# 第 22530 題：遞迴關係 [返回所在分頁 113](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/113/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-foundations/#q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0055) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0044-22530 · q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0055 ## 原題與已知條件 initial_values[j]=a_j且coefficients[j]乘a_(n-r+j)的明示order-r state update。操作=recurrence-initial-value-uniqueness；資料={"order":3,"coefficients":[1,2,3],"constant":2,"initial_values":[4,5,6],"target_n":6}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — initial_values[j]=a_j且coefficients[j]乘a_(n-r+j)的明示order-r state update。操作=recurrence-initial-value-uniqueness；資料={"order":3,"coefficients":[1,2,3],"constant":2,"initial_values":[4,5,6],"target_n":6}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-recurrence-relation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-recurrence-relation/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=recurrence-initial-value-uniqueness;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[order, initial_count, target_n, target_value, unique_prefix, certificate] 條件：無 保留原題歷史介面標記，直接列來源欄序，不需JavaScript。tag不是額外證據，固定No依原聲稱範圍解讀；排序輔助只處理協定，不是數學oracle。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL order=3;oldest-to-newest coefficients=[1, 2, 3];constant=2;ALL initial a_0..a_(r-1)=[4, 5, 6] 操作後 for EVERY n>=3,a_n=constant+sum_j coefficients[j]*a_(n-r+j);current prefix length=3;forward rule is total and single-valued 條件：無 先固定r個初值與coefficient的oldest-to-newest角色；已知前r項時，每個下一項只有一個值。這是forward定義，不是closed form或收斂聲稱。 步驟識別與依賴規則：recurrence_complete_initial_state_and_total_single_value_rule · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_0 := mul(1, 4) 操作後 recurrence ORIGINAL n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_0 = 4 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=3 partial sum after coefficient0 := sum(2, 4) 操作後 recurrence ORIGINAL n=3 partial sum after coefficient0 = 6 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_1 := mul(2, 5) 操作後 recurrence ORIGINAL n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_1 = 10 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=3 partial sum after coefficient1 := sum(6, 10) 操作後 recurrence ORIGINAL n=3 partial sum after coefficient1 = 16 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=3 ORIGINAL coefficient2 times a_2 := mul(3, 6) 操作後 recurrence ORIGINAL n=3 ORIGINAL coefficient2 times a_2 = 18 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=3 partial sum after coefficient2 := sum(16, 18) 操作後 recurrence ORIGINAL n=3 partial sum after coefficient2 = 34 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=3;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[4, 5, 6];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 0, 1, 4, 4], [1, 1, 2, 5, 10], [2, 2, 3, 6, 18]] 操作後 new a_3=34;next state=[5, 6, 34];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[4, 5, 6, 34] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_1 := mul(1, 5) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_1 = 5 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient0 := sum(2, 5) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient0 = 7 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_2 := mul(2, 6) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_2 = 12 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient1 := sum(7, 12) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient1 = 19 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient2 times a_3 := mul(3, 34) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient2 times a_3 = 102 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient2 := sum(19, 102) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient2 = 121 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=4;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[5, 6, 34];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 1, 1, 5, 5], [1, 2, 2, 6, 12], [2, 3, 3, 34, 102]] 操作後 new a_4=121;next state=[6, 34, 121];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[4, 5, 6, 34, 121] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_2 := mul(1, 6) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_2 = 6 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient0 := sum(2, 6) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient0 = 8 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_3 := mul(2, 34) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_3 = 68 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient1 := sum(8, 68) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient1 = 76 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient2 times a_4 := mul(3, 121) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient2 times a_4 = 363 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient2 := sum(76, 363) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient2 = 439 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=5;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[6, 34, 121];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 2, 1, 6, 6], [1, 3, 2, 34, 68], [2, 4, 3, 121, 363]] 操作後 new a_5=439;next state=[34, 121, 439];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[4, 5, 6, 34, 121, 439] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_3 := mul(1, 34) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_3 = 34 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient0 := sum(2, 34) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient0 = 36 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_4 := mul(2, 121) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_4 = 242 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient1 := sum(36, 242) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient1 = 278 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient2 times a_5 := mul(3, 439) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient2 times a_5 = 1317 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient2 := sum(278, 1317) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient2 = 1595 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=6;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[34, 121, 439];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 3, 1, 34, 34], [1, 4, 2, 121, 242], [2, 5, 3, 439, 1317]] 操作後 new a_6=1595;next state=[121, 439, 1595];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[4, 5, 6, 34, 121, 439, 1595] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:complete ORIGINAL initial state=[4, 5, 6];actual generated prefix=[4, 5, 6, 34, 121, 439, 1595] 操作後 ANY two sequences with SAME r initials and SAME total rule agree at n=3 by substitution,then at every later n by induction;this determines the requested prefix only 條件：無 歸納先有全部r個初值相等，再由同一單值規則得到下一項相等；重複即可保整個forward prefix。有限生成不證closed form、漸近或解析性。 步驟識別與依賴規則：recurrence_forward_uniqueness_induction_not_analytic_claim · 依賴：G001, S030 ## 逐步反向核對 - S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient2，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient2 times a_5，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_4，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_3，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient2，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient2 times a_4，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_3，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_2，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient2，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient2 times a_3，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_2，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_1，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=3 partial sum after coefficient2，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=3 ORIGINAL coefficient2 times a_2，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=3 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=3 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (3, 3, 6, 1595, 是, total_single_valued_rule_plus_all_order_many_initial_values_gives_unique_prefix) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 7943bd47eb994cfea4ea04be66363490049374c0c9d370b1b631addb1378c8ef - candidate record SHA-256: 5abfc65230937bc38314ee69e660a39fd390972126c71a525fe9844f0ecd4e4d - semantic review receipt SHA-256: 89b8e810eced1a69dbfef28d4b112e829edf156c7905a86e39a3f4958cd75e81 - question-first witness SHA-256: b2e8b769c463242f05172564ae96e310403eae151e1ec30bcb50be3ffe12cfc7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0055.json)