# 第 22269 題：微分中值定理

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0043-22269 · q-20261014-advance-20261110-r02-mean-value-theorem-0069



## 原題與已知條件

f(t)=A*t^2+B*t+C、a<b、closed interval continuity與open interval differentiability。操作=mvt-polynomial-witness；資料={"A":4,"B":8,"C":325,"a":-20,"b":21}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — f(t)=A*t^2+B*t+C、a<b、closed interval continuity與open interval differentiability。操作=mvt-polynomial-witness；資料={"A":4,"B":8,"C":325,"a":-20,"b":21}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-mean-value-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-mean-value-theorem/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source operation=mvt-polynomial-witness;original snapshot and mathematics retained

操作後

explicit ordered source output fields=[c, strictly_interior, derivative_at_c, secant_slope, equal, certificate]

條件：無

原題歷史介面標記保留，直接列來源有序欄位，不需JavaScript；MVT由原mode選欄序，不補空欄或看答案形狀猜。tag與固定No保原聲稱範圍。

步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001





S002 · implies操作前

ORIGINAL WHOLE f(t)=(4)t^2+(8)t+(325);a=-20<b=21;all endpoint[Ax,Axx,Bx,Axx+Bx,Axx+Bx+C] rows=[[-80, 1600, -160, 1440, 1765], [84, 1764, 168, 1932, 2257]]

操作後

English source ALL endpoint intermediate SAFE guards passed;polynomial continuous on CLOSED[a,b] and differentiable on OPEN(a,b),not inferred from finite samples

條件：無

有限和／乘積保連續與可微，導數是2At+B；這是完整公式的性質，不是用端點樣本猜中間。SAFE只是來源數字投影資格，不等於數學上多項式只能取這些值。

步驟識別與依賴規則：mvt_whole_polynomial_hypotheses_and_SAFE_source_guard · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

MVT endpointa ORIGINAL A times x := mul(4, -20)

操作後

MVT endpointa ORIGINAL A times x = -80

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

MVT endpointa A*x times x := mul(-80, -20)

操作後

MVT endpointa A*x times x = 1600

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · calculation操作前

MVT endpointa ORIGINAL B times x := mul(8, -20)

操作後

MVT endpointa ORIGINAL B times x = -160

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004





S006 · calculation操作前

MVT endpointa quadratic plus linear := sum(1600, -160)

操作後

MVT endpointa quadratic plus linear = 1440

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005





S007 · calculation操作前

MVT endpointa plus ORIGINAL constant := sum(1440, 325)

操作後

MVT endpointa plus ORIGINAL constant = 1765

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006





S008 · calculation操作前

MVT endpointb ORIGINAL A times x := mul(4, 21)

操作後

MVT endpointb ORIGINAL A times x = 84

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007





S009 · calculation操作前

MVT endpointb A*x times x := mul(84, 21)

操作後

MVT endpointb A*x times x = 1764

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008





S010 · calculation操作前

MVT endpointb ORIGINAL B times x := mul(8, 21)

操作後

MVT endpointb ORIGINAL B times x = 168

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009





S011 · calculation操作前

MVT endpointb quadratic plus linear := sum(1764, 168)

操作後

MVT endpointb quadratic plus linear = 1932

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010





S012 · calculation操作前

MVT endpointb plus ORIGINAL constant := sum(1932, 325)

操作後

MVT endpointb plus ORIGINAL constant = 2257

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011





S013 · calculation操作前

MVT ORIGINAL endpoint f(b) minus f(a) := sub(2257, 1765)

操作後

MVT ORIGINAL endpoint f(b) minus f(a) = 492

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012





S014 · calculation操作前

MVT ORIGINAL ordered interval length := sub(21, -20)

操作後

MVT ORIGINAL ordered interval length = 41

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013





S015 · calculation操作前

MVT exact secant slope := div(492, 41)

操作後

MVT exact secant slope = 12

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014





S016 · calculation操作前

MVT ORIGINAL endpoint sum := sum(-20, 21)

操作後

MVT ORIGINAL endpoint sum = 1

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015





S017 · calculation操作前

MVT midpoint c := div(1, 2)

操作後

MVT midpoint c = 1/2

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016





S018 · calculation操作前

MVT c minus ORIGINAL a := sub(1/2, -20)

操作後

MVT c minus ORIGINAL a = 41/2

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017





S019 · calculation操作前

MVT ORIGINAL b minus c := sub(21, 1/2)

操作後

MVT ORIGINAL b minus c = 41/2

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018





S020 · calculation操作前

MVT derivative coefficient twice ORIGINAL A := mul(2, 4)

操作後

MVT derivative coefficient twice ORIGINAL A = 8

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019





S021 · calculation操作前

MVT derivative linear term at c := mul(8, 1/2)

操作後

MVT derivative linear term at c = 4

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020





S022 · calculation操作前

MVT derivative plus ORIGINAL B := sum(4, 8)

操作後

MVT derivative plus ORIGINAL B = 12

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021





S023 · implies操作前

ORIGINAL polynomial coefficients=[4, 8, 325];c=1/2,c-a=41/2>0,b-c=41/2>0

操作後

derivative2*A*c+B=12;exact secant=12;equal=是;A0 means ALL interior points work,not a unique midpoint

條件：無

代數上f(b)−f(a)=(b−a)(A(a+b)+B)，故中點導數恰等割線。一般存在理由是g=f−割線仿射函數兩端相等，Rolle由閉區間極值與內點導數0給c；不是取樣證明。A=0時不宣稱唯一。

步驟識別與依賴規則：mvt_strict_interior_derivative_equals_secant_not_unique · 依賴：G001, S022









## 逐步反向核對


- S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT derivative plus ORIGINAL B，不以小數近似替代。
- S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT derivative linear term at c，不以小數近似替代。
- S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT derivative coefficient twice ORIGINAL A，不以小數近似替代。
- S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT ORIGINAL b minus c，不以小數近似替代。
- S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT c minus ORIGINAL a，不以小數近似替代。
- S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT midpoint c，不以小數近似替代。
- S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT ORIGINAL endpoint sum，不以小數近似替代。
- S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT exact secant slope，不以小數近似替代。
- S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT ORIGINAL ordered interval length，不以小數近似替代。
- S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT ORIGINAL endpoint f(b) minus f(a)，不以小數近似替代。
- S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointb plus ORIGINAL constant，不以小數近似替代。
- S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointb quadratic plus linear，不以小數近似替代。
- S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointb ORIGINAL B times x，不以小數近似替代。
- S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointb A*x times x，不以小數近似替代。
- S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointb ORIGINAL A times x，不以小數近似替代。
- S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointa plus ORIGINAL constant，不以小數近似替代。
- S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointa quadratic plus linear，不以小數近似替代。
- S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointa ORIGINAL B times x，不以小數近似替代。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointa A*x times x，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointa ORIGINAL A times x，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(1/2, 是, 12, 12, 是, quadratic_midpoint_witness)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 8ac6eb86f20fe2e1bf26634140603737ee3bb64c3549e962a13d3d1772b12acb
- candidate record SHA-256: d6f358106313dc2fa14343054d8eca57eee1e3b1fcaefbaeb5893d08de3436a2
- semantic review receipt SHA-256: 49cf6ec60211c92d1c0c302663af4d44479635dc8181fb61a20c3374288e21c5
- question-first witness SHA-256: 10fd25b4643e5ff12753daceaa61f9f2499bf381f65ef96e9d21185c7c0d0c5e
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261110-r02-mean-value-theorem-0069.json)