# 第 22529 題：遞迴關係 [返回所在分頁 113](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/113/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-foundations/#q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0054) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0044-22529 · q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0054 ## 原題與已知條件 initial_values[j]=a_j且coefficients[j]乘a_(n-r+j)的明示order-r state update。操作=recurrence-initial-value-uniqueness；資料={"order":2,"coefficients":[2,4],"constant":1,"initial_values":[3,4],"target_n":8}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — initial_values[j]=a_j且coefficients[j]乘a_(n-r+j)的明示order-r state update。操作=recurrence-initial-value-uniqueness；資料={"order":2,"coefficients":[2,4],"constant":1,"initial_values":[3,4],"target_n":8}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-recurrence-relation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-recurrence-relation/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=recurrence-initial-value-uniqueness;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[order, initial_count, target_n, target_value, unique_prefix, certificate] 條件：無 保留原題歷史介面標記，直接列來源欄序，不需JavaScript。tag不是額外證據，固定No依原聲稱範圍解讀；排序輔助只處理協定，不是數學oracle。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL order=2;oldest-to-newest coefficients=[2, 4];constant=1;ALL initial a_0..a_(r-1)=[3, 4] 操作後 for EVERY n>=2,a_n=constant+sum_j coefficients[j]*a_(n-r+j);current prefix length=2;forward rule is total and single-valued 條件：無 先固定r個初值與coefficient的oldest-to-newest角色；已知前r項時，每個下一項只有一個值。這是forward定義，不是closed form或收斂聲稱。 步驟識別與依賴規則：recurrence_complete_initial_state_and_total_single_value_rule · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0 := mul(2, 3) 操作後 recurrence ORIGINAL n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0 = 6 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=2 partial sum after coefficient0 := sum(1, 6) 操作後 recurrence ORIGINAL n=2 partial sum after coefficient0 = 7 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1 := mul(4, 4) 操作後 recurrence ORIGINAL n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1 = 16 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=2 partial sum after coefficient1 := sum(7, 16) 操作後 recurrence ORIGINAL n=2 partial sum after coefficient1 = 23 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=2;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[3, 4];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 0, 2, 3, 6], [1, 1, 4, 4, 16]] 操作後 new a_2=23;next state=[4, 23];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[3, 4, 23] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_1 := mul(2, 4) 操作後 recurrence ORIGINAL n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_1 = 8 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=3 partial sum after coefficient0 := sum(1, 8) 操作後 recurrence ORIGINAL n=3 partial sum after coefficient0 = 9 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_2 := mul(4, 23) 操作後 recurrence ORIGINAL n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_2 = 92 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=3 partial sum after coefficient1 := sum(9, 92) 操作後 recurrence ORIGINAL n=3 partial sum after coefficient1 = 101 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=3;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[4, 23];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 1, 2, 4, 8], [1, 2, 4, 23, 92]] 操作後 new a_3=101;next state=[23, 101];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[3, 4, 23, 101] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_2 := mul(2, 23) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_2 = 46 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient0 := sum(1, 46) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient0 = 47 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_3 := mul(4, 101) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_3 = 404 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient1 := sum(47, 404) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient1 = 451 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=4;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[23, 101];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 2, 2, 23, 46], [1, 3, 4, 101, 404]] 操作後 new a_4=451;next state=[101, 451];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[3, 4, 23, 101, 451] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_3 := mul(2, 101) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_3 = 202 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient0 := sum(1, 202) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient0 = 203 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_4 := mul(4, 451) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_4 = 1804 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient1 := sum(203, 1804) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient1 = 2007 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=5;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[101, 451];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 3, 2, 101, 202], [1, 4, 4, 451, 1804]] 操作後 new a_5=2007;next state=[451, 2007];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[3, 4, 23, 101, 451, 2007] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_4 := mul(2, 451) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_4 = 902 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient0 := sum(1, 902) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient0 = 903 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_5 := mul(4, 2007) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_5 = 8028 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient1 := sum(903, 8028) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient1 = 8931 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=6;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[451, 2007];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 4, 2, 451, 902], [1, 5, 4, 2007, 8028]] 操作後 new a_6=8931;next state=[2007, 8931];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[3, 4, 23, 101, 451, 2007, 8931] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_5 := mul(2, 2007) 操作後 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_5 = 4014 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient0 := sum(1, 4014) 操作後 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient0 = 4015 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_6 := mul(4, 8931) 操作後 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_6 = 35724 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient1 := sum(4015, 35724) 操作後 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient1 = 39739 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=7;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[2007, 8931];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 5, 2, 2007, 4014], [1, 6, 4, 8931, 35724]] 操作後 new a_7=39739;next state=[8931, 39739];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[3, 4, 23, 101, 451, 2007, 8931, 39739] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient0 times a_6 := mul(2, 8931) 操作後 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient0 times a_6 = 17862 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient0 := sum(1, 17862) 操作後 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient0 = 17863 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient1 times a_7 := mul(4, 39739) 操作後 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient1 times a_7 = 158956 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient1 := sum(17863, 158956) 操作後 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient1 = 176819 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=8;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[8931, 39739];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 6, 2, 8931, 17862], [1, 7, 4, 39739, 158956]] 操作後 new a_8=176819;next state=[39739, 176819];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[3, 4, 23, 101, 451, 2007, 8931, 39739, 176819] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:complete ORIGINAL initial state=[3, 4];actual generated prefix=[3, 4, 23, 101, 451, 2007, 8931, 39739, 176819] 操作後 ANY two sequences with SAME r initials and SAME total rule agree at n=2 by substitution,then at every later n by induction;this determines the requested prefix only 條件：無 歸納先有全部r個初值相等，再由同一單值規則得到下一項相等；重複即可保整個forward prefix。有限生成不證closed form、漸近或解析性。 步驟識別與依賴規則：recurrence_forward_uniqueness_induction_not_analytic_claim · 依賴：G001, S037 ## 逐步反向核對 - S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient1 times a_7，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=8 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=8 ORIGINAL coefficient0 times a_6，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_6，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_5，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_5，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_4，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_4，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_3，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_3，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_2，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=3 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_2，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=3 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=2 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=2 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (2, 2, 8, 176819, 是, total_single_valued_rule_plus_all_order_many_initial_values_gives_unique_prefix) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 470bea95ab1363e18298beca911bba6b607f064f97abf4a96879dba76cc14622 - candidate record SHA-256: de63f80d6a47973f6cbf64a51a7aa628d79b6c45d19d5278daa46110530029d5 - semantic review receipt SHA-256: 89b8e810eced1a69dbfef28d4b112e829edf156c7905a86e39a3f4958cd75e81 - question-first witness SHA-256: b2e8b769c463242f05172564ae96e310403eae151e1ec30bcb50be3ffe12cfc7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0054.json)