# 第 22559 題：遞迴關係 [返回所在分頁 113](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/113/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-foundations/#q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0084) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0044-22559 · q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0084 ## 原題與已知條件 initial_values[j]=a_j且coefficients[j]乘a_(n-r+j)的明示order-r state update。操作=recurrence-missing-initial-boundary；資料={"coefficients":[3,5],"constant":0,"first_initial":8,"second_left":9,"second_right":10,"target_n":8}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — initial_values[j]=a_j且coefficients[j]乘a_(n-r+j)的明示order-r state update。操作=recurrence-missing-initial-boundary；資料={"coefficients":[3,5],"constant":0,"first_initial":8,"second_left":9,"second_right":10,"target_n":8}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-recurrence-relation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-recurrence-relation/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=recurrence-missing-initial-boundary;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[first_initial, second_left, second_right, left_prefix, right_prefix, prefixes_differ, one_initial_uniqueness_claim, boundary] 條件：無 保留原題歷史介面標記，直接列來源欄序，不需JavaScript。tag不是額外證據，固定No依原聲稱範圍解讀；排序輔助只處理協定，不是數學oracle。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 recurrence LEFT completion:ORIGINAL order=2;oldest-to-newest coefficients=[3, 5];constant=0;ALL initial a_0..a_(r-1)=[8, 9] 操作後 for EVERY n>=2,a_n=constant+sum_j coefficients[j]*a_(n-r+j);current prefix length=2;forward rule is total and single-valued 條件：無 先固定r個初值與coefficient的oldest-to-newest角色；已知前r項時，每個下一項只有一個值。這是forward定義，不是closed form或收斂聲稱。 步驟識別與依賴規則：recurrence_complete_initial_state_and_total_single_value_rule · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0 := mul(3, 8) 操作後 recurrence LEFT completion n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0 = 24 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=2 partial sum after coefficient0 := sum(0, 24) 操作後 recurrence LEFT completion n=2 partial sum after coefficient0 = 24 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1 := mul(5, 9) 操作後 recurrence LEFT completion n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1 = 45 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=2 partial sum after coefficient1 := sum(24, 45) 操作後 recurrence LEFT completion n=2 partial sum after coefficient1 = 69 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 recurrence LEFT completion:ORIGINAL target n=2;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[8, 9];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 0, 3, 8, 24], [1, 1, 5, 9, 45]] 操作後 new a_2=69;next state=[9, 69];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[8, 9, 69] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_1 := mul(3, 9) 操作後 recurrence LEFT completion n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_1 = 27 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=3 partial sum after coefficient0 := sum(0, 27) 操作後 recurrence LEFT completion n=3 partial sum after coefficient0 = 27 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_2 := mul(5, 69) 操作後 recurrence LEFT completion n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_2 = 345 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=3 partial sum after coefficient1 := sum(27, 345) 操作後 recurrence LEFT completion n=3 partial sum after coefficient1 = 372 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 recurrence LEFT completion:ORIGINAL target n=3;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[9, 69];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 1, 3, 9, 27], [1, 2, 5, 69, 345]] 操作後 new a_3=372;next state=[69, 372];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[8, 9, 69, 372] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_2 := mul(3, 69) 操作後 recurrence LEFT completion n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_2 = 207 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=4 partial sum after coefficient0 := sum(0, 207) 操作後 recurrence LEFT completion n=4 partial sum after coefficient0 = 207 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_3 := mul(5, 372) 操作後 recurrence LEFT completion n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_3 = 1860 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=4 partial sum after coefficient1 := sum(207, 1860) 操作後 recurrence LEFT completion n=4 partial sum after coefficient1 = 2067 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 recurrence LEFT completion:ORIGINAL target n=4;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[69, 372];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 2, 3, 69, 207], [1, 3, 5, 372, 1860]] 操作後 new a_4=2067;next state=[372, 2067];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[8, 9, 69, 372, 2067] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_3 := mul(3, 372) 操作後 recurrence LEFT completion n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_3 = 1116 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=5 partial sum after coefficient0 := sum(0, 1116) 操作後 recurrence LEFT completion n=5 partial sum after coefficient0 = 1116 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_4 := mul(5, 2067) 操作後 recurrence LEFT completion n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_4 = 10335 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=5 partial sum after coefficient1 := sum(1116, 10335) 操作後 recurrence LEFT completion n=5 partial sum after coefficient1 = 11451 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 recurrence LEFT completion:ORIGINAL target n=5;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[372, 2067];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 3, 3, 372, 1116], [1, 4, 5, 2067, 10335]] 操作後 new a_5=11451;next state=[2067, 11451];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[8, 9, 69, 372, 2067, 11451] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_4 := mul(3, 2067) 操作後 recurrence LEFT completion n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_4 = 6201 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=6 partial sum after coefficient0 := sum(0, 6201) 操作後 recurrence LEFT completion n=6 partial sum after coefficient0 = 6201 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_5 := mul(5, 11451) 操作後 recurrence LEFT completion n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_5 = 57255 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=6 partial sum after coefficient1 := sum(6201, 57255) 操作後 recurrence LEFT completion n=6 partial sum after coefficient1 = 63456 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 recurrence LEFT completion:ORIGINAL target n=6;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[2067, 11451];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 4, 3, 2067, 6201], [1, 5, 5, 11451, 57255]] 操作後 new a_6=63456;next state=[11451, 63456];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[8, 9, 69, 372, 2067, 11451, 63456] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_5 := mul(3, 11451) 操作後 recurrence LEFT completion n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_5 = 34353 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=7 partial sum after coefficient0 := sum(0, 34353) 操作後 recurrence LEFT completion n=7 partial sum after coefficient0 = 34353 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_6 := mul(5, 63456) 操作後 recurrence LEFT completion n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_6 = 317280 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=7 partial sum after coefficient1 := sum(34353, 317280) 操作後 recurrence LEFT completion n=7 partial sum after coefficient1 = 351633 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 recurrence LEFT completion:ORIGINAL target n=7;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[11451, 63456];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 5, 3, 11451, 34353], [1, 6, 5, 63456, 317280]] 操作後 new a_7=351633;next state=[63456, 351633];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[8, 9, 69, 372, 2067, 11451, 63456, 351633] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=8 ORIGINAL coefficient0 times a_6 := mul(3, 63456) 操作後 recurrence LEFT completion n=8 ORIGINAL coefficient0 times a_6 = 190368 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=8 partial sum after coefficient0 := sum(0, 190368) 操作後 recurrence LEFT completion n=8 partial sum after coefficient0 = 190368 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=8 ORIGINAL coefficient1 times a_7 := mul(5, 351633) 操作後 recurrence LEFT completion n=8 ORIGINAL coefficient1 times a_7 = 1758165 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=8 partial sum after coefficient1 := sum(190368, 1758165) 操作後 recurrence LEFT completion n=8 partial sum after coefficient1 = 1948533 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 recurrence LEFT completion:ORIGINAL target n=8;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[63456, 351633];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 6, 3, 63456, 190368], [1, 7, 5, 351633, 1758165]] 操作後 new a_8=1948533;next state=[351633, 1948533];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[8, 9, 69, 372, 2067, 11451, 63456, 351633, 1948533] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 recurrence LEFT completion:complete ORIGINAL initial state=[8, 9];actual generated prefix=[8, 9, 69, 372, 2067, 11451, 63456, 351633, 1948533] 操作後 ANY two sequences with SAME r initials and SAME total rule agree at n=2 by substitution,then at every later n by induction;this determines the requested prefix only 條件：無 歸納先有全部r個初值相等，再由同一單值規則得到下一項相等；重複即可保整個forward prefix。有限生成不證closed form、漸近或解析性。 步驟識別與依賴規則：recurrence_forward_uniqueness_induction_not_analytic_claim · 依賴：G001, S037 S039 · implies操作前 recurrence RIGHT completion:ORIGINAL order=2;oldest-to-newest coefficients=[3, 5];constant=0;ALL initial a_0..a_(r-1)=[8, 10] 操作後 for EVERY n>=2,a_n=constant+sum_j coefficients[j]*a_(n-r+j);current prefix length=2;forward rule is total and single-valued 條件：無 先固定r個初值與coefficient的oldest-to-newest角色；已知前r項時，每個下一項只有一個值。這是forward定義，不是closed form或收斂聲稱。 步驟識別與依賴規則：recurrence_complete_initial_state_and_total_single_value_rule · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0 := mul(3, 8) 操作後 recurrence RIGHT completion n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0 = 24 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=2 partial sum after coefficient0 := sum(0, 24) 操作後 recurrence RIGHT completion n=2 partial sum after coefficient0 = 24 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1 := mul(5, 10) 操作後 recurrence RIGHT completion n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1 = 50 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=2 partial sum after coefficient1 := sum(24, 50) 操作後 recurrence RIGHT completion n=2 partial sum after coefficient1 = 74 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 recurrence RIGHT completion:ORIGINAL target n=2;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[8, 10];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 0, 3, 8, 24], [1, 1, 5, 10, 50]] 操作後 new a_2=74;next state=[10, 74];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[8, 10, 74] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_1 := mul(3, 10) 操作後 recurrence RIGHT completion n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_1 = 30 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=3 partial sum after coefficient0 := sum(0, 30) 操作後 recurrence RIGHT completion n=3 partial sum after coefficient0 = 30 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_2 := mul(5, 74) 操作後 recurrence RIGHT completion n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_2 = 370 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=3 partial sum after coefficient1 := sum(30, 370) 操作後 recurrence RIGHT completion n=3 partial sum after coefficient1 = 400 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · implies操作前 recurrence RIGHT completion:ORIGINAL target n=3;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[10, 74];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 1, 3, 10, 30], [1, 2, 5, 74, 370]] 操作後 new a_3=400;next state=[74, 400];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[8, 10, 74, 400] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_2 := mul(3, 74) 操作後 recurrence RIGHT completion n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_2 = 222 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=4 partial sum after coefficient0 := sum(0, 222) 操作後 recurrence RIGHT completion n=4 partial sum after coefficient0 = 222 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_3 := mul(5, 400) 操作後 recurrence RIGHT completion n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_3 = 2000 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=4 partial sum after coefficient1 := sum(222, 2000) 操作後 recurrence RIGHT completion n=4 partial sum after coefficient1 = 2222 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · implies操作前 recurrence RIGHT completion:ORIGINAL target n=4;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[74, 400];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 2, 3, 74, 222], [1, 3, 5, 400, 2000]] 操作後 new a_4=2222;next state=[400, 2222];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[8, 10, 74, 400, 2222] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_3 := mul(3, 400) 操作後 recurrence RIGHT completion n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_3 = 1200 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=5 partial sum after coefficient0 := sum(0, 1200) 操作後 recurrence RIGHT completion n=5 partial sum after coefficient0 = 1200 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_4 := mul(5, 2222) 操作後 recurrence RIGHT completion n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_4 = 11110 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=5 partial sum after coefficient1 := sum(1200, 11110) 操作後 recurrence RIGHT completion n=5 partial sum after coefficient1 = 12310 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · implies操作前 recurrence RIGHT completion:ORIGINAL target n=5;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[400, 2222];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 3, 3, 400, 1200], [1, 4, 5, 2222, 11110]] 操作後 new a_5=12310;next state=[2222, 12310];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[8, 10, 74, 400, 2222, 12310] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S058 S060 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_4 := mul(3, 2222) 操作後 recurrence RIGHT completion n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_4 = 6666 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=6 partial sum after coefficient0 := sum(0, 6666) 操作後 recurrence RIGHT completion n=6 partial sum after coefficient0 = 6666 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_5 := mul(5, 12310) 操作後 recurrence RIGHT completion n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_5 = 61550 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=6 partial sum after coefficient1 := sum(6666, 61550) 操作後 recurrence RIGHT completion n=6 partial sum after coefficient1 = 68216 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · implies操作前 recurrence RIGHT completion:ORIGINAL target n=6;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[2222, 12310];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 4, 3, 2222, 6666], [1, 5, 5, 12310, 61550]] 操作後 new a_6=68216;next state=[12310, 68216];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[8, 10, 74, 400, 2222, 12310, 68216] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S063 S065 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_5 := mul(3, 12310) 操作後 recurrence RIGHT completion n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_5 = 36930 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064 S066 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=7 partial sum after coefficient0 := sum(0, 36930) 操作後 recurrence RIGHT completion n=7 partial sum after coefficient0 = 36930 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_6 := mul(5, 68216) 操作後 recurrence RIGHT completion n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_6 = 341080 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=7 partial sum after coefficient1 := sum(36930, 341080) 操作後 recurrence RIGHT completion n=7 partial sum after coefficient1 = 378010 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067 S069 · implies操作前 recurrence RIGHT completion:ORIGINAL target n=7;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[12310, 68216];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 5, 3, 12310, 36930], [1, 6, 5, 68216, 341080]] 操作後 new a_7=378010;next state=[68216, 378010];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[8, 10, 74, 400, 2222, 12310, 68216, 378010] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S068 S070 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=8 ORIGINAL coefficient0 times a_6 := mul(3, 68216) 操作後 recurrence RIGHT completion n=8 ORIGINAL coefficient0 times a_6 = 204648 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S069 S071 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=8 partial sum after coefficient0 := sum(0, 204648) 操作後 recurrence RIGHT completion n=8 partial sum after coefficient0 = 204648 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070 S072 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=8 ORIGINAL coefficient1 times a_7 := mul(5, 378010) 操作後 recurrence RIGHT completion n=8 ORIGINAL coefficient1 times a_7 = 1890050 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071 S073 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=8 partial sum after coefficient1 := sum(204648, 1890050) 操作後 recurrence RIGHT completion n=8 partial sum after coefficient1 = 2094698 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S072 S074 · implies操作前 recurrence RIGHT completion:ORIGINAL target n=8;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[68216, 378010];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 6, 3, 68216, 204648], [1, 7, 5, 378010, 1890050]] 操作後 new a_8=2094698;next state=[378010, 2094698];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[8, 10, 74, 400, 2222, 12310, 68216, 378010, 2094698] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S073 S075 · implies操作前 recurrence RIGHT completion:complete ORIGINAL initial state=[8, 10];actual generated prefix=[8, 10, 74, 400, 2222, 12310, 68216, 378010, 2094698] 操作後 ANY two sequences with SAME r initials and SAME total rule agree at n=2 by substitution,then at every later n by induction;this determines the requested prefix only 條件：無 歸納先有全部r個初值相等，再由同一單值規則得到下一項相等；重複即可保整個forward prefix。有限生成不證closed form、漸近或解析性。 步驟識別與依賴規則：recurrence_forward_uniqueness_induction_not_analytic_claim · 依賴：G001, S074 S076 · implies操作前 ORIGINAL only known a_0=8;different completions a_1=9 and10;target=8 操作後 WHOLE prefixes including initials differ=是;actual targets=[1948533, 2094698] MAY coincide;one_initial_uniqueness_claim fixed No 條件：無 兩份prefix在a1已不同，所以整個prefix不唯一；不要求指定target仍不同。最後No是不由一個初值給完整order2序列唯一性，不否定前面的prefixes_differ。 步驟識別與依賴規則：recurrence_missing_initial_WHOLE_prefix_not_target_difference · 依賴：G001, S075 ## 逐步反向核對 - S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S075 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=8 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=8 ORIGINAL coefficient1 times a_7，不以小數近似替代。 - S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=8 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=8 ORIGINAL coefficient0 times a_6，不以小數近似替代。 - S069 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=7 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_6，不以小數近似替代。 - S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=7 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_5，不以小數近似替代。 - S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=6 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_5，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=6 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_4，不以小數近似替代。 - S059 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=5 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_4，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=5 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_3，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=4 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_3，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=4 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_2，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=3 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_2，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=3 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_1，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=2 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=2 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=8 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=8 ORIGINAL coefficient1 times a_7，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=8 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=8 ORIGINAL coefficient0 times a_6，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=7 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_6，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=7 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_5，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=6 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_5，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=6 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_4，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=5 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_4，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=5 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_3，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=4 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_3，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=4 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_2，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=3 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_2，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=3 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=2 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=2 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (8, 9, 10, [8, 9, 69, 372, 2067, 11451, 63456, 351633, 1948533], [8, 10, 74, 400, 2222, 12310, 68216, 378010, 2094698], 是, 否, order_two_recurrence_with_only_one_initial_value_is_not_unique) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 7eaccb5a345ecce0b9559133667f7ad0374a722e698280659217095259b4091a - candidate record SHA-256: a6ac88699bb29f9d5286d3fcf827d9f265cf8ffa3348416c449c56a3a28a436c - semantic review receipt SHA-256: 89b8e810eced1a69dbfef28d4b112e829edf156c7905a86e39a3f4958cd75e81 - question-first witness SHA-256: b2e8b769c463242f05172564ae96e310403eae151e1ec30bcb50be3ffe12cfc7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0084.json)