# 第 100 題：二項式定理 [返回所在分頁 1](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-foundations/#q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0050) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 P250-0100 · q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0050 ## 原題與已知條件 commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":24}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":24}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 n 是非負整數，x 與 y 可交換；n=0 使用多項式空乘積單位元。 - [mko-binomial-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-binomial-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 n=24≥0; x,y commute 操作後 (x+y)^24 is a finite product of 24 factors 條件：無 每個因子選 x 或 y，且乘法可交換，才能按 y 的選取次數合併同類項。 步驟識別與依賴規則：finite_product · 依賴：G001 S002 · implies操作前 choose exactly 0 of 24 factors to contribute y 操作後 C(24,0)=620448401733239439360000/(1·620448401733239439360000)=1 條件：無 先排列 24 個位置，再除掉 0 個 y 位置與 24 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 C(24,0)=1; choose y 0 times 操作後 1·x^24·y^0 條件：無 相應的 x 次數為 24-0=24；指數相加仍為 24。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 choose exactly 1 of 24 factors to contribute y 操作後 C(24,1)=620448401733239439360000/(1·25852016738884976640000)=24 條件：無 先排列 24 個位置，再除掉 1 個 y 位置與 23 個 x 位置各自的重排，得到係數 24。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 C(24,1)=24; choose y 1 times 操作後 24·x^23·y^1 條件：無 相應的 x 次數為 24-1=23；指數相加仍為 24。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 choose exactly 2 of 24 factors to contribute y 操作後 C(24,2)=620448401733239439360000/(2·1124000727777607680000)=276 條件：無 先排列 24 個位置，再除掉 2 個 y 位置與 22 個 x 位置各自的重排，得到係數 276。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 C(24,2)=276; choose y 2 times 操作後 276·x^22·y^2 條件：無 相應的 x 次數為 24-2=22；指數相加仍為 24。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 choose exactly 3 of 24 factors to contribute y 操作後 C(24,3)=620448401733239439360000/(6·51090942171709440000)=2024 條件：無 先排列 24 個位置，再除掉 3 個 y 位置與 21 個 x 位置各自的重排，得到係數 2024。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 C(24,3)=2024; choose y 3 times 操作後 2024·x^21·y^3 條件：無 相應的 x 次數為 24-3=21；指數相加仍為 24。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 choose exactly 4 of 24 factors to contribute y 操作後 C(24,4)=620448401733239439360000/(24·2432902008176640000)=10626 條件：無 先排列 24 個位置，再除掉 4 個 y 位置與 20 個 x 位置各自的重排，得到係數 10626。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 C(24,4)=10626; choose y 4 times 操作後 10626·x^20·y^4 條件：無 相應的 x 次數為 24-4=20；指數相加仍為 24。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 choose exactly 5 of 24 factors to contribute y 操作後 C(24,5)=620448401733239439360000/(120·121645100408832000)=42504 條件：無 先排列 24 個位置，再除掉 5 個 y 位置與 19 個 x 位置各自的重排，得到係數 42504。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 C(24,5)=42504; choose y 5 times 操作後 42504·x^19·y^5 條件：無 相應的 x 次數為 24-5=19；指數相加仍為 24。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 choose exactly 6 of 24 factors to contribute y 操作後 C(24,6)=620448401733239439360000/(720·6402373705728000)=134596 條件：無 先排列 24 個位置，再除掉 6 個 y 位置與 18 個 x 位置各自的重排，得到係數 134596。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 C(24,6)=134596; choose y 6 times 操作後 134596·x^18·y^6 條件：無 相應的 x 次數為 24-6=18；指數相加仍為 24。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 choose exactly 7 of 24 factors to contribute y 操作後 C(24,7)=620448401733239439360000/(5040·355687428096000)=346104 條件：無 先排列 24 個位置，再除掉 7 個 y 位置與 17 個 x 位置各自的重排，得到係數 346104。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 C(24,7)=346104; choose y 7 times 操作後 346104·x^17·y^7 條件：無 相應的 x 次數為 24-7=17；指數相加仍為 24。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 choose exactly 8 of 24 factors to contribute y 操作後 C(24,8)=620448401733239439360000/(40320·20922789888000)=735471 條件：無 先排列 24 個位置，再除掉 8 個 y 位置與 16 個 x 位置各自的重排，得到係數 735471。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 C(24,8)=735471; choose y 8 times 操作後 735471·x^16·y^8 條件：無 相應的 x 次數為 24-8=16；指數相加仍為 24。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 choose exactly 9 of 24 factors to contribute y 操作後 C(24,9)=620448401733239439360000/(362880·1307674368000)=1307504 條件：無 先排列 24 個位置，再除掉 9 個 y 位置與 15 個 x 位置各自的重排，得到係數 1307504。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 C(24,9)=1307504; choose y 9 times 操作後 1307504·x^15·y^9 條件：無 相應的 x 次數為 24-9=15；指數相加仍為 24。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 choose exactly 10 of 24 factors to contribute y 操作後 C(24,10)=620448401733239439360000/(3628800·87178291200)=1961256 條件：無 先排列 24 個位置，再除掉 10 個 y 位置與 14 個 x 位置各自的重排，得到係數 1961256。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 C(24,10)=1961256; choose y 10 times 操作後 1961256·x^14·y^10 條件：無 相應的 x 次數為 24-10=14；指數相加仍為 24。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 choose exactly 11 of 24 factors to contribute y 操作後 C(24,11)=620448401733239439360000/(39916800·6227020800)=2496144 條件：無 先排列 24 個位置，再除掉 11 個 y 位置與 13 個 x 位置各自的重排，得到係數 2496144。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 C(24,11)=2496144; choose y 11 times 操作後 2496144·x^13·y^11 條件：無 相應的 x 次數為 24-11=13；指數相加仍為 24。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 choose exactly 12 of 24 factors to contribute y 操作後 C(24,12)=620448401733239439360000/(479001600·479001600)=2704156 條件：無 先排列 24 個位置，再除掉 12 個 y 位置與 12 個 x 位置各自的重排，得到係數 2704156。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 C(24,12)=2704156; choose y 12 times 操作後 2704156·x^12·y^12 條件：無 相應的 x 次數為 24-12=12；指數相加仍為 24。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 choose exactly 13 of 24 factors to contribute y 操作後 C(24,13)=620448401733239439360000/(6227020800·39916800)=2496144 條件：無 先排列 24 個位置，再除掉 13 個 y 位置與 11 個 x 位置各自的重排，得到係數 2496144。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 C(24,13)=2496144; choose y 13 times 操作後 2496144·x^11·y^13 條件：無 相應的 x 次數為 24-13=11；指數相加仍為 24。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 choose exactly 14 of 24 factors to contribute y 操作後 C(24,14)=620448401733239439360000/(87178291200·3628800)=1961256 條件：無 先排列 24 個位置，再除掉 14 個 y 位置與 10 個 x 位置各自的重排，得到係數 1961256。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 C(24,14)=1961256; choose y 14 times 操作後 1961256·x^10·y^14 條件：無 相應的 x 次數為 24-14=10；指數相加仍為 24。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 choose exactly 15 of 24 factors to contribute y 操作後 C(24,15)=620448401733239439360000/(1307674368000·362880)=1307504 條件：無 先排列 24 個位置，再除掉 15 個 y 位置與 9 個 x 位置各自的重排，得到係數 1307504。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 C(24,15)=1307504; choose y 15 times 操作後 1307504·x^9·y^15 條件：無 相應的 x 次數為 24-15=9；指數相加仍為 24。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 choose exactly 16 of 24 factors to contribute y 操作後 C(24,16)=620448401733239439360000/(20922789888000·40320)=735471 條件：無 先排列 24 個位置，再除掉 16 個 y 位置與 8 個 x 位置各自的重排，得到係數 735471。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 C(24,16)=735471; choose y 16 times 操作後 735471·x^8·y^16 條件：無 相應的 x 次數為 24-16=8；指數相加仍為 24。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S034 S036 · implies操作前 choose exactly 17 of 24 factors to contribute y 操作後 C(24,17)=620448401733239439360000/(355687428096000·5040)=346104 條件：無 先排列 24 個位置，再除掉 17 個 y 位置與 7 個 x 位置各自的重排，得到係數 346104。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 C(24,17)=346104; choose y 17 times 操作後 346104·x^7·y^17 條件：無 相應的 x 次數為 24-17=7；指數相加仍為 24。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 choose exactly 18 of 24 factors to contribute y 操作後 C(24,18)=620448401733239439360000/(6402373705728000·720)=134596 條件：無 先排列 24 個位置，再除掉 18 個 y 位置與 6 個 x 位置各自的重排，得到係數 134596。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S037 S039 · implies操作前 C(24,18)=134596; choose y 18 times 操作後 134596·x^6·y^18 條件：無 相應的 x 次數為 24-18=6；指數相加仍為 24。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S038 S040 · implies操作前 choose exactly 19 of 24 factors to contribute y 操作後 C(24,19)=620448401733239439360000/(121645100408832000·120)=42504 條件：無 先排列 24 個位置，再除掉 19 個 y 位置與 5 個 x 位置各自的重排，得到係數 42504。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S039 S041 · implies操作前 C(24,19)=42504; choose y 19 times 操作後 42504·x^5·y^19 條件：無 相應的 x 次數為 24-19=5；指數相加仍為 24。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S040 S042 · implies操作前 choose exactly 20 of 24 factors to contribute y 操作後 C(24,20)=620448401733239439360000/(2432902008176640000·24)=10626 條件：無 先排列 24 個位置，再除掉 20 個 y 位置與 4 個 x 位置各自的重排，得到係數 10626。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S041 S043 · implies操作前 C(24,20)=10626; choose y 20 times 操作後 10626·x^4·y^20 條件：無 相應的 x 次數為 24-20=4；指數相加仍為 24。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 choose exactly 21 of 24 factors to contribute y 操作後 C(24,21)=620448401733239439360000/(51090942171709440000·6)=2024 條件：無 先排列 24 個位置，再除掉 21 個 y 位置與 3 個 x 位置各自的重排，得到係數 2024。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S043 S045 · implies操作前 C(24,21)=2024; choose y 21 times 操作後 2024·x^3·y^21 條件：無 相應的 x 次數為 24-21=3；指數相加仍為 24。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S044 S046 · implies操作前 choose exactly 22 of 24 factors to contribute y 操作後 C(24,22)=620448401733239439360000/(1124000727777607680000·2)=276 條件：無 先排列 24 個位置，再除掉 22 個 y 位置與 2 個 x 位置各自的重排，得到係數 276。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S045 S047 · implies操作前 C(24,22)=276; choose y 22 times 操作後 276·x^2·y^22 條件：無 相應的 x 次數為 24-22=2；指數相加仍為 24。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S046 S048 · implies操作前 choose exactly 23 of 24 factors to contribute y 操作後 C(24,23)=620448401733239439360000/(25852016738884976640000·1)=24 條件：無 先排列 24 個位置，再除掉 23 個 y 位置與 1 個 x 位置各自的重排，得到係數 24。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S047 S049 · implies操作前 C(24,23)=24; choose y 23 times 操作後 24·x^1·y^23 條件：無 相應的 x 次數為 24-23=1；指數相加仍為 24。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S048 S050 · implies操作前 choose exactly 24 of 24 factors to contribute y 操作後 C(24,24)=620448401733239439360000/(620448401733239439360000·1)=1 條件：無 先排列 24 個位置，再除掉 24 個 y 位置與 0 個 x 位置各自的重排，得到係數 1。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S049 S051 · implies操作前 C(24,24)=1; choose y 24 times 操作後 1·x^0·y^24 條件：無 相應的 x 次數為 24-24=0；指數相加仍為 24。 步驟識別與依賴規則：group_like_terms · 依賴：G001, S050 S052 · implies操作前 all k=0 through 24 have been accounted for 操作後 (x+y)^24=1·x^24·y^0 + 24·x^23·y^1 + 276·x^22·y^2 + 2024·x^21·y^3 + 10626·x^20·y^4 + 42504·x^19·y^5 + 134596·x^18·y^6 + 346104·x^17·y^7 + 735471·x^16·y^8 + 1307504·x^15·y^9 + 1961256·x^14·y^10 + 2496144·x^13·y^11 + 2704156·x^12·y^12 + 2496144·x^11·y^13 + 1961256·x^10·y^14 + 1307504·x^9·y^15 + 735471·x^8·y^16 + 346104·x^7·y^17 + 134596·x^6·y^18 + 42504·x^5·y^19 + 10626·x^4·y^20 + 2024·x^3·y^21 + 276·x^2·y^22 + 24·x^1·y^23 + 1·x^0·y^24 條件：無 每一種 x/y 選取都落入唯一的 k 類，因此這是完整有限展開，不是只列頭尾項。 步驟識別與依賴規則：collect_all_terms · 依賴：G001, S051 ## 逐步反向核對 - S052 · premise_and_result_audit — 共有 n+1 個係數位置，k 的全範圍逐一保留。 - S051 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S050 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S049 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S048 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S047 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S046 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S045 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S044 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S043 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S042 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S041 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S040 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S039 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S038 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S037 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S036 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S035 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S034 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S033 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S032 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S031 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S030 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S029 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S028 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S027 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S026 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S025 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S024 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S023 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S022 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S021 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S020 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S019 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S018 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S017 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S016 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S015 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S014 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S013 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S012 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S011 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S010 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S009 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S008 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S007 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S006 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S005 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S004 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S003 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。 - S002 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。 - S001 · premise_and_result_audit — 此處不是非整數次方的無窮級數，也不套用到不可交換乘法。 ## 結論 (24, [[0, 1, 24, 0], [1, 24, 23, 1], [2, 276, 22, 2], [3, 2024, 21, 3], [4, 10626, 20, 4], [5, 42504, 19, 5], [6, 134596, 18, 6], [7, 346104, 17, 7], [8, 735471, 16, 8], [9, 1307504, 15, 9], [10, 1961256, 14, 10], [11, 2496144, 13, 11], [12, 2704156, 12, 12], [13, 2496144, 11, 13], [14, 1961256, 10, 14], [15, 1307504, 9, 15], [16, 735471, 8, 16], [17, 346104, 7, 17], [18, 134596, 6, 18], [19, 42504, 5, 19], [20, 10626, 4, 20], [21, 2024, 3, 21], [22, 276, 2, 22], [23, 24, 1, 23], [24, 1, 0, 24]], complete_k_zero_through_n_coefficients) 完整展開如上述所有單項式；欄序表逐項對應。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-24 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 24e1908ee45ca42532415665075d5aa9f8121ea581f44ae6a36072f7f8a38280 - candidate record SHA-256: 88a8b5624738907adb20a019d2c22ec279cf86f9eaee39a735bc8e751e78d70e - semantic review receipt SHA-256: 4727d1bd957a9b7f6cadb7972ddb5ab80a31f5259dc5394c1dff2b71944ed36b - question-first witness SHA-256: 51e18649133238ac992229f6e16542a5f3af53ca73b2262ab0524508ea937dee - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0050.json)