# 第 449 題：二項式定理 [返回所在分頁 3](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/3/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-foundations/#q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0074) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 P1000-0449 · q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0074 ## 原題與已知條件 commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-evaluation-identity；資料={"n":23,"x":-1,"y":-1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-evaluation-identity；資料={"n":23,"x":-1,"y":-1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 n 為非負整數且 x、y 可交換；逐項 C(n,k)x^(n−k)y^k 加總，零次冪為 1。 - [mko-binomial-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-binomial-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 n=23≥0; multiplication commutes 操作後 group the finite product by the number of y choices 條件：無 每個因子選x或y，依選y的次數分組，係數先作整數計數。 步驟識別與依賴規則：commutative_product · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 x+y := sum(-1, -1) 操作後 x+y = -2 條件：無 先直接計算和。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 (x+y)^n: (-2)^23 操作後 (x+y)^n = -8388608 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 choose 0 positions out of 23 操作後 C(23,0)=25852016738884976640000/(1·25852016738884976640000)=1 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 x^23: (-1)^23 操作後 x^23 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 y^0: (-1)^0 操作後 y^0 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 C·x power (k=0) := mul(1, -1) 操作後 C·x power (k=0) = -1 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 term[0] := mul(-1, 1) 操作後 term[0] = -1 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 choose 1 positions out of 23 操作後 C(23,1)=25852016738884976640000/(1·1124000727777607680000)=23 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 x^22: (-1)^22 操作後 x^22 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 y^1: (-1)^1 操作後 y^1 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 C·x power (k=1) := mul(23, 1) 操作後 C·x power (k=1) = 23 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 term[1] := mul(23, -1) 操作後 term[1] = -23 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 choose 2 positions out of 23 操作後 C(23,2)=25852016738884976640000/(2·51090942171709440000)=253 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 x^21: (-1)^21 操作後 x^21 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 y^2: (-1)^2 操作後 y^2 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 C·x power (k=2) := mul(253, -1) 操作後 C·x power (k=2) = -253 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 term[2] := mul(-253, 1) 操作後 term[2] = -253 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 choose 3 positions out of 23 操作後 C(23,3)=25852016738884976640000/(6·2432902008176640000)=1771 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 x^20: (-1)^20 操作後 x^20 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 y^3: (-1)^3 操作後 y^3 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 C·x power (k=3) := mul(1771, 1) 操作後 C·x power (k=3) = 1771 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 term[3] := mul(1771, -1) 操作後 term[3] = -1771 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 choose 4 positions out of 23 操作後 C(23,4)=25852016738884976640000/(24·121645100408832000)=8855 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 x^19: (-1)^19 操作後 x^19 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 y^4: (-1)^4 操作後 y^4 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 C·x power (k=4) := mul(8855, -1) 操作後 C·x power (k=4) = -8855 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 term[4] := mul(-8855, 1) 操作後 term[4] = -8855 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 choose 5 positions out of 23 操作後 C(23,5)=25852016738884976640000/(120·6402373705728000)=33649 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 x^18: (-1)^18 操作後 x^18 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 y^5: (-1)^5 操作後 y^5 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 C·x power (k=5) := mul(33649, 1) 操作後 C·x power (k=5) = 33649 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 term[5] := mul(33649, -1) 操作後 term[5] = -33649 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 choose 6 positions out of 23 操作後 C(23,6)=25852016738884976640000/(720·355687428096000)=100947 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 x^17: (-1)^17 操作後 x^17 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S034 S036 · implies操作前 y^6: (-1)^6 操作後 y^6 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 C·x power (k=6) := mul(100947, -1) 操作後 C·x power (k=6) = -100947 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 term[6] := mul(-100947, 1) 操作後 term[6] = -100947 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · implies操作前 choose 7 positions out of 23 操作後 C(23,7)=25852016738884976640000/(5040·20922789888000)=245157 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S038 S040 · implies操作前 x^16: (-1)^16 操作後 x^16 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S039 S041 · implies操作前 y^7: (-1)^7 操作後 y^7 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 C·x power (k=7) := mul(245157, 1) 操作後 C·x power (k=7) = 245157 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 term[7] := mul(245157, -1) 操作後 term[7] = -245157 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 choose 8 positions out of 23 操作後 C(23,8)=25852016738884976640000/(40320·1307674368000)=490314 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S043 S045 · implies操作前 x^15: (-1)^15 操作後 x^15 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S044 S046 · implies操作前 y^8: (-1)^8 操作後 y^8 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 C·x power (k=8) := mul(490314, -1) 操作後 C·x power (k=8) = -490314 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 term[8] := mul(-490314, 1) 操作後 term[8] = -490314 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · implies操作前 choose 9 positions out of 23 操作後 C(23,9)=25852016738884976640000/(362880·87178291200)=817190 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S048 S050 · implies操作前 x^14: (-1)^14 操作後 x^14 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S049 S051 · implies操作前 y^9: (-1)^9 操作後 y^9 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 C·x power (k=9) := mul(817190, 1) 操作後 C·x power (k=9) = 817190 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 term[9] := mul(817190, -1) 操作後 term[9] = -817190 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · implies操作前 choose 10 positions out of 23 操作後 C(23,10)=25852016738884976640000/(3628800·6227020800)=1144066 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S053 S055 · implies操作前 x^13: (-1)^13 操作後 x^13 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S054 S056 · implies操作前 y^10: (-1)^10 操作後 y^10 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 C·x power (k=10) := mul(1144066, -1) 操作後 C·x power (k=10) = -1144066 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 term[10] := mul(-1144066, 1) 操作後 term[10] = -1144066 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · implies操作前 choose 11 positions out of 23 操作後 C(23,11)=25852016738884976640000/(39916800·479001600)=1352078 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S058 S060 · implies操作前 x^12: (-1)^12 操作後 x^12 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S059 S061 · implies操作前 y^11: (-1)^11 操作後 y^11 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S060 S062 · calculation操作前 C·x power (k=11) := mul(1352078, 1) 操作後 C·x power (k=11) = 1352078 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 term[11] := mul(1352078, -1) 操作後 term[11] = -1352078 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · implies操作前 choose 12 positions out of 23 操作後 C(23,12)=25852016738884976640000/(479001600·39916800)=1352078 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S063 S065 · implies操作前 x^11: (-1)^11 操作後 x^11 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S064 S066 · implies操作前 y^12: (-1)^12 操作後 y^12 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 C·x power (k=12) := mul(1352078, -1) 操作後 C·x power (k=12) = -1352078 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · calculation操作前 term[12] := mul(-1352078, 1) 操作後 term[12] = -1352078 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067 S069 · implies操作前 choose 13 positions out of 23 操作後 C(23,13)=25852016738884976640000/(6227020800·3628800)=1144066 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S068 S070 · implies操作前 x^10: (-1)^10 操作後 x^10 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S069 S071 · implies操作前 y^13: (-1)^13 操作後 y^13 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S070 S072 · calculation操作前 C·x power (k=13) := mul(1144066, 1) 操作後 C·x power (k=13) = 1144066 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071 S073 · calculation操作前 term[13] := mul(1144066, -1) 操作後 term[13] = -1144066 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S072 S074 · implies操作前 choose 14 positions out of 23 操作後 C(23,14)=25852016738884976640000/(87178291200·362880)=817190 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S073 S075 · implies操作前 x^9: (-1)^9 操作後 x^9 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S074 S076 · implies操作前 y^14: (-1)^14 操作後 y^14 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S075 S077 · calculation操作前 C·x power (k=14) := mul(817190, -1) 操作後 C·x power (k=14) = -817190 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S076 S078 · calculation操作前 term[14] := mul(-817190, 1) 操作後 term[14] = -817190 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S077 S079 · implies操作前 choose 15 positions out of 23 操作後 C(23,15)=25852016738884976640000/(1307674368000·40320)=490314 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S078 S080 · implies操作前 x^8: (-1)^8 操作後 x^8 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S079 S081 · implies操作前 y^15: (-1)^15 操作後 y^15 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S080 S082 · calculation操作前 C·x power (k=15) := mul(490314, 1) 操作後 C·x power (k=15) = 490314 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S081 S083 · calculation操作前 term[15] := mul(490314, -1) 操作後 term[15] = -490314 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S082 S084 · implies操作前 choose 16 positions out of 23 操作後 C(23,16)=25852016738884976640000/(20922789888000·5040)=245157 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S083 S085 · implies操作前 x^7: (-1)^7 操作後 x^7 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S084 S086 · implies操作前 y^16: (-1)^16 操作後 y^16 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S085 S087 · calculation操作前 C·x power (k=16) := mul(245157, -1) 操作後 C·x power (k=16) = -245157 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S086 S088 · calculation操作前 term[16] := mul(-245157, 1) 操作後 term[16] = -245157 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S087 S089 · implies操作前 choose 17 positions out of 23 操作後 C(23,17)=25852016738884976640000/(355687428096000·720)=100947 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S088 S090 · implies操作前 x^6: (-1)^6 操作後 x^6 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S089 S091 · implies操作前 y^17: (-1)^17 操作後 y^17 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S090 S092 · calculation操作前 C·x power (k=17) := mul(100947, 1) 操作後 C·x power (k=17) = 100947 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S091 S093 · calculation操作前 term[17] := mul(100947, -1) 操作後 term[17] = -100947 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S092 S094 · implies操作前 choose 18 positions out of 23 操作後 C(23,18)=25852016738884976640000/(6402373705728000·120)=33649 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S093 S095 · implies操作前 x^5: (-1)^5 操作後 x^5 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S094 S096 · implies操作前 y^18: (-1)^18 操作後 y^18 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S095 S097 · calculation操作前 C·x power (k=18) := mul(33649, -1) 操作後 C·x power (k=18) = -33649 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S096 S098 · calculation操作前 term[18] := mul(-33649, 1) 操作後 term[18] = -33649 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S097 S099 · implies操作前 choose 19 positions out of 23 操作後 C(23,19)=25852016738884976640000/(121645100408832000·24)=8855 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S098 S100 · implies操作前 x^4: (-1)^4 操作後 x^4 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S099 S101 · implies操作前 y^19: (-1)^19 操作後 y^19 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S100 S102 · calculation操作前 C·x power (k=19) := mul(8855, 1) 操作後 C·x power (k=19) = 8855 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S101 S103 · calculation操作前 term[19] := mul(8855, -1) 操作後 term[19] = -8855 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S102 S104 · implies操作前 choose 20 positions out of 23 操作後 C(23,20)=25852016738884976640000/(2432902008176640000·6)=1771 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S103 S105 · implies操作前 x^3: (-1)^3 操作後 x^3 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S104 S106 · implies操作前 y^20: (-1)^20 操作後 y^20 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S105 S107 · calculation操作前 C·x power (k=20) := mul(1771, -1) 操作後 C·x power (k=20) = -1771 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S106 S108 · calculation操作前 term[20] := mul(-1771, 1) 操作後 term[20] = -1771 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S107 S109 · implies操作前 choose 21 positions out of 23 操作後 C(23,21)=25852016738884976640000/(51090942171709440000·2)=253 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S108 S110 · implies操作前 x^2: (-1)^2 操作後 x^2 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S109 S111 · implies操作前 y^21: (-1)^21 操作後 y^21 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S110 S112 · calculation操作前 C·x power (k=21) := mul(253, 1) 操作後 C·x power (k=21) = 253 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S111 S113 · calculation操作前 term[21] := mul(253, -1) 操作後 term[21] = -253 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S112 S114 · implies操作前 choose 22 positions out of 23 操作後 C(23,22)=25852016738884976640000/(1124000727777607680000·1)=23 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S113 S115 · implies操作前 x^1: (-1)^1 操作後 x^1 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S114 S116 · implies操作前 y^22: (-1)^22 操作後 y^22 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S115 S117 · calculation操作前 C·x power (k=22) := mul(23, -1) 操作後 C·x power (k=22) = -23 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S116 S118 · calculation操作前 term[22] := mul(-23, 1) 操作後 term[22] = -23 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S117 S119 · implies操作前 choose 23 positions out of 23 操作後 C(23,23)=25852016738884976640000/(25852016738884976640000·1)=1 條件：無 選取 k 個位置的每個子集只計一次；除掉兩組內部排列後得到整數係數。 步驟識別與依賴規則：subset_count · 依賴：G001, S118 S120 · implies操作前 x^0: (-1)^0 操作後 x^0 = 1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S119 S121 · implies操作前 y^23: (-1)^23 操作後 y^23 = -1 條件：無 以非負整數次的有限乘積計算；零次為乘法單位元。 步驟識別與依賴規則：integer_power · 依賴：G001, S120 S122 · calculation操作前 C·x power (k=23) := mul(1, 1) 操作後 C·x power (k=23) = 1 條件：無 先把係數乘上x項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S121 S123 · calculation操作前 term[23] := mul(1, -1) 操作後 term[23] = -1 條件：無 再乘y項，保留負底數的整個括號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S122 S124 · calculation操作前 expanded sum := sum(-1, -23, -253, -1771, -8855, -33649, -100947, -245157, -490314, -817190, -1144066, -1352078, -1352078, -1144066, -817190, -490314, -245157, -100947, -33649, -8855, -1771, -253, -23, -1) 操作後 expanded sum = -8388608 條件：無 所有k都已列出，逐項加總，不只取首尾項。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S123 S125 · implies操作前 direct=-8388608; expanded=-8388608 操作後 identity holds: 是 條件：無 兩條計算路徑一致，核對本題的有限二項恆等式。 步驟識別與依賴規則：finite_expansion_evaluation · 依賴：G001, S124 ## 逐步反向核對 - S125 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S124 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 expanded sum，不以小數近似替代。 - S123 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[23]，不以小數近似替代。 - S122 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=23)，不以小數近似替代。 - S121 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S120 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S119 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S118 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[22]，不以小數近似替代。 - S117 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=22)，不以小數近似替代。 - S116 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S115 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S114 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S113 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[21]，不以小數近似替代。 - S112 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=21)，不以小數近似替代。 - S111 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S110 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S109 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S108 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[20]，不以小數近似替代。 - S107 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=20)，不以小數近似替代。 - S106 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S105 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S104 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S103 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[19]，不以小數近似替代。 - S102 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=19)，不以小數近似替代。 - S101 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S100 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S099 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S098 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[18]，不以小數近似替代。 - S097 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=18)，不以小數近似替代。 - S096 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S095 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S094 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S093 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[17]，不以小數近似替代。 - S092 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=17)，不以小數近似替代。 - S091 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S090 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S089 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S088 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[16]，不以小數近似替代。 - S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=16)，不以小數近似替代。 - S086 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S085 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S084 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[15]，不以小數近似替代。 - S082 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=15)，不以小數近似替代。 - S081 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S080 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S079 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[14]，不以小數近似替代。 - S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=14)，不以小數近似替代。 - S076 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S075 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S074 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[13]，不以小數近似替代。 - S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=13)，不以小數近似替代。 - S071 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S070 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S069 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[12]，不以小數近似替代。 - S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=12)，不以小數近似替代。 - S066 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S065 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S064 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[11]，不以小數近似替代。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=11)，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S060 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S059 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[10]，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=10)，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S055 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S054 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[9]，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=9)，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S050 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S049 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[8]，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=8)，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S045 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S044 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[7]，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=7)，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S040 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S039 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[6]，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=6)，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S035 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S034 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[5]，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=5)，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S030 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S029 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[4]，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=4)，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S025 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S024 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[3]，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=3)，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S020 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S019 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[2]，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=2)，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S015 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S014 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[1]，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=1)，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S010 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S009 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 term[0]，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C·x power (k=0)，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S005 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S004 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S003 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 x+y，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 係數先在整數中計數；不在一般係數環中除以可能不可逆的階乘。 ## 結論 (23, -1, -1, -8388608, -8388608, 是) 上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 3ea820d0936be7dbdde412a2cba320a9b5bd0e7ea5d13183d53a25938dfeefa6 - candidate record SHA-256: 5a878177fb81099f1f717f594827bb16c96a319e66a36df56b6beb83129a5eaa - semantic review receipt SHA-256: 6c2c6d46aded7582a11ac41a8c0b3bdde2669a53bdb6e796eea2039994a02772 - question-first witness SHA-256: 77e43898df9efdbf8094ad81fe4ab91cf4b4bd82f481eb9b4699b73cb4da612b - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261109-r05-binomial-theorem-0074.json)