# 第 93 題：二項式定理 [返回所在分頁 1](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-foundations/#q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0043) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 P250-0093 · q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0043 ## 原題與已知條件 commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":17}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":17}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 n 是非負整數，x 與 y 可交換；n=0 使用多項式空乘積單位元。 - [mko-binomial-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-binomial-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 n=17≥0; x,y commute 操作後 (x+y)^17 is a finite product of 17 factors 條件：無 每個因子選 x 或 y，且乘法可交換，才能按 y 的選取次數合併同類項。 步驟識別與依賴規則：finite_product · 依賴：G001 S002 · implies操作前 choose exactly 0 of 17 factors to contribute y 操作後 C(17,0)=355687428096000/(1·355687428096000)=1 條件：無 先排列 17 個位置，再除掉 0 個 y 位置與 17 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 C(17,0)=1; choose y 0 times 操作後 1·x^17·y^0 條件：無 相應的 x 次數為 17-0=17；指數相加仍為 17。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 choose exactly 1 of 17 factors to contribute y 操作後 C(17,1)=355687428096000/(1·20922789888000)=17 條件：無 先排列 17 個位置，再除掉 1 個 y 位置與 16 個 x 位置各自的重排，得到係數 17。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 C(17,1)=17; choose y 1 times 操作後 17·x^16·y^1 條件：無 相應的 x 次數為 17-1=16；指數相加仍為 17。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 choose exactly 2 of 17 factors to contribute y 操作後 C(17,2)=355687428096000/(2·1307674368000)=136 條件：無 先排列 17 個位置，再除掉 2 個 y 位置與 15 個 x 位置各自的重排，得到係數 136。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 C(17,2)=136; choose y 2 times 操作後 136·x^15·y^2 條件：無 相應的 x 次數為 17-2=15；指數相加仍為 17。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 choose exactly 3 of 17 factors to contribute y 操作後 C(17,3)=355687428096000/(6·87178291200)=680 條件：無 先排列 17 個位置，再除掉 3 個 y 位置與 14 個 x 位置各自的重排，得到係數 680。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 C(17,3)=680; choose y 3 times 操作後 680·x^14·y^3 條件：無 相應的 x 次數為 17-3=14；指數相加仍為 17。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 choose exactly 4 of 17 factors to contribute y 操作後 C(17,4)=355687428096000/(24·6227020800)=2380 條件：無 先排列 17 個位置，再除掉 4 個 y 位置與 13 個 x 位置各自的重排，得到係數 2380。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 C(17,4)=2380; choose y 4 times 操作後 2380·x^13·y^4 條件：無 相應的 x 次數為 17-4=13；指數相加仍為 17。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 choose exactly 5 of 17 factors to contribute y 操作後 C(17,5)=355687428096000/(120·479001600)=6188 條件：無 先排列 17 個位置，再除掉 5 個 y 位置與 12 個 x 位置各自的重排，得到係數 6188。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 C(17,5)=6188; choose y 5 times 操作後 6188·x^12·y^5 條件：無 相應的 x 次數為 17-5=12；指數相加仍為 17。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 choose exactly 6 of 17 factors to contribute y 操作後 C(17,6)=355687428096000/(720·39916800)=12376 條件：無 先排列 17 個位置，再除掉 6 個 y 位置與 11 個 x 位置各自的重排，得到係數 12376。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 C(17,6)=12376; choose y 6 times 操作後 12376·x^11·y^6 條件：無 相應的 x 次數為 17-6=11；指數相加仍為 17。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 choose exactly 7 of 17 factors to contribute y 操作後 C(17,7)=355687428096000/(5040·3628800)=19448 條件：無 先排列 17 個位置，再除掉 7 個 y 位置與 10 個 x 位置各自的重排，得到係數 19448。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 C(17,7)=19448; choose y 7 times 操作後 19448·x^10·y^7 條件：無 相應的 x 次數為 17-7=10；指數相加仍為 17。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 choose exactly 8 of 17 factors to contribute y 操作後 C(17,8)=355687428096000/(40320·362880)=24310 條件：無 先排列 17 個位置，再除掉 8 個 y 位置與 9 個 x 位置各自的重排，得到係數 24310。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 C(17,8)=24310; choose y 8 times 操作後 24310·x^9·y^8 條件：無 相應的 x 次數為 17-8=9；指數相加仍為 17。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 choose exactly 9 of 17 factors to contribute y 操作後 C(17,9)=355687428096000/(362880·40320)=24310 條件：無 先排列 17 個位置，再除掉 9 個 y 位置與 8 個 x 位置各自的重排，得到係數 24310。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 C(17,9)=24310; choose y 9 times 操作後 24310·x^8·y^9 條件：無 相應的 x 次數為 17-9=8；指數相加仍為 17。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 choose exactly 10 of 17 factors to contribute y 操作後 C(17,10)=355687428096000/(3628800·5040)=19448 條件：無 先排列 17 個位置，再除掉 10 個 y 位置與 7 個 x 位置各自的重排，得到係數 19448。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 C(17,10)=19448; choose y 10 times 操作後 19448·x^7·y^10 條件：無 相應的 x 次數為 17-10=7；指數相加仍為 17。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 choose exactly 11 of 17 factors to contribute y 操作後 C(17,11)=355687428096000/(39916800·720)=12376 條件：無 先排列 17 個位置，再除掉 11 個 y 位置與 6 個 x 位置各自的重排，得到係數 12376。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 C(17,11)=12376; choose y 11 times 操作後 12376·x^6·y^11 條件：無 相應的 x 次數為 17-11=6；指數相加仍為 17。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 choose exactly 12 of 17 factors to contribute y 操作後 C(17,12)=355687428096000/(479001600·120)=6188 條件：無 先排列 17 個位置，再除掉 12 個 y 位置與 5 個 x 位置各自的重排，得到係數 6188。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 C(17,12)=6188; choose y 12 times 操作後 6188·x^5·y^12 條件：無 相應的 x 次數為 17-12=5；指數相加仍為 17。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 choose exactly 13 of 17 factors to contribute y 操作後 C(17,13)=355687428096000/(6227020800·24)=2380 條件：無 先排列 17 個位置，再除掉 13 個 y 位置與 4 個 x 位置各自的重排，得到係數 2380。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 C(17,13)=2380; choose y 13 times 操作後 2380·x^4·y^13 條件：無 相應的 x 次數為 17-13=4；指數相加仍為 17。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 choose exactly 14 of 17 factors to contribute y 操作後 C(17,14)=355687428096000/(87178291200·6)=680 條件：無 先排列 17 個位置，再除掉 14 個 y 位置與 3 個 x 位置各自的重排，得到係數 680。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 C(17,14)=680; choose y 14 times 操作後 680·x^3·y^14 條件：無 相應的 x 次數為 17-14=3；指數相加仍為 17。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 choose exactly 15 of 17 factors to contribute y 操作後 C(17,15)=355687428096000/(1307674368000·2)=136 條件：無 先排列 17 個位置，再除掉 15 個 y 位置與 2 個 x 位置各自的重排，得到係數 136。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 C(17,15)=136; choose y 15 times 操作後 136·x^2·y^15 條件：無 相應的 x 次數為 17-15=2；指數相加仍為 17。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 choose exactly 16 of 17 factors to contribute y 操作後 C(17,16)=355687428096000/(20922789888000·1)=17 條件：無 先排列 17 個位置，再除掉 16 個 y 位置與 1 個 x 位置各自的重排，得到係數 17。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 C(17,16)=17; choose y 16 times 操作後 17·x^1·y^16 條件：無 相應的 x 次數為 17-16=1；指數相加仍為 17。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S034 S036 · implies操作前 choose exactly 17 of 17 factors to contribute y 操作後 C(17,17)=355687428096000/(355687428096000·1)=1 條件：無 先排列 17 個位置，再除掉 17 個 y 位置與 0 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 C(17,17)=1; choose y 17 times 操作後 1·x^0·y^17 條件：無 相應的 x 次數為 17-17=0；指數相加仍為 17。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 all k=0 through 17 have been accounted for 操作後 (x+y)^17=1·x^17·y^0 + 17·x^16·y^1 + 136·x^15·y^2 + 680·x^14·y^3 + 2380·x^13·y^4 + 6188·x^12·y^5 + 12376·x^11·y^6 + 19448·x^10·y^7 + 24310·x^9·y^8 + 24310·x^8·y^9 + 19448·x^7·y^10 + 12376·x^6·y^11 + 6188·x^5·y^12 + 2380·x^4·y^13 + 680·x^3·y^14 + 136·x^2·y^15 + 17·x^1·y^16 + 1·x^0·y^17 條件：無 每一種 x/y 選取都落入唯一的 k 類，因此這是完整有限展開，不是只列頭尾項。 步驟識別與依賴規則：collect_all_terms · 依賴：G001, S037 ## 逐步反向核對 - S038 · premise_and_result_audit — 共有 n+1 個係數位置，k 的全範圍逐一保留。 - S037 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S036 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S035 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S034 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S033 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S032 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S031 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S030 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S029 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S028 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S027 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S026 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S025 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S024 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S023 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S022 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S021 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S020 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S019 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S018 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S017 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S016 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S015 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S014 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S013 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S012 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S011 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S010 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S009 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S008 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S007 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S006 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S005 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S004 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S003 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S002 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S001 · premise_and_result_audit — 此處不是非整數次方的無窮級數，也不套用到不可交換乘法。 ## 結論 (17, [[0, 1, 17, 0], [1, 17, 16, 1], [2, 136, 15, 2], [3, 680, 14, 3], [4, 2380, 13, 4], [5, 6188, 12, 5], [6, 12376, 11, 6], [7, 19448, 10, 7], [8, 24310, 9, 8], [9, 24310, 8, 9], [10, 19448, 7, 10], [11, 12376, 6, 11], [12, 6188, 5, 12], [13, 2380, 4, 13], [14, 680, 3, 14], [15, 136, 2, 15], [16, 17, 1, 16], [17, 1, 0, 17]], complete_k_zero_through_n_coefficients) 完整展開如上述所有單項式；欄序表逐項對應。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-24 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: c7954fe81e2fb82b5bbd32a472856a7ef09b868c18f0a89003cd726f188fe99a - candidate record SHA-256: 6e6248c877c0565a4bbc86e9322e6d51179a15f2086990cfd07489da12b02590 - semantic review receipt SHA-256: 4727d1bd957a9b7f6cadb7972ddb5ab80a31f5259dc5394c1dff2b71944ed36b - question-first witness SHA-256: 51e18649133238ac992229f6e16542a5f3af53ca73b2262ab0524508ea937dee - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0043.json)