# 第 22532 題：遞迴關係 [返回所在分頁 113](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/113/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-foundations/#q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0057) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0044-22532 · q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0057 ## 原題與已知條件 initial_values[j]=a_j且coefficients[j]乘a_(n-r+j)的明示order-r state update。操作=recurrence-initial-value-uniqueness；資料={"order":2,"coefficients":[1,2],"constant":-1,"initial_values":[6,7],"target_n":7}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — initial_values[j]=a_j且coefficients[j]乘a_(n-r+j)的明示order-r state update。操作=recurrence-initial-value-uniqueness；資料={"order":2,"coefficients":[1,2],"constant":-1,"initial_values":[6,7],"target_n":7}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-recurrence-relation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-recurrence-relation/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=recurrence-initial-value-uniqueness;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[order, initial_count, target_n, target_value, unique_prefix, certificate] 條件：無 保留原題歷史介面標記，直接列來源欄序，不需JavaScript。tag不是額外證據，固定No依原聲稱範圍解讀；排序輔助只處理協定，不是數學oracle。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL order=2;oldest-to-newest coefficients=[1, 2];constant=-1;ALL initial a_0..a_(r-1)=[6, 7] 操作後 for EVERY n>=2,a_n=constant+sum_j coefficients[j]*a_(n-r+j);current prefix length=2;forward rule is total and single-valued 條件：無 先固定r個初值與coefficient的oldest-to-newest角色；已知前r項時，每個下一項只有一個值。這是forward定義，不是closed form或收斂聲稱。 步驟識別與依賴規則：recurrence_complete_initial_state_and_total_single_value_rule · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0 := mul(1, 6) 操作後 recurrence ORIGINAL n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0 = 6 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=2 partial sum after coefficient0 := sum(-1, 6) 操作後 recurrence ORIGINAL n=2 partial sum after coefficient0 = 5 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1 := mul(2, 7) 操作後 recurrence ORIGINAL n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1 = 14 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=2 partial sum after coefficient1 := sum(5, 14) 操作後 recurrence ORIGINAL n=2 partial sum after coefficient1 = 19 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=2;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[6, 7];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 0, 1, 6, 6], [1, 1, 2, 7, 14]] 操作後 new a_2=19;next state=[7, 19];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[6, 7, 19] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_1 := mul(1, 7) 操作後 recurrence ORIGINAL n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_1 = 7 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=3 partial sum after coefficient0 := sum(-1, 7) 操作後 recurrence ORIGINAL n=3 partial sum after coefficient0 = 6 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_2 := mul(2, 19) 操作後 recurrence ORIGINAL n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_2 = 38 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=3 partial sum after coefficient1 := sum(6, 38) 操作後 recurrence ORIGINAL n=3 partial sum after coefficient1 = 44 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=3;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[7, 19];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 1, 1, 7, 7], [1, 2, 2, 19, 38]] 操作後 new a_3=44;next state=[19, 44];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[6, 7, 19, 44] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_2 := mul(1, 19) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_2 = 19 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient0 := sum(-1, 19) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient0 = 18 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_3 := mul(2, 44) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_3 = 88 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient1 := sum(18, 88) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient1 = 106 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=4;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[19, 44];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 2, 1, 19, 19], [1, 3, 2, 44, 88]] 操作後 new a_4=106;next state=[44, 106];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[6, 7, 19, 44, 106] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_3 := mul(1, 44) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_3 = 44 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient0 := sum(-1, 44) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient0 = 43 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_4 := mul(2, 106) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_4 = 212 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient1 := sum(43, 212) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient1 = 255 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=5;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[44, 106];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 3, 1, 44, 44], [1, 4, 2, 106, 212]] 操作後 new a_5=255;next state=[106, 255];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[6, 7, 19, 44, 106, 255] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_4 := mul(1, 106) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_4 = 106 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient0 := sum(-1, 106) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient0 = 105 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_5 := mul(2, 255) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_5 = 510 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient1 := sum(105, 510) 操作後 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient1 = 615 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=6;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[106, 255];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 4, 1, 106, 106], [1, 5, 2, 255, 510]] 操作後 new a_6=615;next state=[255, 615];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[6, 7, 19, 44, 106, 255, 615] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_5 := mul(1, 255) 操作後 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_5 = 255 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient0 := sum(-1, 255) 操作後 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient0 = 254 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_6 := mul(2, 615) 操作後 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_6 = 1230 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient1 := sum(254, 1230) 操作後 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient1 = 1484 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=7;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[255, 615];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 5, 1, 255, 255], [1, 6, 2, 615, 1230]] 操作後 new a_7=1484;next state=[615, 1484];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[6, 7, 19, 44, 106, 255, 615, 1484] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:complete ORIGINAL initial state=[6, 7];actual generated prefix=[6, 7, 19, 44, 106, 255, 615, 1484] 操作後 ANY two sequences with SAME r initials and SAME total rule agree at n=2 by substitution,then at every later n by induction;this determines the requested prefix only 條件：無 歸納先有全部r個初值相等，再由同一單值規則得到下一項相等；重複即可保整個forward prefix。有限生成不證closed form、漸近或解析性。 步驟識別與依賴規則：recurrence_forward_uniqueness_induction_not_analytic_claim · 依賴：G001, S032 ## 逐步反向核對 - S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_6，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=7 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_5，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_5，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_4，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_4，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_3，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_3，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_2，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=3 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_2，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=3 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=2 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=2 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (2, 2, 7, 1484, 是, total_single_valued_rule_plus_all_order_many_initial_values_gives_unique_prefix) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: e080b5114b270127f4bdb825a3a33d912a2da768b35795582f9d98b9c6a5318c - candidate record SHA-256: 2f974413c5ae63f9299eefafb7985671e9887fb6b5c51b35bdfa1c68b20e4cb8 - semantic review receipt SHA-256: 89b8e810eced1a69dbfef28d4b112e829edf156c7905a86e39a3f4958cd75e81 - question-first witness SHA-256: b2e8b769c463242f05172564ae96e310403eae151e1ec30bcb50be3ffe12cfc7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0057.json)