# 第 445 題：二項式定理 [返回所在分頁 3](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/3/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-foundations/#q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0070) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 P1000-0445 · q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0070 ## 原題與已知條件 commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-evaluation-identity；資料={"n":19,"x":2,"y":-2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-evaluation-identity；資料={"n":19,"x":2,"y":-2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 n 為非負整數且 x、y 可交換；逐項 C(n,k)x^(n−k)y^k 加總，零次冪為 1。 - [mko-binomial-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-binomial-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 n=19≥0; multiplication commutes 操作後 group the finite product by the number of y choices 條件：無 每個因子選x或y，依選y的次數分組，係數先作整數計數。 步驟識別與依賴規則：commutative_product · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 x+y := sum(2, -2) 操作後 x+y = 0 條件：無 先直接計算和。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 (x+y)^n: (0)^19 操作後 (x+y)^n = 0 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 choose 0 positions out of 19 操作後 C(19,0)=121645100408832000/(1·121645100408832000)=1 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 x^19: (2)^19 操作後 x^19 = 524288 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 y^0: (-2)^0 操作後 y^0 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 C·x power (k=0) := mul(1, 524288) 操作後 C·x power (k=0) = 524288 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 term[0] := mul(524288, 1) 操作後 term[0] = 524288 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 choose 1 positions out of 19 操作後 C(19,1)=121645100408832000/(1·6402373705728000)=19 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 x^18: (2)^18 操作後 x^18 = 262144 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 y^1: (-2)^1 操作後 y^1 = -2 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 C·x power (k=1) := mul(19, 262144) 操作後 C·x power (k=1) = 4980736 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 term[1] := mul(4980736, -2) 操作後 term[1] = -9961472 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 choose 2 positions out of 19 操作後 C(19,2)=121645100408832000/(2·355687428096000)=171 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 x^17: (2)^17 操作後 x^17 = 131072 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 y^2: (-2)^2 操作後 y^2 = 4 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 C·x power (k=2) := mul(171, 131072) 操作後 C·x power (k=2) = 22413312 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 term[2] := mul(22413312, 4) 操作後 term[2] = 89653248 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 choose 3 positions out of 19 操作後 C(19,3)=121645100408832000/(6·20922789888000)=969 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 x^16: (2)^16 操作後 x^16 = 65536 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 y^3: (-2)^3 操作後 y^3 = -8 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 C·x power (k=3) := mul(969, 65536) 操作後 C·x power (k=3) = 63504384 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 term[3] := mul(63504384, -8) 操作後 term[3] = -508035072 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 choose 4 positions out of 19 操作後 C(19,4)=121645100408832000/(24·1307674368000)=3876 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 x^15: (2)^15 操作後 x^15 = 32768 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 y^4: (-2)^4 操作後 y^4 = 16 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 C·x power (k=4) := mul(3876, 32768) 操作後 C·x power (k=4) = 127008768 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 term[4] := mul(127008768, 16) 操作後 term[4] = 2032140288 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 choose 5 positions out of 19 操作後 C(19,5)=121645100408832000/(120·87178291200)=11628 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 x^14: (2)^14 操作後 x^14 = 16384 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 y^5: (-2)^5 操作後 y^5 = -32 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 C·x power (k=5) := mul(11628, 16384) 操作後 C·x power (k=5) = 190513152 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 term[5] := mul(190513152, -32) 操作後 term[5] = -6096420864 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 choose 6 positions out of 19 操作後 C(19,6)=121645100408832000/(720·6227020800)=27132 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 x^13: (2)^13 操作後 x^13 = 8192 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S034 S036 · implies操作前 y^6: (-2)^6 操作後 y^6 = 64 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 C·x power (k=6) := mul(27132, 8192) 操作後 C·x power (k=6) = 222265344 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 term[6] := mul(222265344, 64) 操作後 term[6] = 14224982016 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · implies操作前 choose 7 positions out of 19 操作後 C(19,7)=121645100408832000/(5040·479001600)=50388 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S038 S040 · implies操作前 x^12: (2)^12 操作後 x^12 = 4096 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S039 S041 · implies操作前 y^7: (-2)^7 操作後 y^7 = -128 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 C·x power (k=7) := mul(50388, 4096) 操作後 C·x power (k=7) = 206389248 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 term[7] := mul(206389248, -128) 操作後 term[7] = -26417823744 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 choose 8 positions out of 19 操作後 C(19,8)=121645100408832000/(40320·39916800)=75582 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S043 S045 · implies操作前 x^11: (2)^11 操作後 x^11 = 2048 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S044 S046 · implies操作前 y^8: (-2)^8 操作後 y^8 = 256 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 C·x power (k=8) := mul(75582, 2048) 操作後 C·x power (k=8) = 154791936 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 term[8] := mul(154791936, 256) 操作後 term[8] = 39626735616 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · implies操作前 choose 9 positions out of 19 操作後 C(19,9)=121645100408832000/(362880·3628800)=92378 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S048 S050 · implies操作前 x^10: (2)^10 操作後 x^10 = 1024 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S049 S051 · implies操作前 y^9: (-2)^9 操作後 y^9 = -512 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 C·x power (k=9) := mul(92378, 1024) 操作後 C·x power (k=9) = 94595072 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 term[9] := mul(94595072, -512) 操作後 term[9] = -48432676864 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · implies操作前 choose 10 positions out of 19 操作後 C(19,10)=121645100408832000/(3628800·362880)=92378 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S053 S055 · implies操作前 x^9: (2)^9 操作後 x^9 = 512 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S054 S056 · implies操作前 y^10: (-2)^10 操作後 y^10 = 1024 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 C·x power (k=10) := mul(92378, 512) 操作後 C·x power (k=10) = 47297536 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 term[10] := mul(47297536, 1024) 操作後 term[10] = 48432676864 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · implies操作前 choose 11 positions out of 19 操作後 C(19,11)=121645100408832000/(39916800·40320)=75582 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S058 S060 · implies操作前 x^8: (2)^8 操作後 x^8 = 256 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S059 S061 · implies操作前 y^11: (-2)^11 操作後 y^11 = -2048 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S060 S062 · calculation操作前 C·x power (k=11) := mul(75582, 256) 操作後 C·x power (k=11) = 19348992 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 term[11] := mul(19348992, -2048) 操作後 term[11] = -39626735616 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · implies操作前 choose 12 positions out of 19 操作後 C(19,12)=121645100408832000/(479001600·5040)=50388 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S063 S065 · implies操作前 x^7: (2)^7 操作後 x^7 = 128 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S064 S066 · implies操作前 y^12: (-2)^12 操作後 y^12 = 4096 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 C·x power (k=12) := mul(50388, 128) 操作後 C·x power (k=12) = 6449664 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · calculation操作前 term[12] := mul(6449664, 4096) 操作後 term[12] = 26417823744 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067 S069 · implies操作前 choose 13 positions out of 19 操作後 C(19,13)=121645100408832000/(6227020800·720)=27132 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S068 S070 · implies操作前 x^6: (2)^6 操作後 x^6 = 64 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S069 S071 · implies操作前 y^13: (-2)^13 操作後 y^13 = -8192 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S070 S072 · calculation操作前 C·x power (k=13) := mul(27132, 64) 操作後 C·x power (k=13) = 1736448 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071 S073 · calculation操作前 term[13] := mul(1736448, -8192) 操作後 term[13] = -14224982016 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S072 S074 · implies操作前 choose 14 positions out of 19 操作後 C(19,14)=121645100408832000/(87178291200·120)=11628 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S073 S075 · implies操作前 x^5: (2)^5 操作後 x^5 = 32 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S074 S076 · implies操作前 y^14: (-2)^14 操作後 y^14 = 16384 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S075 S077 · calculation操作前 C·x power (k=14) := mul(11628, 32) 操作後 C·x power (k=14) = 372096 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S076 S078 · calculation操作前 term[14] := mul(372096, 16384) 操作後 term[14] = 6096420864 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S077 S079 · implies操作前 choose 15 positions out of 19 操作後 C(19,15)=121645100408832000/(1307674368000·24)=3876 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S078 S080 · implies操作前 x^4: (2)^4 操作後 x^4 = 16 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S079 S081 · implies操作前 y^15: (-2)^15 操作後 y^15 = -32768 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S080 S082 · calculation操作前 C·x power (k=15) := mul(3876, 16) 操作後 C·x power (k=15) = 62016 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S081 S083 · calculation操作前 term[15] := mul(62016, -32768) 操作後 term[15] = -2032140288 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S082 S084 · implies操作前 choose 16 positions out of 19 操作後 C(19,16)=121645100408832000/(20922789888000·6)=969 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S083 S085 · implies操作前 x^3: (2)^3 操作後 x^3 = 8 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S084 S086 · implies操作前 y^16: (-2)^16 操作後 y^16 = 65536 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S085 S087 · calculation操作前 C·x power (k=16) := mul(969, 8) 操作後 C·x power (k=16) = 7752 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S086 S088 · calculation操作前 term[16] := mul(7752, 65536) 操作後 term[16] = 508035072 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S087 S089 · implies操作前 choose 17 positions out of 19 操作後 C(19,17)=121645100408832000/(355687428096000·2)=171 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S088 S090 · implies操作前 x^2: (2)^2 操作後 x^2 = 4 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S089 S091 · implies操作前 y^17: (-2)^17 操作後 y^17 = -131072 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S090 S092 · calculation操作前 C·x power (k=17) := mul(171, 4) 操作後 C·x power (k=17) = 684 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S091 S093 · calculation操作前 term[17] := mul(684, -131072) 操作後 term[17] = -89653248 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S092 S094 · implies操作前 choose 18 positions out of 19 操作後 C(19,18)=121645100408832000/(6402373705728000·1)=19 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S093 S095 · implies操作前 x^1: (2)^1 操作後 x^1 = 2 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S094 S096 · implies操作前 y^18: (-2)^18 操作後 y^18 = 262144 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S095 S097 · calculation操作前 C·x power (k=18) := mul(19, 2) 操作後 C·x power (k=18) = 38 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S096 S098 · calculation操作前 term[18] := mul(38, 262144) 操作後 term[18] = 9961472 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S097 S099 · implies操作前 choose 19 positions out of 19 操作後 C(19,19)=121645100408832000/(121645100408832000·1)=1 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S098 S100 · implies操作前 x^0: (2)^0 操作後 x^0 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S099 S101 · implies操作前 y^19: (-2)^19 操作後 y^19 = -524288 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S100 S102 · calculation操作前 C·x power (k=19) := mul(1, 1) 操作後 C·x power (k=19) = 1 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S101 S103 · calculation操作前 term[19] := mul(1, -524288) 操作後 term[19] = -524288 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S102 S104 · calculation操作前 expanded sum := sum(524288, -9961472, 89653248, -508035072, 2032140288, -6096420864, 14224982016, -26417823744, 39626735616, -48432676864, 48432676864, -39626735616, 26417823744, -14224982016, 6096420864, -2032140288, 508035072, -89653248, 9961472, -524288) 操作後 expanded sum = 0 條件：無 所有k都已列出，逐項加總，不只取首尾項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S103 S105 · implies操作前 direct=0; expanded=0 操作後 identity holds: 是 條件：無 兩條計算路徑一致，核對本題的有限二項恆等式。 步驟識別與依賴規則：finite_expansion_evaluation · 依賴：G001, S104 ## 逐步反向核對 - S105 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S104 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 expanded sum，不以小數近似替代。 - S103 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[19]，不以小數近似替代。 - S102 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=19)，不以小數近似替代。 - S101 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S100 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S099 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S098 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[18]，不以小數近似替代。 - S097 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=18)，不以小數近似替代。 - S096 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S095 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S094 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S093 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[17]，不以小數近似替代。 - S092 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=17)，不以小數近似替代。 - S091 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S090 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S089 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S088 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[16]，不以小數近似替代。 - S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=16)，不以小數近似替代。 - S086 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S085 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S084 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[15]，不以小數近似替代。 - S082 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=15)，不以小數近似替代。 - S081 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S080 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S079 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[14]，不以小數近似替代。 - S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=14)，不以小數近似替代。 - S076 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S075 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S074 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[13]，不以小數近似替代。 - S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=13)，不以小數近似替代。 - S071 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S070 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S069 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[12]，不以小數近似替代。 - S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=12)，不以小數近似替代。 - S066 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S065 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S064 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[11]，不以小數近似替代。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=11)，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S060 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S059 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[10]，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=10)，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S055 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S054 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[9]，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=9)，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S050 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S049 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[8]，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=8)，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S045 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S044 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[7]，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=7)，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S040 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S039 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[6]，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=6)，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S035 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S034 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[5]，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=5)，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S030 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S029 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[4]，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=4)，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S025 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S024 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[3]，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=3)，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S020 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S019 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[2]，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=2)，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S015 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S014 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[1]，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=1)，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S010 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S009 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[0]，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=0)，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S005 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S004 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S003 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x+y，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 ## 結論 (19, 2, -2, 0, 0, 是) 上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 8000045f8dc6dc3cfd8a26cac391556fdf3c2a68a023a0209baa1a323de48872 - candidate record SHA-256: 67803900692f324ed2809eddb912e1eacd37e3fbde7131a72076912889e0c169 - semantic review receipt SHA-256: 6c2c6d46aded7582a11ac41a8c0b3bdde2669a53bdb6e796eea2039994a02772 - question-first witness SHA-256: 77e43898df9efdbf8094ad81fe4ab91cf4b4bd82f481eb9b4699b73cb4da612b - Lean: NOT_RUN · 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