# 第 22538 題：遞迴關係 [返回所在分頁 113](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/113/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-foundations/#q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0063) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0044-22538 · q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0063 ## 原題與已知條件 initial_values[j]=a_j且coefficients[j]乘a_(n-r+j)的明示order-r state update。操作=recurrence-initial-value-uniqueness；資料={"order":2,"coefficients":[1,2],"constant":0,"initial_values":[12,13],"target_n":5}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — initial_values[j]=a_j且coefficients[j]乘a_(n-r+j)的明示order-r state update。操作=recurrence-initial-value-uniqueness；資料={"order":2,"coefficients":[1,2],"constant":0,"initial_values":[12,13],"target_n":5}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-recurrence-relation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-recurrence-relation/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=recurrence-initial-value-uniqueness;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[order, initial_count, target_n, target_value, unique_prefix, certificate] 條件：無 保留原題歷史介面標記，直接列來源欄序，不需JavaScript。tag不是額外證據，固定No依原聲稱範圍解讀；排序輔助只處理協定，不是數學oracle。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL order=2;oldest-to-newest coefficients=[1, 2];constant=0;ALL initial a_0..a_(r-1)=[12, 13] 操作後 for EVERY n>=2,a_n=constant+sum_j coefficients[j]*a_(n-r+j);current prefix length=2;forward rule is total and single-valued 條件：無 先固定r個初值與coefficient的oldest-to-newest角色；已知前r項時，每個下一項只有一個值。這是forward定義，不是closed form或收斂聲稱。 步驟識別與依賴規則：recurrence_complete_initial_state_and_total_single_value_rule · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0 := mul(1, 12) 操作後 recurrence ORIGINAL n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0 = 12 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=2 partial sum after coefficient0 := sum(0, 12) 操作後 recurrence ORIGINAL n=2 partial sum after coefficient0 = 12 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1 := mul(2, 13) 操作後 recurrence ORIGINAL n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1 = 26 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=2 partial sum after coefficient1 := sum(12, 26) 操作後 recurrence ORIGINAL n=2 partial sum after coefficient1 = 38 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=2;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[12, 13];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 0, 1, 12, 12], [1, 1, 2, 13, 26]] 操作後 new a_2=38;next state=[13, 38];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[12, 13, 38] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_1 := mul(1, 13) 操作後 recurrence ORIGINAL n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_1 = 13 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=3 partial sum after coefficient0 := sum(0, 13) 操作後 recurrence ORIGINAL n=3 partial sum after coefficient0 = 13 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_2 := mul(2, 38) 操作後 recurrence ORIGINAL n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_2 = 76 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=3 partial sum after coefficient1 := sum(13, 76) 操作後 recurrence ORIGINAL n=3 partial sum after coefficient1 = 89 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=3;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[13, 38];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 1, 1, 13, 13], [1, 2, 2, 38, 76]] 操作後 new a_3=89;next state=[38, 89];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[12, 13, 38, 89] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_2 := mul(1, 38) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_2 = 38 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient0 := sum(0, 38) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient0 = 38 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_3 := mul(2, 89) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_3 = 178 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient1 := sum(38, 178) 操作後 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient1 = 216 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=4;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[38, 89];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 2, 1, 38, 38], [1, 3, 2, 89, 178]] 操作後 new a_4=216;next state=[89, 216];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[12, 13, 38, 89, 216] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_3 := mul(1, 89) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_3 = 89 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient0 := sum(0, 89) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient0 = 89 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_4 := mul(2, 216) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_4 = 432 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient1 := sum(89, 432) 操作後 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient1 = 521 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:ORIGINAL target n=5;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[89, 216];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 3, 1, 89, 89], [1, 4, 2, 216, 432]] 操作後 new a_5=521;next state=[216, 521];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[12, 13, 38, 89, 216, 521] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 recurrence ORIGINAL:complete ORIGINAL initial state=[12, 13];actual generated prefix=[12, 13, 38, 89, 216, 521] 操作後 ANY two sequences with SAME r initials and SAME total rule agree at n=2 by substitution,then at every later n by induction;this determines the requested prefix only 條件：無 歸納先有全部r個初值相等，再由同一單值規則得到下一項相等；重複即可保整個forward prefix。有限生成不證closed form、漸近或解析性。 步驟識別與依賴規則：recurrence_forward_uniqueness_induction_not_analytic_claim · 依賴：G001, S022 ## 逐步反向核對 - S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_4，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_3，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_3，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_2，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=3 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_2，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=3 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=2 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=2 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence ORIGINAL n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (2, 2, 5, 521, 是, total_single_valued_rule_plus_all_order_many_initial_values_gives_unique_prefix) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 00e8c019b751162915b6452e94ea70c2170c3b8378f2469f94a958764261f2e4 - candidate record SHA-256: 0cd1ea61a9b516c2c8be1d29ff3bb66c1d34b5594e92d645063f0ad65c1bde76 - semantic review receipt SHA-256: 89b8e810eced1a69dbfef28d4b112e829edf156c7905a86e39a3f4958cd75e81 - question-first witness SHA-256: b2e8b769c463242f05172564ae96e310403eae151e1ec30bcb50be3ffe12cfc7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0063.json)