# 第 22518 題：遞迴關係 [返回所在分頁 113](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/113/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-foundations/#q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0043) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0044-22518 · q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0043 ## 原題與已知條件 initial_values[j]=a_j且coefficients[j]乘a_(n-r+j)的明示order-r state update。操作=recurrence-forward-generation；資料={"order":4,"coefficients":[2,4,6,8],"constant":0,"initial_values":[17,18,19,20],"target_n":8}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — initial_values[j]=a_j且coefficients[j]乘a_(n-r+j)的明示order-r state update。操作=recurrence-forward-generation；資料={"order":4,"coefficients":[2,4,6,8],"constant":0,"initial_values":[17,18,19,20],"target_n":8}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-recurrence-relation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-recurrence-relation/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=recurrence-forward-generation;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[order, initial_values, target_n, prefix, target_value, certificate] 條件：無 保留原題歷史介面標記，直接列來源欄序，不需JavaScript。tag不是額外證據，固定No依原聲稱範圍解讀；排序輔助只處理協定，不是數學oracle。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL order=4;oldest-to-newest coefficients=[2, 4, 6, 8];constant=0;ALL initial a_0..a_(r-1)=[17, 18, 19, 20] 操作後 for EVERY n>=4,a_n=constant+sum_j coefficients[j]*a_(n-r+j);current prefix length=4;forward rule is total and single-valued 條件：無 先固定r個初值與coefficient的oldest-to-newest角色；已知前r項時，每個下一項只有一個值。這是forward定義，不是closed form或收斂聲稱。 步驟識別與依賴規則：recurrence_complete_initial_state_and_total_single_value_rule · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_0 := mul(2, 17) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_0 = 34 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient0 := sum(0, 34) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient0 = 34 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_1 := mul(4, 18) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_1 = 72 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient1 := sum(34, 72) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient1 = 106 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient2 times a_2 := mul(6, 19) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient2 times a_2 = 114 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient2 := sum(106, 114) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient2 = 220 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient3 times a_3 := mul(8, 20) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient3 times a_3 = 160 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient3 := sum(220, 160) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient3 = 380 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=4;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[17, 18, 19, 20];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 0, 2, 17, 34], [1, 1, 4, 18, 72], [2, 2, 6, 19, 114], [3, 3, 8, 20, 160]] 操作後 new a_4=380;next state=[18, 19, 20, 380];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[17, 18, 19, 20, 380] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_1 := mul(2, 18) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_1 = 36 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient0 := sum(0, 36) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient0 = 36 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_2 := mul(4, 19) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_2 = 76 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient1 := sum(36, 76) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient1 = 112 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient2 times a_3 := mul(6, 20) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient2 times a_3 = 120 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient2 := sum(112, 120) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient2 = 232 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient3 times a_4 := mul(8, 380) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient3 times a_4 = 3040 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient3 := sum(232, 3040) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient3 = 3272 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=5;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[18, 19, 20, 380];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 1, 2, 18, 36], [1, 2, 4, 19, 76], [2, 3, 6, 20, 120], [3, 4, 8, 380, 3040]] 操作後 new a_5=3272;next state=[19, 20, 380, 3272];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[17, 18, 19, 20, 380, 3272] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_2 := mul(2, 19) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_2 = 38 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient0 := sum(0, 38) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient0 = 38 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_3 := mul(4, 20) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_3 = 80 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient1 := sum(38, 80) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient1 = 118 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient2 times a_4 := mul(6, 380) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient2 times a_4 = 2280 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient2 := sum(118, 2280) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient2 = 2398 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient3 times a_5 := mul(8, 3272) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient3 times a_5 = 26176 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient3 := sum(2398, 26176) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient3 = 28574 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=6;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[19, 20, 380, 3272];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 2, 2, 19, 38], [1, 3, 4, 20, 80], [2, 4, 6, 380, 2280], [3, 5, 8, 3272, 26176]] 操作後 new a_6=28574;next state=[20, 380, 3272, 28574];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[17, 18, 19, 20, 380, 3272, 28574] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_3 := mul(2, 20) 操作後 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_3 = 40 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient0 := sum(0, 40) 操作後 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient0 = 40 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_4 := mul(4, 380) 操作後 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_4 = 1520 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient1 := sum(40, 1520) 操作後 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient1 = 1560 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient2 times a_5 := mul(6, 3272) 操作後 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient2 times a_5 = 19632 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient2 := sum(1560, 19632) 操作後 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient2 = 21192 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient3 times a_6 := mul(8, 28574) 操作後 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient3 times a_6 = 228592 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient3 := sum(21192, 228592) 操作後 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient3 = 249784 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=7;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[20, 380, 3272, 28574];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 3, 2, 20, 40], [1, 4, 4, 380, 1520], [2, 5, 6, 3272, 19632], [3, 6, 8, 28574, 228592]] 操作後 new a_7=249784;next state=[380, 3272, 28574, 249784];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[17, 18, 19, 20, 380, 3272, 28574, 249784] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient0 times a_4 := mul(2, 380) 操作後 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient0 times a_4 = 760 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient0 := sum(0, 760) 操作後 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient0 = 760 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient1 times a_5 := mul(4, 3272) 操作後 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient1 times a_5 = 13088 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient1 := sum(760, 13088) 操作後 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient1 = 13848 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient2 times a_6 := mul(6, 28574) 操作後 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient2 times a_6 = 171444 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient2 := sum(13848, 171444) 操作後 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient2 = 185292 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient3 times a_7 := mul(8, 249784) 操作後 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient3 times a_7 = 1998272 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient3 := sum(185292, 1998272) 操作後 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient3 = 2183564 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=8;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[380, 3272, 28574, 249784];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 4, 2, 380, 760], [1, 5, 4, 3272, 13088], [2, 6, 6, 28574, 171444], [3, 7, 8, 249784, 1998272]] 操作後 new a_8=2183564;next state=[3272, 28574, 249784, 2183564];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[17, 18, 19, 20, 380, 3272, 28574, 249784, 2183564] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S046 S048 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:complete ORIGINAL initial state=[17, 18, 19, 20];actual generated prefix=[17, 18, 19, 20, 380, 3272, 28574, 249784, 2183564] 操作後 ANY two sequences with SAME r initials and SAME total rule agree at n=4 by substitution,then at every later n by induction;this determines the requested prefix only 條件：無 歸納先有全部r個初值相等，再由同一單值規則得到下一項相等；重複即可保整個forward prefix。有限生成不證closed form、漸近或解析性。 步驟識別與依賴規則：recurrence_forward_uniqueness_induction_not_analytic_claim · 依賴：G001, S047 ## 逐步反向核對 - S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient3，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient3 times a_7，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient2，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient2 times a_6，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient1 times a_5，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient0 times a_4，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient3，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient3 times a_6，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient2，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient2 times a_5，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_4，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_3，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient3，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient3 times a_5，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient2，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient2 times a_4，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_3，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_2，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient3，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient3 times a_4，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient2，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient2 times a_3，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_2，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_1，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient3，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient3 times a_3，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient2，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient2 times a_2，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (4, [17, 18, 19, 20], 8, [17, 18, 19, 20, 380, 3272, 28574, 249784, 2183564], 2183564, exact_forward_application_only) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: bef9a93ce6ef90f9790c35c749572ad7f25da37c882ee1c30b7e68c8da4acdc7 - candidate record SHA-256: 084485870d561dd29a98c33780d939f541db56c280f143d751ee2c85ff40eceb - semantic review receipt SHA-256: 89b8e810eced1a69dbfef28d4b112e829edf156c7905a86e39a3f4958cd75e81 - question-first witness SHA-256: b2e8b769c463242f05172564ae96e310403eae151e1ec30bcb50be3ffe12cfc7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0043.json)