# 第 22600 題：遞迴關係 [返回所在分頁 113](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/113/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-foundations/#q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0025) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0044-22600 · q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0025 ## 原題與已知條件 initial_values[j]=a_j且coefficients[j]乘a_(n-r+j)的明示order-r state update。操作=recurrence-specification-qualification；資料={"order":2,"coefficients":[1,2],"constant":2,"initial_values":[24,25]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — initial_values[j]=a_j且coefficients[j]乘a_(n-r+j)的明示order-r state update。操作=recurrence-specification-qualification；資料={"order":2,"coefficients":[1,2],"constant":2,"initial_values":[24,25]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-recurrence-relation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-recurrence-relation/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=recurrence-specification-qualification;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[order, coefficients, constant, initial_values, complete_initials, total_rule, index_scope] 條件：無 保留原題歷史介面標記，直接列來源欄序，不需JavaScript。tag不是額外證據，固定No依原聲稱範圍解讀；排序輔助只處理協定，不是數學oracle。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL order=2;oldest-to-newest coefficients=[1, 2];constant=2;ALL initial a_0..a_(r-1)=[24, 25] 操作後 for EVERY n>=2,a_n=constant+sum_j coefficients[j]*a_(n-r+j);current prefix length=2;forward rule is total and single-valued 條件：無 先固定r個初值與coefficient的oldest-to-newest角色；已知前r項時，每個下一項只有一個值。這是forward定義，不是closed form或收斂聲稱。 步驟識別與依賴規則：recurrence_complete_initial_state_and_total_single_value_rule · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0 := mul(1, 24) 操作後 recurrence ORIGINAL n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0 = 24 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=2 partial sum after coefficient0 := sum(2, 24) 操作後 recurrence ORIGINAL n=2 partial sum after coefficient0 = 26 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1 := mul(2, 25) 操作後 recurrence ORIGINAL n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1 = 50 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=2 partial sum after coefficient1 := sum(26, 50) 操作後 recurrence ORIGINAL n=2 partial sum after coefficient1 = 76 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=2;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[24, 25];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 0, 1, 24, 24], [1, 1, 2, 25, 50]] 操作後 new a_2=76;next state=[25, 76];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[24, 25, 76] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:complete ORIGINAL initial state=[24, 25];actual generated prefix=[24, 25, 76] 操作後 ANY two sequences with SAME r initials and SAME total rule agree at n=2 by substitution,then at every later n by induction;this determines the requested prefix only 條件：無 歸納先有全部r個初值相等，再由同一單值規則得到下一項相等；重複即可保整個forward prefix。有限生成不證closed form、漸近或解析性。 步驟識別與依賴規則：recurrence_forward_uniqueness_induction_not_analytic_claim · 依賴：G001, S007 ## 逐步反向核對 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=2 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=2 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (2, [1, 2], 2, [24, 25], 是, 是, rule_applies_for_n_ge_2) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 963b9381d1b79a82290dce41b5a83c3c3d7c3b5347055bf732d6edfd0f4640ae - candidate record SHA-256: 5343a38ea4205283bd162e34e2e41e33ea4a17ab5005107c2a82031d5298b8e5 - semantic review receipt SHA-256: 89b8e810eced1a69dbfef28d4b112e829edf156c7905a86e39a3f4958cd75e81 - question-first witness SHA-256: b2e8b769c463242f05172564ae96e310403eae151e1ec30bcb50be3ffe12cfc7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0025.json)