 操作後 C(14,13)=87178291200/(6227020800·1)=14 條件：無 先排列 14 個位置，再除掉 13 個 y 位置與 1 個 x 位置各自的重排，得到係數 14。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 C(14,13)=14; choose y 13 times 操作後 14·x^1·y^13 條件：無 相應的 x 次數為 14-13=1；指數相加仍為 14。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 choose exactly 14 of 14 factors to contribute y 操作後 C(14,14)=87178291200/(87178291200·1)=1 條件：無 先排列 14 個位置，再除掉 14 個 y 位置與 0 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 C(14,14)=1; choose y 14 times 操作後 1·x^0·y^14 條件：無 相應的 x 次數為 14-14=0；指數相加仍為 14。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 all k=0 through 14 have been accounted for 操作後 (x+y)^14=1·x^14·y^0 + 14·x^13·y^1 + 91·x^12·y^2 + 364·x^11·y^3 + 1001·x^10·y^4 + 2002·x^9·y^5 + 3003·x^8·y^6 + 3432·x^7·y^7 + 3003·x^6·y^8 + 2002·x^5·y^9 + 1001·x^4·y^10 + 364·x^3·y^11 + 91·x^2·y^12 + 14·x^1·y^13 + 1·x^0·y^14 條件：無 每一種 x/y 選取都落入唯一的 k 類，因此這是完整有限展開，不是只列頭尾項。 步驟識別與依賴規則：collect_all_terms · 依賴：G001, S031 ## 逐步反向核對 - S032 · premise_and_result_audit — 共有 n+1 個係數位置，k 的全範圍逐一保留。 - S031 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S030 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S029 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S028 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S027 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S026 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S025 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S024 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S023 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S022 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S021 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S020 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S019 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S018 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S017 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S016 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S015 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S014 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S013 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S012 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S011 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S010 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S009 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S008 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S007 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S006 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S005 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S004 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S003 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S002 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S001 · premise_and_result_audit — 此處不是非整數次方的無窮級數，也不套用到不可交換乘法。 ## 結論 (14, [[0, 1, 14, 0], [1, 14, 13, 1], [2, 91, 12, 2], [3, 364, 11, 3], [4, 1001, 10, 4], [5, 2002, 9, 5], [6, 3003, 8, 6], [7, 3432, 7, 7], [8, 3003, 6, 8], [9, 2002, 5, 9], [10, 1001, 4, 10], [11, 364, 3, 11], [12, 91, 2, 12], [13, 14, 1, 13], [14, 1, 0, 14]], complete_k_zero_through_n_coefficients) 完整展開如上述所有單項式；欄序表逐項對應。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-24 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: fb267b9df094c9f841f151f97bdc090351cdc90a04eb650e045ed9a392c96c47 - candidate record SHA-256: 860c8dd551bb80ff9fa7d7d8f5f308db707d8d16d7b1a4840fe584fca53d702c - semantic review receipt SHA-256: 4727d1bd957a9b7f6cadb7972ddb5ab80a31f5259dc5394c1dff2b71944ed36b - question-first witness SHA-256: 51e18649133238ac992229f6e16542a5f3af53ca73b2262ab0524508ea937dee - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0040.json)