# 第 22512 題：遞迴關係 [返回所在分頁 113](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/113/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-foundations/#q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0037) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0044-22512 · q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0037 ## 原題與已知條件 initial_values[j]=a_j且coefficients[j]乘a_(n-r+j)的明示order-r state update。操作=recurrence-forward-generation；資料={"order":4,"coefficients":[2,4,6,8],"constant":-1,"initial_values":[11,12,13,14],"target_n":10}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — initial_values[j]=a_j且coefficients[j]乘a_(n-r+j)的明示order-r state update。操作=recurrence-forward-generation；資料={"order":4,"coefficients":[2,4,6,8],"constant":-1,"initial_values":[11,12,13,14],"target_n":10}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-recurrence-relation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-recurrence-relation/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=recurrence-forward-generation;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[order, initial_values, target_n, prefix, target_value, certificate] 條件：無 保留原題歷史介面標記，直接列來源欄序，不需JavaScript。tag不是額外證據，固定No依原聲稱範圍解讀；排序輔助只處理協定，不是數學oracle。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL order=4;oldest-to-newest coefficients=[2, 4, 6, 8];constant=-1;ALL initial a_0..a_(r-1)=[11, 12, 13, 14] 操作後 for EVERY n>=4,a_n=constant+sum_j coefficients[j]*a_(n-r+j);current prefix length=4;forward rule is total and single-valued 條件：無 先固定r個初值與coefficient的oldest-to-newest角色；已知前r項時，每個下一項只有一個值。這是forward定義，不是closed form或收斂聲稱。 步驟識別與依賴規則：recurrence_complete_initial_state_and_total_single_value_rule · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_0 := mul(2, 11) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_0 = 22 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient0 := sum(-1, 22) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient0 = 21 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_1 := mul(4, 12) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_1 = 48 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient1 := sum(21, 48) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient1 = 69 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient2 times a_2 := mul(6, 13) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient2 times a_2 = 78 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient2 := sum(69, 78) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient2 = 147 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient3 times a_3 := mul(8, 14) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient3 times a_3 = 112 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient3 := sum(147, 112) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient3 = 259 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=4;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[11, 12, 13, 14];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 0, 2, 11, 22], [1, 1, 4, 12, 48], [2, 2, 6, 13, 78], [3, 3, 8, 14, 112]] 操作後 new a_4=259;next state=[12, 13, 14, 259];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[11, 12, 13, 14, 259] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_1 := mul(2, 12) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_1 = 24 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient0 := sum(-1, 24) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient0 = 23 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_2 := mul(4, 13) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_2 = 52 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient1 := sum(23, 52) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient1 = 75 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient2 times a_3 := mul(6, 14) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient2 times a_3 = 84 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient2 := sum(75, 84) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient2 = 159 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient3 times a_4 := mul(8, 259) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient3 times a_4 = 2072 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient3 := sum(159, 2072) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient3 = 2231 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=5;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[12, 13, 14, 259];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 1, 2, 12, 24], [1, 2, 4, 13, 52], [2, 3, 6, 14, 84], [3, 4, 8, 259, 2072]] 操作後 new a_5=2231;next state=[13, 14, 259, 2231];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[11, 12, 13, 14, 259, 2231] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_2 := mul(2, 13) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_2 = 26 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient0 := sum(-1, 26) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient0 = 25 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_3 := mul(4, 14) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_3 = 56 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient1 := sum(25, 56) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient1 = 81 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient2 times a_4 := mul(6, 259) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient2 times a_4 = 1554 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient2 := sum(81, 1554) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient2 = 1635 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient3 times a_5 := mul(8, 2231) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient3 times a_5 = 17848 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient3 := sum(1635, 17848) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient3 = 19483 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=6;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[13, 14, 259, 2231];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 2, 2, 13, 26], [1, 3, 4, 14, 56], [2, 4, 6, 259, 1554], [3, 5, 8, 2231, 17848]] 操作後 new a_6=19483;next state=[14, 259, 2231, 19483];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[11, 12, 13, 14, 259, 2231, 19483] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_3 := mul(2, 14) 操作後 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_3 = 28 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient0 := sum(-1, 28) 操作後 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient0 = 27 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_4 := mul(4, 259) 操作後 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_4 = 1036 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient1 := sum(27, 1036) 操作後 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient1 = 1063 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient2 times a_5 := mul(6, 2231) 操作後 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient2 times a_5 = 13386 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient2 := sum(1063, 13386) 操作後 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient2 = 14449 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient3 times a_6 := mul(8, 19483) 操作後 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient3 times a_6 = 155864 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient3 := sum(14449, 155864) 操作後 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient3 = 170313 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=7;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[14, 259, 2231, 19483];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 3, 2, 14, 28], [1, 4, 4, 259, 1036], [2, 5, 6, 2231, 13386], [3, 6, 8, 19483, 155864]] 操作後 new a_7=170313;next state=[259, 2231, 19483, 170313];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[11, 12, 13, 14, 259, 2231, 19483, 170313] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient0 times a_4 := mul(2, 259) 操作後 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient0 times a_4 = 518 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient0 := sum(-1, 518) 操作後 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient0 = 517 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient1 times a_5 := mul(4, 2231) 操作後 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient1 times a_5 = 8924 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient1 := sum(517, 8924) 操作後 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient1 = 9441 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient2 times a_6 := mul(6, 19483) 操作後 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient2 times a_6 = 116898 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient2 := sum(9441, 116898) 操作後 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient2 = 126339 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient3 times a_7 := mul(8, 170313) 操作後 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient3 times a_7 = 1362504 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient3 := sum(126339, 1362504) 操作後 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient3 = 1488843 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=8;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[259, 2231, 19483, 170313];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 4, 2, 259, 518], [1, 5, 4, 2231, 8924], [2, 6, 6, 19483, 116898], [3, 7, 8, 170313, 1362504]] 操作後 new a_8=1488843;next state=[2231, 19483, 170313, 1488843];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[11, 12, 13, 14, 259, 2231, 19483, 170313, 1488843] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=9 ORIGINAL coefficient0 times a_5 := mul(2, 2231) 操作後 recurrence ORIGINAL n=9 ORIGINAL coefficient0 times a_5 = 4462 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=9 partial sum after coefficient0 := sum(-1, 4462) 操作後 recurrence ORIGINAL n=9 partial sum after coefficient0 = 4461 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=9 ORIGINAL coefficient1 times a_6 := mul(4, 19483) 操作後 recurrence ORIGINAL n=9 ORIGINAL coefficient1 times a_6 = 77932 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=9 partial sum after coefficient1 := sum(4461, 77932) 操作後 recurrence ORIGINAL n=9 partial sum after coefficient1 = 82393 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=9 ORIGINAL coefficient2 times a_7 := mul(6, 170313) 操作後 recurrence ORIGINAL n=9 ORIGINAL coefficient2 times a_7 = 1021878 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=9 partial sum after coefficient2 := sum(82393, 1021878) 操作後 recurrence ORIGINAL n=9 partial sum after coefficient2 = 1104271 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=9 ORIGINAL coefficient3 times a_8 := mul(8, 1488843) 操作後 recurrence ORIGINAL n=9 ORIGINAL coefficient3 times a_8 = 11910744 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=9 partial sum after coefficient3 := sum(1104271, 11910744) 操作後 recurrence ORIGINAL n=9 partial sum after coefficient3 = 13015015 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=9;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[2231, 19483, 170313, 1488843];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 5, 2, 2231, 4462], [1, 6, 4, 19483, 77932], [2, 7, 6, 170313, 1021878], [3, 8, 8, 1488843, 11910744]] 操作後 new a_9=13015015;next state=[19483, 170313, 1488843, 13015015];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[11, 12, 13, 14, 259, 2231, 19483, 170313, 1488843, 13015015] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=10 ORIGINAL coefficient0 times a_6 := mul(2, 19483) 操作後 recurrence ORIGINAL n=10 ORIGINAL coefficient0 times a_6 = 38966 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=10 partial sum after coefficient0 := sum(-1, 38966) 操作後 recurrence ORIGINAL n=10 partial sum after coefficient0 = 38965 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=10 ORIGINAL coefficient1 times a_7 := mul(4, 170313) 操作後 recurrence ORIGINAL n=10 ORIGINAL coefficient1 times a_7 = 681252 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058 S060 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=10 partial sum after coefficient1 := sum(38965, 681252) 操作後 recurrence ORIGINAL n=10 partial sum after coefficient1 = 720217 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=10 ORIGINAL coefficient2 times a_8 := mul(6, 1488843) 操作後 recurrence ORIGINAL n=10 ORIGINAL coefficient2 times a_8 = 8933058 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=10 partial sum after coefficient2 := sum(720217, 8933058) 操作後 recurrence ORIGINAL n=10 partial sum after coefficient2 = 9653275 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=10 ORIGINAL coefficient3 times a_9 := mul(8, 13015015) 操作後 recurrence ORIGINAL n=10 ORIGINAL coefficient3 times a_9 = 104120120 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=10 partial sum after coefficient3 := sum(9653275, 104120120) 操作後 recurrence ORIGINAL n=10 partial sum after coefficient3 = 113773395 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063 S065 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=10;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[19483, 170313, 1488843, 13015015];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 6, 2, 19483, 38966], [1, 7, 4, 170313, 681252], [2, 8, 6, 1488843, 8933058], [3, 9, 8, 13015015, 104120120]] 操作後 new a_10=113773395;next state=[170313, 1488843, 13015015, 113773395];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[11, 12, 13, 14, 259, 2231, 19483, 170313, 1488843, 13015015, 113773395] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S064 S066 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:complete ORIGINAL initial state=[11, 12, 13, 14];actual generated prefix=[11, 12, 13, 14, 259, 2231, 19483, 170313, 1488843, 13015015, 113773395] 操作後 ANY two sequences with SAME r initials and SAME total rule agree at n=4 by substitution,then at every later n by induction;this determines the requested prefix only 條件：無 歸納先有全部r個初值相等，再由同一單值規則得到下一項相等；重複即可保整個forward prefix。有限生成不證closed form、漸近或解析性。 步驟識別與依賴規則：recurrence_forward_uniqueness_induction_not_analytic_claim · 依賴：G001, S065 ## 逐步反向核對 - S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=10 partial sum after coefficient3，不以小數近似替代。 - S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=10 ORIGINAL coefficient3 times a_9，不以小數近似替代。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=10 partial sum after coefficient2，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=10 ORIGINAL coefficient2 times a_8，不以小數近似替代。 - S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=10 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=10 ORIGINAL coefficient1 times a_7，不以小數近似替代。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=10 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=10 ORIGINAL coefficient0 times a_6，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=9 partial sum after coefficient3，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=9 ORIGINAL coefficient3 times a_8，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=9 partial sum after coefficient2，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=9 ORIGINAL coefficient2 times a_7，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=9 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=9 ORIGINAL coefficient1 times a_6，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=9 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=9 ORIGINAL coefficient0 times a_5，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient3，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient3 times a_7，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient2，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient2 times a_6，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient1 times a_5，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient0 times a_4，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient3，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient3 times a_6，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient2，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient2 times a_5，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_4，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_3，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient3，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient3 times a_5，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient2，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient2 times a_4，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_3，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_2，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient3，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient3 times a_4，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient2，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient2 times a_3，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_2，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_1，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient3，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient3 times a_3，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient2，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient2 times a_2，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (4, [11, 12, 13, 14], 10, [11, 12, 13, 14, 259, 2231, 19483, 170313, 1488843, 13015015, 113773395], 113773395, exact_forward_application_only) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 91708f665f1079c4877fbb64c4cf5c45e22e8c39659b6ed709bfcd5b091cc86b - candidate record SHA-256: 98d2c1594158abce05e53a17704edf8eae6048a01e1fcbd0ac9ab4e2b59608aa - semantic review receipt SHA-256: 89b8e810eced1a69dbfef28d4b112e829edf156c7905a86e39a3f4958cd75e81 - question-first witness SHA-256: b2e8b769c463242f05172564ae96e310403eae151e1ec30bcb50be3ffe12cfc7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0037.json)