# 第 91 題：二項式定理 [返回所在分頁 1](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-foundations/#q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0041) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 P250-0091 · q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0041 ## 原題與已知條件 commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":15}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":15}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 n 是非負整數，x 與 y 可交換；n=0 使用多項式空乘積單位元。 - [mko-binomial-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-binomial-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 n=15≥0; x,y commute 操作後 (x+y)^15 is a finite product of 15 factors 條件：無 每個因子選 x 或 y，且乘法可交換，才能按 y 的選取次數合併同類項。 步驟識別與依賴規則：finite_product · 依賴：G001 S002 · implies操作前 choose exactly 0 of 15 factors to contribute y 操作後 C(15,0)=1307674368000/(1·1307674368000)=1 條件：無 先排列 15 個位置，再除掉 0 個 y 位置與 15 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 C(15,0)=1; choose y 0 times 操作後 1·x^15·y^0 條件：無 相應的 x 次數為 15-0=15；指數相加仍為 15。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 choose exactly 1 of 15 factors to contribute y 操作後 C(15,1)=1307674368000/(1·87178291200)=15 條件：無 先排列 15 個位置，再除掉 1 個 y 位置與 14 個 x 位置各自的重排，得到係數 15。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 C(15,1)=15; choose y 1 times 操作後 15·x^14·y^1 條件：無 相應的 x 次數為 15-1=14；指數相加仍為 15。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 choose exactly 2 of 15 factors to contribute y 操作後 C(15,2)=1307674368000/(2·6227020800)=105 條件：無 先排列 15 個位置，再除掉 2 個 y 位置與 13 個 x 位置各自的重排，得到係數 105。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 C(15,2)=105; choose y 2 times 操作後 105·x^13·y^2 條件：無 相應的 x 次數為 15-2=13；指數相加仍為 15。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 choose exactly 3 of 15 factors to contribute y 操作後 C(15,3)=1307674368000/(6·479001600)=455 條件：無 先排列 15 個位置，再除掉 3 個 y 位置與 12 個 x 位置各自的重排，得到係數 455。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 C(15,3)=455; choose y 3 times 操作後 455·x^12·y^3 條件：無 相應的 x 次數為 15-3=12；指數相加仍為 15。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 choose exactly 4 of 15 factors to contribute y 操作後 C(15,4)=1307674368000/(24·39916800)=1365 條件：無 先排列 15 個位置，再除掉 4 個 y 位置與 11 個 x 位置各自的重排，得到係數 1365。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 C(15,4)=1365; choose y 4 times 操作後 1365·x^11·y^4 條件：無 相應的 x 次數為 15-4=11；指數相加仍為 15。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 choose exactly 5 of 15 factors to contribute y 操作後 C(15,5)=1307674368000/(120·3628800)=3003 條件：無 先排列 15 個位置，再除掉 5 個 y 位置與 10 個 x 位置各自的重排，得到係數 3003。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 C(15,5)=3003; choose y 5 times 操作後 3003·x^10·y^5 條件：無 相應的 x 次數為 15-5=10；指數相加仍為 15。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 choose exactly 6 of 15 factors to contribute y 操作後 C(15,6)=1307674368000/(720·362880)=5005 條件：無 先排列 15 個位置，再除掉 6 個 y 位置與 9 個 x 位置各自的重排，得到係數 5005。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 C(15,6)=5005; choose y 6 times 操作後 5005·x^9·y^6 條件：無 相應的 x 次數為 15-6=9；指數相加仍為 15。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 choose exactly 7 of 15 factors to contribute y 操作後 C(15,7)=1307674368000/(5040·40320)=6435 條件：無 先排列 15 個位置，再除掉 7 個 y 位置與 8 個 x 位置各自的重排，得到係數 6435。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 C(15,7)=6435; choose y 7 times 操作後 6435·x^8·y^7 條件：無 相應的 x 次數為 15-7=8；指數相加仍為 15。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 choose exactly 8 of 15 factors to contribute y 操作後 C(15,8)=1307674368000/(40320·5040)=6435 條件：無 先排列 15 個位置，再除掉 8 個 y 位置與 7 個 x 位置各自的重排，得到係數 6435。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 C(15,8)=6435; choose y 8 times 操作後 6435·x^7·y^8 條件：無 相應的 x 次數為 15-8=7；指數相加仍為 15。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 choose exactly 9 of 15 factors to contribute y 操作後 C(15,9)=1307674368000/(362880·720)=5005 條件：無 先排列 15 個位置，再除掉 9 個 y 位置與 6 個 x 位置各自的重排，得到係數 5005。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 C(15,9)=5005; choose y 9 times 操作後 5005·x^6·y^9 條件：無 相應的 x 次數為 15-9=6；指數相加仍為 15。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 choose exactly 10 of 15 factors to contribute y 操作後 C(15,10)=1307674368000/(3628800·120)=3003 條件：無 先排列 15 個位置，再除掉 10 個 y 位置與 5 個 x 位置各自的重排，得到係數 3003。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 C(15,10)=3003; choose y 10 times 操作後 3003·x^5·y^10 條件：無 相應的 x 次數為 15-10=5；指數相加仍為 15。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 choose exactly 11 of 15 factors to contribute y 操作後 C(15,11)=1307674368000/(39916800·24)=1365 條件：無 先排列 15 個位置，再除掉 11 個 y 位置與 4 個 x 位置各自的重排，得到係數 1365。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 C(15,11)=1365; choose y 11 times 操作後 1365·x^4·y^11 條件：無 相應的 x 次數為 15-11=4；指數相加仍為 15。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 choose exactly 12 of 15 factors to contribute y 操作後 C(15,12)=1307674368000/(479001600·6)=455 條件：無 先排列 15 個位置，再除掉 12 個 y 位置與 3 個 x 位置各自的重排，得到係數 455。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 C(15,12)=455; choose y 12 times 操作後 455·x^3·y^12 條件：無 相應的 x 次數為 15-12=3；指數相加仍為 15。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 choose exactly 13 of 15 factors to contribute y 操作後 C(15,13)=1307674368000/(6227020800·2)=105 條件：無 先排列 15 個位置，再除掉 13 個 y 位置與 2 個 x 位置各自的重排，得到係數 105。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 C(15,13)=105; choose y 13 times 操作後 105·x^2·y^13 條件：無 相應的 x 次數為 15-13=2；指數相加仍為 15。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 choose exactly 14 of 15 factors to contribute y 操作後 C(15,14)=1307674368000/(87178291200·1)=15 條件：無 先排列 15 個位置，再除掉 14 個 y 位置與 1 個 x 位置各自的重排，得到係數 15。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 C(15,14)=15; choose y 14 times 操作後 15·x^1·y^14 條件：無 相應的 x 次數為 15-14=1；指數相加仍為 15。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 choose exactly 15 of 15 factors to contribute y 操作後 C(15,15)=1307674368000/(1307674368000·1)=1 條件：無 先排列 15 個位置，再除掉 15 個 y 位置與 0 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 C(15,15)=1; choose y 15 times 操作後 1·x^0·y^15 條件：無 相應的 x 次數為 15-15=0；指數相加仍為 15。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 all k=0 through 15 have been accounted for 操作後 (x+y)^15=1·x^15·y^0 + 15·x^14·y^1 + 105·x^13·y^2 + 455·x^12·y^3 + 1365·x^11·y^4 + 3003·x^10·y^5 + 5005·x^9·y^6 + 6435·x^8·y^7 + 6435·x^7·y^8 + 5005·x^6·y^9 + 3003·x^5·y^10 + 1365·x^4·y^11 + 455·x^3·y^12 + 105·x^2·y^13 + 15·x^1·y^14 + 1·x^0·y^15 條件：無 每一種 x/y 選取都落入唯一的 k 類，因此這是完整有限展開，不是只列頭尾項。 步驟識別與依賴規則：collect_all_terms · 依賴：G001, S033 ## 逐步反向核對 - S034 · premise_and_result_audit — 共有 n+1 個係數位置，k 的全範圍逐一保留。 - S033 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S032 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S031 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S030 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S029 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S028 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S027 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S026 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S025 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S024 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S023 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S022 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S021 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S020 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S019 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S018 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S017 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S016 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S015 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S014 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S013 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S012 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S011 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S010 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S009 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S008 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S007 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S006 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S005 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S004 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S003 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S002 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S001 · premise_and_result_audit — 此處不是非整數次方的無窮級數，也不套用到不可交換乘法。 ## 結論 (15, [[0, 1, 15, 0], [1, 15, 14, 1], [2, 105, 13, 2], [3, 455, 12, 3], [4, 1365, 11, 4], [5, 3003, 10, 5], [6, 5005, 9, 6], [7, 6435, 8, 7], [8, 6435, 7, 8], [9, 5005, 6, 9], [10, 3003, 5, 10], [11, 1365, 4, 11], [12, 455, 3, 12], [13, 105, 2, 13], [14, 15, 1, 14], [15, 1, 0, 15]], complete_k_zero_through_n_coefficients) 完整展開如上述所有單項式；欄序表逐項對應。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-24 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 5bfa563ec1b2fafc76ab9cd5cbb24aa237986f1652cd69d30a97189b0a43b069 - candidate record SHA-256: be3c784f1e7ef1ace6b8ffc0cbd504c4a4406c4d61d2a10443743e61d80bbf6c - semantic review receipt SHA-256: 4727d1bd957a9b7f6cadb7972ddb5ab80a31f5259dc5394c1dff2b71944ed36b - question-first witness SHA-256: 51e18649133238ac992229f6e16542a5f3af53ca73b2262ab0524508ea937dee - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0041.json)