# 第 435 題：二項式定理 [返回所在分頁 3](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/3/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-foundations/#q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0060) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 P1000-0435 · q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0060 ## 原題與已知條件 commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-evaluation-identity；資料={"n":9,"x":-1,"y":-2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-evaluation-identity；資料={"n":9,"x":-1,"y":-2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 n 為非負整數且 x、y 可交換；逐項 C(n,k)x^(n−k)y^k 加總，零次冪為 1。 - [mko-binomial-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-binomial-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 n=9≥0; multiplication commutes 操作後 group the finite product by the number of y choices 條件：無 每個因子選x或y，依選y的次數分組，係數先作整數計數。 步驟識別與依賴規則：commutative_product · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 x+y := sum(-1, -2) 操作後 x+y = -3 條件：無 先直接計算和。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 (x+y)^n: (-3)^9 操作後 (x+y)^n = -19683 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 choose 0 positions out of 9 操作後 C(9,0)=362880/(1·362880)=1 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 x^9: (-1)^9 操作後 x^9 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 y^0: (-2)^0 操作後 y^0 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 C·x power (k=0) := mul(1, -1) 操作後 C·x power (k=0) = -1 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 term[0] := mul(-1, 1) 操作後 term[0] = -1 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 choose 1 positions out of 9 操作後 C(9,1)=362880/(1·40320)=9 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 x^8: (-1)^8 操作後 x^8 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 y^1: (-2)^1 操作後 y^1 = -2 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 C·x power (k=1) := mul(9, 1) 操作後 C·x power (k=1) = 9 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 term[1] := mul(9, -2) 操作後 term[1] = -18 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 choose 2 positions out of 9 操作後 C(9,2)=362880/(2·5040)=36 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 x^7: (-1)^7 操作後 x^7 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 y^2: (-2)^2 操作後 y^2 = 4 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 C·x power (k=2) := mul(36, -1) 操作後 C·x power (k=2) = -36 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 term[2] := mul(-36, 4) 操作後 term[2] = -144 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 choose 3 positions out of 9 操作後 C(9,3)=362880/(6·720)=84 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 x^6: (-1)^6 操作後 x^6 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 y^3: (-2)^3 操作後 y^3 = -8 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 C·x power (k=3) := mul(84, 1) 操作後 C·x power (k=3) = 84 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 term[3] := mul(84, -8) 操作後 term[3] = -672 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 choose 4 positions out of 9 操作後 C(9,4)=362880/(24·120)=126 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 x^5: (-1)^5 操作後 x^5 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 y^4: (-2)^4 操作後 y^4 = 16 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 C·x power (k=4) := mul(126, -1) 操作後 C·x power (k=4) = -126 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 term[4] := mul(-126, 16) 操作後 term[4] = -2016 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 choose 5 positions out of 9 操作後 C(9,5)=362880/(120·24)=126 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 x^4: (-1)^4 操作後 x^4 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 y^5: (-2)^5 操作後 y^5 = -32 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 C·x power (k=5) := mul(126, 1) 操作後 C·x power (k=5) = 126 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 term[5] := mul(126, -32) 操作後 term[5] = -4032 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 choose 6 positions out of 9 操作後 C(9,6)=362880/(720·6)=84 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 x^3: (-1)^3 操作後 x^3 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S034 S036 · implies操作前 y^6: (-2)^6 操作後 y^6 = 64 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 C·x power (k=6) := mul(84, -1) 操作後 C·x power (k=6) = -84 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 term[6] := mul(-84, 64) 操作後 term[6] = -5376 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · implies操作前 choose 7 positions out of 9 操作後 C(9,7)=362880/(5040·2)=36 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S038 S040 · implies操作前 x^2: (-1)^2 操作後 x^2 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S039 S041 · implies操作前 y^7: (-2)^7 操作後 y^7 = -128 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 C·x power (k=7) := mul(36, 1) 操作後 C·x power (k=7) = 36 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 term[7] := mul(36, -128) 操作後 term[7] = -4608 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 choose 8 positions out of 9 操作後 C(9,8)=362880/(40320·1)=9 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S043 S045 · implies操作前 x^1: (-1)^1 操作後 x^1 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S044 S046 · implies操作前 y^8: (-2)^8 操作後 y^8 = 256 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 C·x power (k=8) := mul(9, -1) 操作後 C·x power (k=8) = -9 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 term[8] := mul(-9, 256) 操作後 term[8] = -2304 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · implies操作前 choose 9 positions out of 9 操作後 C(9,9)=362880/(362880·1)=1 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S048 S050 · implies操作前 x^0: (-1)^0 操作後 x^0 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S049 S051 · implies操作前 y^9: (-2)^9 操作後 y^9 = -512 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 C·x power (k=9) := mul(1, 1) 操作後 C·x power (k=9) = 1 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 term[9] := mul(1, -512) 操作後 term[9] = -512 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 expanded sum := sum(-1, -18, -144, -672, -2016, -4032, -5376, -4608, -2304, -512) 操作後 expanded sum = -19683 條件：無 所有k都已列出，逐項加總，不只取首尾項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · implies操作前 direct=-19683; expanded=-19683 操作後 identity holds: 是 條件：無 兩條計算路徑一致，核對本題的有限二項恆等式。 步驟識別與依賴規則：finite_expansion_evaluation · 依賴：G001, S054 ## 逐步反向核對 - S055 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 expanded sum，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[9]，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=9)，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S050 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S049 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[8]，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=8)，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S045 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S044 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[7]，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=7)，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S040 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S039 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[6]，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=6)，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S035 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S034 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[5]，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=5)，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S030 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S029 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[4]，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=4)，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S025 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S024 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[3]，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=3)，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S020 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S019 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[2]，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=2)，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S015 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S014 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[1]，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=1)，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S010 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S009 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[0]，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=0)，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S005 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S004 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S003 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x+y，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 ## 結論 (9, -1, -2, -19683, -19683, 是) 上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 43a78e4e1a5006b3f2b19f290fff7b75747e65c1f57cb3910e216ceb0436ebfc - candidate record SHA-256: 46013ceb33c5a474d537d0920ef4bb856905b7828ce62c112139640c9333fdb8 - semantic review receipt SHA-256: 6c2c6d46aded7582a11ac41a8c0b3bdde2669a53bdb6e796eea2039994a02772 - question-first witness SHA-256: 77e43898df9efdbf8094ad81fe4ab91cf4b4bd82f481eb9b4699b73cb4da612b - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0060.json)