# 第 95 題：二項式定理 [返回所在分頁 1](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-foundations/#q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0045) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 P250-0095 · q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0045 ## 原題與已知條件 commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":19}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":19}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 n 是非負整數，x 與 y 可交換；n=0 使用多項式空乘積單位元。 - [mko-binomial-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-binomial-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 n=19≥0; x,y commute 操作後 (x+y)^19 is a finite product of 19 factors 條件：無 每個因子選 x 或 y，且乘法可交換，才能按 y 的選取次數合併同類項。 步驟識別與依賴規則：finite_product · 依賴：G001 S002 · implies操作前 choose exactly 0 of 19 factors to contribute y 操作後 C(19,0)=121645100408832000/(1·121645100408832000)=1 條件：無 先排列 19 個位置，再除掉 0 個 y 位置與 19 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 C(19,0)=1; choose y 0 times 操作後 1·x^19·y^0 條件：無 相應的 x 次數為 19-0=19；指數相加仍為 19。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 choose exactly 1 of 19 factors to contribute y 操作後 C(19,1)=121645100408832000/(1·6402373705728000)=19 條件：無 先排列 19 個位置，再除掉 1 個 y 位置與 18 個 x 位置各自的重排，得到係數 19。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 C(19,1)=19; choose y 1 times 操作後 19·x^18·y^1 條件：無 相應的 x 次數為 19-1=18；指數相加仍為 19。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 choose exactly 2 of 19 factors to contribute y 操作後 C(19,2)=121645100408832000/(2·355687428096000)=171 條件：無 先排列 19 個位置，再除掉 2 個 y 位置與 17 個 x 位置各自的重排，得到係數 171。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 C(19,2)=171; choose y 2 times 操作後 171·x^17·y^2 條件：無 相應的 x 次數為 19-2=17；指數相加仍為 19。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 choose exactly 3 of 19 factors to contribute y 操作後 C(19,3)=121645100408832000/(6·20922789888000)=969 條件：無 先排列 19 個位置，再除掉 3 個 y 位置與 16 個 x 位置各自的重排，得到係數 969。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 C(19,3)=969; choose y 3 times 操作後 969·x^16·y^3 條件：無 相應的 x 次數為 19-3=16；指數相加仍為 19。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 choose exactly 4 of 19 factors to contribute y 操作後 C(19,4)=121645100408832000/(24·1307674368000)=3876 條件：無 先排列 19 個位置，再除掉 4 個 y 位置與 15 個 x 位置各自的重排，得到係數 3876。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 C(19,4)=3876; choose y 4 times 操作後 3876·x^15·y^4 條件：無 相應的 x 次數為 19-4=15；指數相加仍為 19。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 choose exactly 5 of 19 factors to contribute y 操作後 C(19,5)=121645100408832000/(120·87178291200)=11628 條件：無 先排列 19 個位置，再除掉 5 個 y 位置與 14 個 x 位置各自的重排，得到係數 11628。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 C(19,5)=11628; choose y 5 times 操作後 11628·x^14·y^5 條件：無 相應的 x 次數為 19-5=14；指數相加仍為 19。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 choose exactly 6 of 19 factors to contribute y 操作後 C(19,6)=121645100408832000/(720·6227020800)=27132 條件：無 先排列 19 個位置，再除掉 6 個 y 位置與 13 個 x 位置各自的重排，得到係數 27132。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 C(19,6)=27132; choose y 6 times 操作後 27132·x^13·y^6 條件：無 相應的 x 次數為 19-6=13；指數相加仍為 19。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 choose exactly 7 of 19 factors to contribute y 操作後 C(19,7)=121645100408832000/(5040·479001600)=50388 條件：無 先排列 19 個位置，再除掉 7 個 y 位置與 12 個 x 位置各自的重排，得到係數 50388。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 C(19,7)=50388; choose y 7 times 操作後 50388·x^12·y^7 條件：無 相應的 x 次數為 19-7=12；指數相加仍為 19。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 choose exactly 8 of 19 factors to contribute y 操作後 C(19,8)=121645100408832000/(40320·39916800)=75582 條件：無 先排列 19 個位置，再除掉 8 個 y 位置與 11 個 x 位置各自的重排，得到係數 75582。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 C(19,8)=75582; choose y 8 times 操作後 75582·x^11·y^8 條件：無 相應的 x 次數為 19-8=11；指數相加仍為 19。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 choose exactly 9 of 19 factors to contribute y 操作後 C(19,9)=121645100408832000/(362880·3628800)=92378 條件：無 先排列 19 個位置，再除掉 9 個 y 位置與 10 個 x 位置各自的重排，得到係數 92378。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 C(19,9)=92378; choose y 9 times 操作後 92378·x^10·y^9 條件：無 相應的 x 次數為 19-9=10；指數相加仍為 19。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 choose exactly 10 of 19 factors to contribute y 操作後 C(19,10)=121645100408832000/(3628800·362880)=92378 條件：無 先排列 19 個位置，再除掉 10 個 y 位置與 9 個 x 位置各自的重排，得到係數 92378。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 C(19,10)=92378; choose y 10 times 操作後 92378·x^9·y^10 條件：無 相應的 x 次數為 19-10=9；指數相加仍為 19。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 choose exactly 11 of 19 factors to contribute y 操作後 C(19,11)=121645100408832000/(39916800·40320)=75582 條件：無 先排列 19 個位置，再除掉 11 個 y 位置與 8 個 x 位置各自的重排，得到係數 75582。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 C(19,11)=75582; choose y 11 times 操作後 75582·x^8·y^11 條件：無 相應的 x 次數為 19-11=8；指數相加仍為 19。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 choose exactly 12 of 19 factors to contribute y 操作後 C(19,12)=121645100408832000/(479001600·5040)=50388 條件：無 先排列 19 個位置，再除掉 12 個 y 位置與 7 個 x 位置各自的重排，得到係數 50388。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 C(19,12)=50388; choose y 12 times 操作後 50388·x^7·y^12 條件：無 相應的 x 次數為 19-12=7；指數相加仍為 19。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 choose exactly 13 of 19 factors to contribute y 操作後 C(19,13)=121645100408832000/(6227020800·720)=27132 條件：無 先排列 19 個位置，再除掉 13 個 y 位置與 6 個 x 位置各自的重排，得到係數 27132。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 C(19,13)=27132; choose y 13 times 操作後 27132·x^6·y^13 條件：無 相應的 x 次數為 19-13=6；指數相加仍為 19。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 choose exactly 14 of 19 factors to contribute y 操作後 C(19,14)=121645100408832000/(87178291200·120)=11628 條件：無 先排列 19 個位置，再除掉 14 個 y 位置與 5 個 x 位置各自的重排，得到係數 11628。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 C(19,14)=11628; choose y 14 times 操作後 11628·x^5·y^14 條件：無 相應的 x 次數為 19-14=5；指數相加仍為 19。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 choose exactly 15 of 19 factors to contribute y 操作後 C(19,15)=121645100408832000/(1307674368000·24)=3876 條件：無 先排列 19 個位置，再除掉 15 個 y 位置與 4 個 x 位置各自的重排，得到係數 3876。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 C(19,15)=3876; choose y 15 times 操作後 3876·x^4·y^15 條件：無 相應的 x 次數為 19-15=4；指數相加仍為 19。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 choose exactly 16 of 19 factors to contribute y 操作後 C(19,16)=121645100408832000/(20922789888000·6)=969 條件：無 先排列 19 個位置，再除掉 16 個 y 位置與 3 個 x 位置各自的重排，得到係數 969。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 C(19,16)=969; choose y 16 times 操作後 969·x^3·y^16 條件：無 相應的 x 次數為 19-16=3；指數相加仍為 19。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S034 S036 · implies操作前 choose exactly 17 of 19 factors to contribute y 操作後 C(19,17)=121645100408832000/(355687428096000·2)=171 條件：無 先排列 19 個位置，再除掉 17 個 y 位置與 2 個 x 位置各自的重排，得到係數 171。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 C(19,17)=171; choose y 17 times 操作後 171·x^2·y^17 條件：無 相應的 x 次數為 19-17=2；指數相加仍為 19。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 choose exactly 18 of 19 factors to contribute y 操作後 C(19,18)=121645100408832000/(6402373705728000·1)=19 條件：無 先排列 19 個位置，再除掉 18 個 y 位置與 1 個 x 位置各自的重排，得到係數 19。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S037 S039 · implies操作前 C(19,18)=19; choose y 18 times 操作後 19·x^1·y^18 條件：無 相應的 x 次數為 19-18=1；指數相加仍為 19。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S038 S040 · implies操作前 choose exactly 19 of 19 factors to contribute y 操作後 C(19,19)=121645100408832000/(121645100408832000·1)=1 條件：無 先排列 19 個位置，再除掉 19 個 y 位置與 0 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S039 S041 · implies操作前 C(19,19)=1; choose y 19 times 操作後 1·x^0·y^19 條件：無 相應的 x 次數為 19-19=0；指數相加仍為 19。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S040 S042 · implies操作前 all k=0 through 19 have been accounted for 操作後 (x+y)^19=1·x^19·y^0 + 19·x^18·y^1 + 171·x^17·y^2 + 969·x^16·y^3 + 3876·x^15·y^4 + 11628·x^14·y^5 + 27132·x^13·y^6 + 50388·x^12·y^7 + 75582·x^11·y^8 + 92378·x^10·y^9 + 92378·x^9·y^10 + 75582·x^8·y^11 + 50388·x^7·y^12 + 27132·x^6·y^13 + 11628·x^5·y^14 + 3876·x^4·y^15 + 969·x^3·y^16 + 171·x^2·y^17 + 19·x^1·y^18 + 1·x^0·y^19 條件：無 每一種 x/y 選取都落入唯一的 k 類，因此這是完整有限展開，不是只列頭尾項。 步驟識別與依賴規則：collect_all_terms · 依賴：G001, S041 ## 逐步反向核對 - S042 · premise_and_result_audit — 共有 n+1 個係數位置，k 的全範圍逐一保留。 - S041 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S040 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S039 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S038 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S037 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S036 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S035 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S034 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S033 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S032 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S031 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S030 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S029 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S028 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S027 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S026 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S025 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S024 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S023 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S022 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S021 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S020 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S019 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S018 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S017 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S016 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S015 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S014 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S013 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S012 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S011 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S010 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S009 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S008 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S007 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S006 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S005 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S004 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S003 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S002 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S001 · premise_and_result_audit — 此處不是非整數次方的無窮級數，也不套用到不可交換乘法。 ## 結論 (19, [[0, 1, 19, 0], [1, 19, 18, 1], [2, 171, 17, 2], [3, 969, 16, 3], [4, 3876, 15, 4], [5, 11628, 14, 5], [6, 27132, 13, 6], [7, 50388, 12, 7], [8, 75582, 11, 8], [9, 92378, 10, 9], [10, 92378, 9, 10], [11, 75582, 8, 11], [12, 50388, 7, 12], [13, 27132, 6, 13], [14, 11628, 5, 14], [15, 3876, 4, 15], [16, 969, 3, 16], [17, 171, 2, 17], [18, 19, 1, 18], [19, 1, 0, 19]], complete_k_zero_through_n_coefficients) 完整展開如上述所有單項式；欄序表逐項對應。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-24 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 5d34617516997dad1199c17c143843c3297c8e9aabead1deca0bf91def62d392 - candidate record SHA-256: c075aa203f738c1d80ffd01f9f67db93af43548e009ef65802f0a460bca52c05 - semantic review receipt SHA-256: 4727d1bd957a9b7f6cadb7972ddb5ab80a31f5259dc5394c1dff2b71944ed36b - question-first witness SHA-256: 51e18649133238ac992229f6e16542a5f3af53ca73b2262ab0524508ea937dee - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0045.json)