# 第 22383 題：軌道－穩定子定理 [返回所在分頁 112](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/112/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261110-r01-orbit-stabilizer-theorem-foundations/#q-20261014-advance-20261110-r01-orbit-stabilizer-theorem-0008) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0043-22383 · q-20261014-advance-20261110-r01-orbit-stabilizer-theorem-0008 ## 原題與已知條件 同一完整已認證有限群作用與同一指定point。操作=orbitstab-counting-identity；資料={"group_table":[[0,1,2,3],[1,2,3,0],[2,3,0,1],[3,0,1,2]],"identity":0,"point_count":5,"action_table":[[0,1,2,3,4],[1,2,3,0,4],[2,3,0,1,4],[3,0,1,2,4]],"point":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 同一完整已認證有限群作用與同一指定point。操作=orbitstab-counting-identity；資料={"group_table":[[0,1,2,3],[1,2,3,0],[2,3,0,1],[3,0,1,2]],"identity":0,"point_count":5,"action_table":[[0,1,2,3,4],[1,2,3,0,4],[2,3,0,1,4],[3,0,1,2,4]],"point":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-orbit-stabilizer-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-orbit-stabilizer-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=orbitstab-counting-identity;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[group_order, point, orbit, orbit_size, stabilizer, stabilizer_size, product, equal] 條件：無 原題歷史介面標記保留，直接列來源有序欄位，不需JavaScript；MVT由原mode選欄序，不補空欄或看答案形狀猜。tag與固定No保原聲稱範圍。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 ORIGINAL complete group-label carrier Fin(4);declared identity label=0;Cayley table row g,column h gives g*h=[[0, 1, 2, 3], [1, 2, 3, 0], [2, 3, 0, 1], [3, 0, 1, 2]] 操作後 ORIGINAL complete point carrier Fin(5);TOTAL action table row g,column x gives g*x=[[0, 1, 2, 3, 4], [1, 2, 3, 0, 4], [2, 3, 0, 1, 4], [3, 0, 1, 2, 4]];all entries in range,so structural closure/totality checked;GROUP AXIOMS not assumed from shape 條件：無 兩張表的column角色不同，一張h是群標籤，一張x是作用點。in-range完整表只保closed／total，群候選可不滿足公理，不能因叫group_table就先填True。 步驟識別與依賴規則：groupaction_two_table_roles_complete_candidate_not_group_assumption · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 ORIGINAL closed Cayley table=[[0, 1, 2, 3], [1, 2, 3, 0], [2, 3, 0, 1], [3, 0, 1, 2]];ACTUAL declared group identity=0 操作後 ALL [g,e*g,g*e,both_equal_g] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是]];two-sided group identity=是 條件：無 群表的e*g與g*e兩側都須等g；這裡不把作用點的e*x=x當群identity證書。 步驟識別與依賴規則：groupaction_group_identity_both_sides_not_action_identity · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 0];check ALL k in Fin(4) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 1];check ALL k in Fin(4) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 0, 0, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 2];check ALL k in Fin(4) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 3];check ALL k in Fin(4) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 2, 2, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 0];check ALL k in Fin(4) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 0, 0, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 1];check ALL k in Fin(4) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 2];check ALL k in Fin(4) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 2, 2, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 3];check ALL k in Fin(4) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[2, 0];check ALL k in Fin(4) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[2, 1];check ALL k in Fin(4) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 2, 2, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[2, 2];check ALL k in Fin(4) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[2, 3];check ALL k in Fin(4) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 0, 0, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[3, 0];check ALL k in Fin(4) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 2, 2, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[3, 1];check ALL k in Fin(4) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[3, 2];check ALL k in Fin(4) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 0, 0, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[3, 3];check ALL k in Fin(4) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 ORIGINAL group element g=0;DECLARED identity=0;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 否], [2, 2, 2, 否], [3, 3, 3, 否]] 操作後 first actual two-sided inverse witness=0;exists=是 條件：無 每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。 步驟識別與依賴規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 ORIGINAL group element g=1;DECLARED identity=0;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 1, 1, 否], [1, 2, 2, 否], [2, 3, 3, 否], [3, 0, 0, 是]] 操作後 first actual two-sided inverse witness=3;exists=是 條件：無 每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。 步驟識別與依賴規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 ORIGINAL group element g=2;DECLARED identity=0;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 2, 2, 否], [1, 3, 3, 否], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 否]] 操作後 first actual two-sided inverse witness=2;exists=是 條件：無 每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。 步驟識別與依賴規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 ORIGINAL group element g=3;DECLARED identity=0;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 3, 3, 否], [1, 0, 0, 是], [2, 1, 1, 否], [3, 2, 2, 否]] 操作後 first actual two-sided inverse witness=1;exists=是 條件：無 每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。 步驟識別與依賴規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 structurally closed COMPLETE group candidate;two-sided identity=是;ALL-triple associativity=是;ALL-element inverses=是 操作後 group_valid=是 is the CONJUNCTION;False remains a reported candidate result,not a silent repair 條件：無 完整三項責任合取才是群資格。即使作用表看似排列，壞group table也不會因此變群；不自行換identity或修表。 步驟識別與依賴規則：groupaction_group_axiom_conjunction_candidate_may_fail · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 ACTUAL declared identity label=0;ORIGINAL identity action row=[0, 1, 2, 3, 4];complete point carrier Fin(5) 操作後 ALL ordered [point,identity_image,equality] rows=[[0, 0, 是], [1, 1, 是], [2, 2, 是], [3, 3, 是], [4, 4, 是]];identity-action axiom=是 條件：無 逐作用點驗e*x=x，e是來源宣告的真標籤，不預設0；此axiom與群乘法表的雙邊identity責任分開。 步驟識別與依賴規則：groupaction_every_point_identity_action_not_group_identity · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[0, 0];actual group product=0;action table roles unchanged 操作後 ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是]];earliest failure retained,not overwritten 條件：無 左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。 步驟識別與依賴規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[0, 1];actual group product=1;action table roles unchanged 操作後 ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 0, 0, 是], [4, 4, 4, 是]];earliest failure retained,not overwritten 條件：無 左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。 步驟識別與依賴規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[0, 2];actual group product=2;action table roles unchanged 操作後 ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是], [4, 4, 4, 是]];earliest failure retained,not overwritten 條件：無 左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。 步驟識別與依賴規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[0, 3];actual group product=3;action table roles unchanged 操作後 ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 2, 2, 是], [4, 4, 4, 是]];earliest failure retained,not overwritten 條件：無 左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。 步驟識別與依賴規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[1, 0];actual group product=1;action table roles unchanged 操作後 ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 0, 0, 是], [4, 4, 4, 是]];earliest failure retained,not overwritten 條件：無 左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。 步驟識別與依賴規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[1, 1];actual group product=2;action table roles unchanged 操作後 ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是], [4, 4, 4, 是]];earliest failure retained,not overwritten 條件：無 左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。 步驟識別與依賴規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[1, 2];actual group product=3;action table roles unchanged 操作後 ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 2, 2, 是], [4, 4, 4, 是]];earliest failure retained,not overwritten 條件：無 左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。 步驟識別與依賴規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[1, 3];actual group product=0;action table roles unchanged 操作後 ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是]];earliest failure retained,not overwritten 條件：無 左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。 步驟識別與依賴規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[2, 0];actual group product=2;action table roles unchanged 操作後 ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是], [4, 4, 4, 是]];earliest failure retained,not overwritten 條件：無 左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。 步驟識別與依賴規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[2, 1];actual group product=3;action table roles unchanged 操作後 ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 2, 2, 是], [4, 4, 4, 是]];earliest failure retained,not overwritten 條件：無 左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。 步驟識別與依賴規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S034 S036 · implies操作前 ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[2, 2];actual group product=0;action table roles unchanged 操作後 ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是]];earliest failure retained,not overwritten 條件：無 左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。 步驟識別與依賴規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[2, 3];actual group product=1;action table roles unchanged 操作後 ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 0, 0, 是], [4, 4, 4, 是]];earliest failure retained,not overwritten 條件：無 左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。 步驟識別與依賴規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[3, 0];actual group product=3;action table roles unchanged 操作後 ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 2, 2, 是], [4, 4, 4, 是]];earliest failure retained,not overwritten 條件：無 左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。 步驟識別與依賴規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S037 S039 · implies操作前 ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[3, 1];actual group product=0;action table roles unchanged 操作後 ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是]];earliest failure retained,not overwritten 條件：無 左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。 步驟識別與依賴規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S038 S040 · implies操作前 ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[3, 2];actual group product=1;action table roles unchanged 操作後 ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 0, 0, 是], [4, 4, 4, 是]];earliest failure retained,not overwritten 條件：無 左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。 步驟識別與依賴規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S039 S041 · implies操作前 ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[3, 3];actual group product=2;action table roles unchanged 操作後 ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是], [4, 4, 4, 是]];earliest failure retained,not overwritten 條件：無 左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。 步驟識別與依賴規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 group action ordered group-pair count := mul(4, 4) 操作後 group action ordered group-pair count = 16 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 group action complete triple-domain count := mul(16, 5) 操作後 group action complete triple-domain count = 80 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 COMPLETE triple domain order^2*point_count=80;this derivation ACTUALLY checked all80 triples 操作後 compatibility=是;FIRST source-order failure[g,h,x,left,right]=null;null means NO failure anywhere 條件：無 triple_count是完整量詞域大小，不是把原型在第一錯誤處停止的迭代數冒充測量。本推導確實列了每對g,h的全部點，所以null給全域通過，首失敗則保確切資料與順序。 步驟識別與依賴規則：groupaction_full_domain_count_first_failure_not_early_stop_measurement · 依賴：G001, S043 S045 · implies操作前 ORIGINAL group-row label=0;ORIGINAL point-indexed action row=[0, 1, 2, 3, 4] 操作後 sorted image MULTISET=[0, 1, 2, 3, 4];equals full point carrier=是;original row NOT reordered 條件：無 排序只核image多重集是否完整無重複，原row按點索引的資料不改。單獨每列是permutation仍不足完整action，須原group及兩個action axiom。 步驟識別與依賴規則：groupaction_every_row_permutation_actual_images_not_validity_converse · 依賴：G001, S044 S046 · implies操作前 ORIGINAL group-row label=1;ORIGINAL point-indexed action row=[1, 2, 3, 0, 4] 操作後 sorted image MULTISET=[0, 1, 2, 3, 4];equals full point carrier=是;original row NOT reordered 條件：無 排序只核image多重集是否完整無重複，原row按點索引的資料不改。單獨每列是permutation仍不足完整action，須原group及兩個action axiom。 步驟識別與依賴規則：groupaction_every_row_permutation_actual_images_not_validity_converse · 依賴：G001, S045 S047 · implies操作前 ORIGINAL group-row label=2;ORIGINAL point-indexed action row=[2, 3, 0, 1, 4] 操作後 sorted image MULTISET=[0, 1, 2, 3, 4];equals full point carrier=是;original row NOT reordered 條件：無 排序只核image多重集是否完整無重複，原row按點索引的資料不改。單獨每列是permutation仍不足完整action，須原group及兩個action axiom。 步驟識別與依賴規則：groupaction_every_row_permutation_actual_images_not_validity_converse · 依賴：G001, S046 S048 · implies操作前 ORIGINAL group-row label=3;ORIGINAL point-indexed action row=[3, 0, 1, 2, 4] 操作後 sorted image MULTISET=[0, 1, 2, 3, 4];equals full point carrier=是;original row NOT reordered 條件：無 排序只核image多重集是否完整無重複，原row按點索引的資料不改。單獨每列是permutation仍不足完整action，須原group及兩個action axiom。 步驟識別與依賴規則：groupaction_every_row_permutation_actual_images_not_validity_converse · 依賴：G001, S047 S049 · implies操作前 CURRENT qualified group/action T=[[0, 1, 2, 3], [1, 2, 3, 0], [2, 3, 0, 1], [3, 0, 1, 2]],identity=0,inverse list=[0, 3, 2, 1];ORIGINAL SAME point=2 操作後 ALL [g,g*point]=[[0, 2], [1, 3], [2, 0], [3, 1]];full orbit=[0, 1, 2, 3];SAME-point stabilizer=[0];ALL [target,fiber] rows=[[0, [2]], [1, [3]], [2, [0]], [3, [1]]];action map onto orbit,NOT necessarily whole carrier 條件：無 先驗真群與兩個作用公理，再由同一point枚舉全部g。不同point的stabilizer或proper sample不能替換；不需作用free、faithful或transitive。 步驟識別與依賴規則：orbitstab_qualified_SAME_action_point_full_fibers · 依賴：G001, S048 S050 · implies操作前 ACTUAL SAME-point stabilizer=[0];identity=0 操作後 ALL [g,h,product]=[[0, 0, 0]];ALL [g,inverse]=[[0, 0]];identity/product/inverse stay in SAME stabilizer 條件：無 e固定point，兩個fixer的乘積仍固定，逆元作用回去亦固定；完整表逐member核，所以左陪集是這個真subgroup的陪集，不是任意相同大小列表。 步驟識別與依賴規則：orbitstab_SAME_point_stabilizer_actual_subgroup · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 Orbit-stabilizer fiber target0 complete size := sum(1) 操作後 Orbit-stabilizer fiber target0 complete size = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · implies操作前 ORIGINAL orbit target=0;LEAST group-index representative g0=2;SAME stabilizer=[0];full fiber=[2] 操作後 ALL [h,g0*h,(g0*h)*point]=[[0, 2, 0]];ALL [g,g0_inverse*g,g0*(g0_inverse*g)]=[[2, 0, 2]];LEFT coset sorted=[2] equals fiber;fiber size=1 條件：無 h↦g0*h把同point的Stab送進fiber，反向g↦g0逆*g由作用相容落回Stab；兩個合成皆identity，故雙射。不可改右陪集，非交換群也用相同乘法方向。 步驟識別與依賴規則：orbitstab_ACTUAL_left_coset_fiber_two_inverse_maps · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 Orbit-stabilizer fiber target1 complete size := sum(1) 操作後 Orbit-stabilizer fiber target1 complete size = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · implies操作前 ORIGINAL orbit target=1;LEAST group-index representative g0=3;SAME stabilizer=[0];full fiber=[3] 操作後 ALL [h,g0*h,(g0*h)*point]=[[0, 3, 1]];ALL [g,g0_inverse*g,g0*(g0_inverse*g)]=[[3, 0, 3]];LEFT coset sorted=[3] equals fiber;fiber size=1 條件：無 h↦g0*h把同point的Stab送進fiber，反向g↦g0逆*g由作用相容落回Stab；兩個合成皆identity，故雙射。不可改右陪集，非交換群也用相同乘法方向。 步驟識別與依賴規則：orbitstab_ACTUAL_left_coset_fiber_two_inverse_maps · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 Orbit-stabilizer fiber target2 complete size := sum(1) 操作後 Orbit-stabilizer fiber target2 complete size = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · implies操作前 ORIGINAL orbit target=2;LEAST group-index representative g0=0;SAME stabilizer=[0];full fiber=[0] 操作後 ALL [h,g0*h,(g0*h)*point]=[[0, 0, 2]];ALL [g,g0_inverse*g,g0*(g0_inverse*g)]=[[0, 0, 0]];LEFT coset sorted=[0] equals fiber;fiber size=1 條件：無 h↦g0*h把同point的Stab送進fiber，反向g↦g0逆*g由作用相容落回Stab；兩個合成皆identity，故雙射。不可改右陪集，非交換群也用相同乘法方向。 步驟識別與依賴規則：orbitstab_ACTUAL_left_coset_fiber_two_inverse_maps · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 Orbit-stabilizer fiber target3 complete size := sum(1) 操作後 Orbit-stabilizer fiber target3 complete size = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · implies操作前 ORIGINAL orbit target=3;LEAST group-index representative g0=1;SAME stabilizer=[0];full fiber=[1] 操作後 ALL [h,g0*h,(g0*h)*point]=[[0, 1, 3]];ALL [g,g0_inverse*g,g0*(g0_inverse*g)]=[[1, 0, 1]];LEFT coset sorted=[1] equals fiber;fiber size=1 條件：無 h↦g0*h把同point的Stab送進fiber，反向g↦g0逆*g由作用相容落回Stab；兩個合成皆identity，故雙射。不可改右陪集，非交換群也用相同乘法方向。 步驟識別與依賴規則：orbitstab_ACTUAL_left_coset_fiber_two_inverse_maps · 依賴：G001, S057 S059 · calculation操作前 Orbit-stabilizer complete orbit count := sum(1, 1, 1, 1) 操作後 Orbit-stabilizer complete orbit count = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058 S060 · calculation操作前 Orbit-stabilizer SAME-point stabilizer count := sum(1) 操作後 Orbit-stabilizer SAME-point stabilizer count = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 Orbit-stabilizer SAME-bound orbit times stabilizer sizes := mul(4, 1) 操作後 Orbit-stabilizer SAME-bound orbit times stabilizer sizes = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · implies操作前 ALL original group elements partitioned by actual action-map image;fibers=[[0, [2]], [1, [3]], [2, [0]], [3, [1]]] 操作後 each fiber bijective with SAME stabilizer of size1;orbit size=4;group order=4=4*1=4 條件：無 每個g有唯一像，因此fibers互不交且覆蓋全G；每個fiber的雙射才給同大小。這是完整計數理由，不是偶然乘積相等；不從orbit滿射推到整個point carrier滿射。 步驟識別與依賴規則：orbitstab_partition_group_into_equal_size_fibers_count · 依賴：G001, S061 ## 逐步反向核對 - S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Orbit-stabilizer SAME-bound orbit times stabilizer sizes，不以小數近似替代。 - S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Orbit-stabilizer SAME-point stabilizer count，不以小數近似替代。 - S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Orbit-stabilizer complete orbit count，不以小數近似替代。 - S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Orbit-stabilizer fiber target3 complete size，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Orbit-stabilizer fiber target2 complete size，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Orbit-stabilizer fiber target1 complete size，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Orbit-stabilizer fiber target0 complete size，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 group action complete triple-domain count，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 group action ordered group-pair count，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (4, 2, [0, 1, 2, 3], 4, [0], 1, 4, 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: e711d85c4d6bd71cd57654933bac169a44a10e610850f339d2e94d0eb30c3ea2 - candidate record SHA-256: a200aa682969a83b41a61d36932d83c09384e796892add90122308752f4a0dd0 - semantic review receipt SHA-256: 49cf6ec60211c92d1c0c302663af4d44479635dc8181fb61a20c3374288e21c5 - question-first witness SHA-256: 10fd25b4643e5ff12753daceaa61f9f2499bf381f65ef96e9d21185c7c0d0c5e - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261110-r01-orbit-stabilizer-theorem-0008.json)