# 第 92 題：二項式定理

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P250-0092 · q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0042



## 原題與已知條件

commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":16}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":16}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

n 是非負整數，x 與 y 可交換；n=0 使用多項式空乘積單位元。


- [mko-binomial-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-binomial-theorem/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

n=16≥0; x,y commute

操作後

(x+y)^16 is a finite product of 16 factors

條件：無

每個因子選 x 或 y，且乘法可交換，才能按 y 的選取次數合併同類項。

步驟識別與依賴規則：finite_product · 依賴：G001





S002 · implies操作前

choose exactly 0 of 16 factors to contribute y

操作後

C(16,0)=20922789888000/(1·20922789888000)=1

條件：無

先排列 16 個位置，再除掉 0 個 y 位置與 16 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

C(16,0)=1; choose y 0 times

操作後

1·x^16·y^0

條件：無

相應的 x 次數為 16-0=16；指數相加仍為 16。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

choose exactly 1 of 16 factors to contribute y

操作後

C(16,1)=20922789888000/(1·1307674368000)=16

條件：無

先排列 16 個位置，再除掉 1 個 y 位置與 15 個 x 位置各自的重排，得到係數 16。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

C(16,1)=16; choose y 1 times

操作後

16·x^15·y^1

條件：無

相應的 x 次數為 16-1=15；指數相加仍為 16。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

choose exactly 2 of 16 factors to contribute y

操作後

C(16,2)=20922789888000/(2·87178291200)=120

條件：無

先排列 16 個位置，再除掉 2 個 y 位置與 14 個 x 位置各自的重排，得到係數 120。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

C(16,2)=120; choose y 2 times

操作後

120·x^14·y^2

條件：無

相應的 x 次數為 16-2=14；指數相加仍為 16。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

choose exactly 3 of 16 factors to contribute y

操作後

C(16,3)=20922789888000/(6·6227020800)=560

條件：無

先排列 16 個位置，再除掉 3 個 y 位置與 13 個 x 位置各自的重排，得到係數 560。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

C(16,3)=560; choose y 3 times

操作後

560·x^13·y^3

條件：無

相應的 x 次數為 16-3=13；指數相加仍為 16。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

choose exactly 4 of 16 factors to contribute y

操作後

C(16,4)=20922789888000/(24·479001600)=1820

條件：無

先排列 16 個位置，再除掉 4 個 y 位置與 12 個 x 位置各自的重排，得到係數 1820。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

C(16,4)=1820; choose y 4 times

操作後

1820·x^12·y^4

條件：無

相應的 x 次數為 16-4=12；指數相加仍為 16。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

choose exactly 5 of 16 factors to contribute y

操作後

C(16,5)=20922789888000/(120·39916800)=4368

條件：無

先排列 16 個位置，再除掉 5 個 y 位置與 11 個 x 位置各自的重排，得到係數 4368。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

C(16,5)=4368; choose y 5 times

操作後

4368·x^11·y^5

條件：無

相應的 x 次數為 16-5=11；指數相加仍為 16。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

choose exactly 6 of 16 factors to contribute y

操作後

C(16,6)=20922789888000/(720·3628800)=8008

條件：無

先排列 16 個位置，再除掉 6 個 y 位置與 10 個 x 位置各自的重排，得到係數 8008。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S013





S015 · implies操作前

C(16,6)=8008; choose y 6 times

操作後

8008·x^10·y^6

條件：無

相應的 x 次數為 16-6=10；指數相加仍為 16。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S014





S016 · implies操作前

choose exactly 7 of 16 factors to contribute y

操作後

C(16,7)=20922789888000/(5040·362880)=11440

條件：無

先排列 16 個位置，再除掉 7 個 y 位置與 9 個 x 位置各自的重排，得到係數 11440。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S015





S017 · implies操作前

C(16,7)=11440; choose y 7 times

操作後

11440·x^9·y^7

條件：無

相應的 x 次數為 16-7=9；指數相加仍為 16。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S016





S018 · implies操作前

choose exactly 8 of 16 factors to contribute y

操作後

C(16,8)=20922789888000/(40320·40320)=12870

條件：無

先排列 16 個位置，再除掉 8 個 y 位置與 8 個 x 位置各自的重排，得到係數 12870。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S017





S019 · implies操作前

C(16,8)=12870; choose y 8 times

操作後

12870·x^8·y^8

條件：無

相應的 x 次數為 16-8=8；指數相加仍為 16。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S018





S020 · implies操作前

choose exactly 9 of 16 factors to contribute y

操作後

C(16,9)=20922789888000/(362880·5040)=11440

條件：無

先排列 16 個位置，再除掉 9 個 y 位置與 7 個 x 位置各自的重排，得到係數 11440。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S019





S021 · implies操作前

C(16,9)=11440; choose y 9 times

操作後

11440·x^7·y^9

條件：無

相應的 x 次數為 16-9=7；指數相加仍為 16。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S020





S022 · implies操作前

choose exactly 10 of 16 factors to contribute y

操作後

C(16,10)=20922789888000/(3628800·720)=8008

條件：無

先排列 16 個位置，再除掉 10 個 y 位置與 6 個 x 位置各自的重排，得到係數 8008。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S021





S023 · implies操作前

C(16,10)=8008; choose y 10 times

操作後

8008·x^6·y^10

條件：無

相應的 x 次數為 16-10=6；指數相加仍為 16。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S022





S024 · implies操作前

choose exactly 11 of 16 factors to contribute y

操作後

C(16,11)=20922789888000/(39916800·120)=4368

條件：無

先排列 16 個位置，再除掉 11 個 y 位置與 5 個 x 位置各自的重排，得到係數 4368。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S023





S025 · implies操作前

C(16,11)=4368; choose y 11 times

操作後

4368·x^5·y^11

條件：無

相應的 x 次數為 16-11=5；指數相加仍為 16。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S024





S026 · implies操作前

choose exactly 12 of 16 factors to contribute y

操作後

C(16,12)=20922789888000/(479001600·24)=1820

條件：無

先排列 16 個位置，再除掉 12 個 y 位置與 4 個 x 位置各自的重排，得到係數 1820。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S025





S027 · implies操作前

C(16,12)=1820; choose y 12 times

操作後

1820·x^4·y^12

條件：無

相應的 x 次數為 16-12=4；指數相加仍為 16。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S026





S028 · implies操作前

choose exactly 13 of 16 factors to contribute y

操作後

C(16,13)=20922789888000/(6227020800·6)=560

條件：無

先排列 16 個位置，再除掉 13 個 y 位置與 3 個 x 位置各自的重排，得到係數 560。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S027





S029 · implies操作前

C(16,13)=560; choose y 13 times

操作後

560·x^3·y^13

條件：無

相應的 x 次數為 16-13=3；指數相加仍為 16。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S028





S030 · implies操作前

choose exactly 14 of 16 factors to contribute y

操作後

C(16,14)=20922789888000/(87178291200·2)=120

條件：無

先排列 16 個位置，再除掉 14 個 y 位置與 2 個 x 位置各自的重排，得到係數 120。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S029





S031 · implies操作前

C(16,14)=120; choose y 14 times

操作後

120·x^2·y^14

條件：無

相應的 x 次數為 16-14=2；指數相加仍為 16。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S030





S032 · implies操作前

choose exactly 15 of 16 factors to contribute y

操作後

C(16,15)=20922789888000/(1307674368000·1)=16

條件：無

先排列 16 個位置，再除掉 15 個 y 位置與 1 個 x 位置各自的重排，得到係數 16。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S031





S033 · implies操作前

C(16,15)=16; choose y 15 times

操作後

16·x^1·y^15

條件：無

相應的 x 次數為 16-15=1；指數相加仍為 16。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S032





S034 · implies操作前

choose exactly 16 of 16 factors to contribute y

操作後

C(16,16)=20922789888000/(20922789888000·1)=1

條件：無

先排列 16 個位置，再除掉 16 個 y 位置與 0 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。

步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S033





S035 · implies操作前

C(16,16)=1; choose y 16 times

操作後

1·x^0·y^16

條件：無

相應的 x 次數為 16-16=0；指數相加仍為 16。

步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S034





S036 · implies操作前

all k=0 through 16 have been accounted for

操作後

(x+y)^16=1·x^16·y^0 + 16·x^15·y^1 + 120·x^14·y^2 + 560·x^13·y^3 + 1820·x^12·y^4 + 4368·x^11·y^5 + 8008·x^10·y^6 + 11440·x^9·y^7 + 12870·x^8·y^8 + 11440·x^7·y^9 + 8008·x^6·y^10 + 4368·x^5·y^11 + 1820·x^4·y^12 + 560·x^3·y^13 + 120·x^2·y^14 + 16·x^1·y^15 + 1·x^0·y^16

條件：無

每一種 x/y 選取都落入唯一的 k 類，因此這是完整有限展開，不是只列頭尾項。

步驟識別與依賴規則：collect_all_terms · 依賴：G001, S035









## 逐步反向核對


- S036 · premise_and_result_audit — 共有 n+1 個係數位置，k 的全範圍逐一保留。
- S035 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S034 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S033 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S032 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S031 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S030 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S029 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S028 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S027 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S026 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S025 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S024 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S023 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S022 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S021 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S020 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S019 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S018 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S017 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S016 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S015 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S014 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S013 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S012 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S011 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S010 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S009 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S008 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S007 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S006 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S005 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S004 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S003 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
- S002 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
- S001 · premise_and_result_audit — 此處不是非整數次方的無窮級數，也不套用到不可交換乘法。





## 結論

(16, [[0, 1, 16, 0], [1, 16, 15, 1], [2, 120, 14, 2], [3, 560, 13, 3], [4, 1820, 12, 4], [5, 4368, 11, 5], [6, 8008, 10, 6], [7, 11440, 9, 7], [8, 12870, 8, 8], [9, 11440, 7, 9], [10, 8008, 6, 10], [11, 4368, 5, 11], [12, 1820, 4, 12], [13, 560, 3, 13], [14, 120, 2, 14], [15, 16, 1, 15], [16, 1, 0, 16]], complete_k_zero_through_n_coefficients)

完整展開如上述所有單項式；欄序表逐項對應。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-24

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 02685b9f15f88fb114eb1a4aaceb471d861d68c564a776f9d2e9ea18895baf64
- candidate record SHA-256: 6e4864e0d181953800b5697fb5b7e720d1ce381a7dfcf3618109438a2ac4530b
- semantic review receipt SHA-256: 4727d1bd957a9b7f6cadb7972ddb5ab80a31f5259dc5394c1dff2b71944ed36b
- question-first witness SHA-256: 51e18649133238ac992229f6e16542a5f3af53ca73b2262ab0524508ea937dee
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0042.json)