# 第 22564 題：遞迴關係 [返回所在分頁 113](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/113/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-foundations/#q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0089) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0044-22564 · q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0089 ## 原題與已知條件 initial_values[j]=a_j且coefficients[j]乘a_(n-r+j)的明示order-r state update。操作=recurrence-missing-initial-boundary；資料={"coefficients":[2,5],"constant":1,"first_initial":13,"second_left":14,"second_right":15,"target_n":7}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — initial_values[j]=a_j且coefficients[j]乘a_(n-r+j)的明示order-r state update。操作=recurrence-missing-initial-boundary；資料={"coefficients":[2,5],"constant":1,"first_initial":13,"second_left":14,"second_right":15,"target_n":7}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-recurrence-relation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-recurrence-relation/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=recurrence-missing-initial-boundary;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[first_initial, second_left, second_right, left_prefix, right_prefix, prefixes_differ, one_initial_uniqueness_claim, boundary] 條件：無 保留原題歷史介面標記，直接列來源欄序，不需JavaScript。tag不是額外證據，固定No依原聲稱範圍解讀；排序輔助只處理協定，不是數學oracle。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 recurrence LEFT completion:ORIGINAL order=2;oldest-to-newest coefficients=[2, 5];constant=1;ALL initial a_0..a_(r-1)=[13, 14] 操作後 for EVERY n>=2,a_n=constant+sum_j coefficients[j]*a_(n-r+j);current prefix length=2;forward rule is total and single-valued 條件：無 先固定r個初值與coefficient的oldest-to-newest角色；已知前r項時，每個下一項只有一個值。這是forward定義，不是closed form或收斂聲稱。 步驟識別與依賴規則：recurrence_complete_initial_state_and_total_single_value_rule · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0 := mul(2, 13) 操作後 recurrence LEFT completion n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0 = 26 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=2 partial sum after coefficient0 := sum(1, 26) 操作後 recurrence LEFT completion n=2 partial sum after coefficient0 = 27 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1 := mul(5, 14) 操作後 recurrence LEFT completion n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1 = 70 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=2 partial sum after coefficient1 := sum(27, 70) 操作後 recurrence LEFT completion n=2 partial sum after coefficient1 = 97 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 recurrence LEFT completion:ORIGINAL target n=2;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[13, 14];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 0, 2, 13, 26], [1, 1, 5, 14, 70]] 操作後 new a_2=97;next state=[14, 97];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[13, 14, 97] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_1 := mul(2, 14) 操作後 recurrence LEFT completion n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_1 = 28 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=3 partial sum after coefficient0 := sum(1, 28) 操作後 recurrence LEFT completion n=3 partial sum after coefficient0 = 29 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_2 := mul(5, 97) 操作後 recurrence LEFT completion n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_2 = 485 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=3 partial sum after coefficient1 := sum(29, 485) 操作後 recurrence LEFT completion n=3 partial sum after coefficient1 = 514 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 recurrence LEFT completion:ORIGINAL target n=3;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[14, 97];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 1, 2, 14, 28], [1, 2, 5, 97, 485]] 操作後 new a_3=514;next state=[97, 514];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[13, 14, 97, 514] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_2 := mul(2, 97) 操作後 recurrence LEFT completion n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_2 = 194 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=4 partial sum after coefficient0 := sum(1, 194) 操作後 recurrence LEFT completion n=4 partial sum after coefficient0 = 195 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_3 := mul(5, 514) 操作後 recurrence LEFT completion n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_3 = 2570 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=4 partial sum after coefficient1 := sum(195, 2570) 操作後 recurrence LEFT completion n=4 partial sum after coefficient1 = 2765 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 recurrence LEFT completion:ORIGINAL target n=4;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[97, 514];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 2, 2, 97, 194], [1, 3, 5, 514, 2570]] 操作後 new a_4=2765;next state=[514, 2765];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[13, 14, 97, 514, 2765] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_3 := mul(2, 514) 操作後 recurrence LEFT completion n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_3 = 1028 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=5 partial sum after coefficient0 := sum(1, 1028) 操作後 recurrence LEFT completion n=5 partial sum after coefficient0 = 1029 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_4 := mul(5, 2765) 操作後 recurrence LEFT completion n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_4 = 13825 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=5 partial sum after coefficient1 := sum(1029, 13825) 操作後 recurrence LEFT completion n=5 partial sum after coefficient1 = 14854 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 recurrence LEFT completion:ORIGINAL target n=5;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[514, 2765];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 3, 2, 514, 1028], [1, 4, 5, 2765, 13825]] 操作後 new a_5=14854;next state=[2765, 14854];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[13, 14, 97, 514, 2765, 14854] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_4 := mul(2, 2765) 操作後 recurrence LEFT completion n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_4 = 5530 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=6 partial sum after coefficient0 := sum(1, 5530) 操作後 recurrence LEFT completion n=6 partial sum after coefficient0 = 5531 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_5 := mul(5, 14854) 操作後 recurrence LEFT completion n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_5 = 74270 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=6 partial sum after coefficient1 := sum(5531, 74270) 操作後 recurrence LEFT completion n=6 partial sum after coefficient1 = 79801 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 recurrence LEFT completion:ORIGINAL target n=6;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[2765, 14854];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 4, 2, 2765, 5530], [1, 5, 5, 14854, 74270]] 操作後 new a_6=79801;next state=[14854, 79801];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[13, 14, 97, 514, 2765, 14854, 79801] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_5 := mul(2, 14854) 操作後 recurrence LEFT completion n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_5 = 29708 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=7 partial sum after coefficient0 := sum(1, 29708) 操作後 recurrence LEFT completion n=7 partial sum after coefficient0 = 29709 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_6 := mul(5, 79801) 操作後 recurrence LEFT completion n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_6 = 399005 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=7 partial sum after coefficient1 := sum(29709, 399005) 操作後 recurrence LEFT completion n=7 partial sum after coefficient1 = 428714 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 recurrence LEFT completion:ORIGINAL target n=7;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[14854, 79801];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 5, 2, 14854, 29708], [1, 6, 5, 79801, 399005]] 操作後 new a_7=428714;next state=[79801, 428714];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[13, 14, 97, 514, 2765, 14854, 79801, 428714] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 recurrence LEFT completion:complete ORIGINAL initial state=[13, 14];actual generated prefix=[13, 14, 97, 514, 2765, 14854, 79801, 428714] 操作後 ANY two sequences with SAME r initials and SAME total rule agree at n=2 by substitution,then at every later n by induction;this determines the requested prefix only 條件：無 歸納先有全部r個初值相等，再由同一單值規則得到下一項相等；重複即可保整個forward prefix。有限生成不證closed form、漸近或解析性。 步驟識別與依賴規則：recurrence_forward_uniqueness_induction_not_analytic_claim · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 recurrence RIGHT completion:ORIGINAL order=2;oldest-to-newest coefficients=[2, 5];constant=1;ALL initial a_0..a_(r-1)=[13, 15] 操作後 for EVERY n>=2,a_n=constant+sum_j coefficients[j]*a_(n-r+j);current prefix length=2;forward rule is total and single-valued 條件：無 先固定r個初值與coefficient的oldest-to-newest角色；已知前r項時，每個下一項只有一個值。這是forward定義，不是closed form或收斂聲稱。 步驟識別與依賴規則：recurrence_complete_initial_state_and_total_single_value_rule · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0 := mul(2, 13) 操作後 recurrence RIGHT completion n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0 = 26 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=2 partial sum after coefficient0 := sum(1, 26) 操作後 recurrence RIGHT completion n=2 partial sum after coefficient0 = 27 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1 := mul(5, 15) 操作後 recurrence RIGHT completion n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1 = 75 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=2 partial sum after coefficient1 := sum(27, 75) 操作後 recurrence RIGHT completion n=2 partial sum after coefficient1 = 102 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · implies操作前 recurrence RIGHT completion:ORIGINAL target n=2;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[13, 15];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 0, 2, 13, 26], [1, 1, 5, 15, 75]] 操作後 new a_2=102;next state=[15, 102];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[13, 15, 102] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_1 := mul(2, 15) 操作後 recurrence RIGHT completion n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_1 = 30 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=3 partial sum after coefficient0 := sum(1, 30) 操作後 recurrence RIGHT completion n=3 partial sum after coefficient0 = 31 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_2 := mul(5, 102) 操作後 recurrence RIGHT completion n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_2 = 510 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=3 partial sum after coefficient1 := sum(31, 510) 操作後 recurrence RIGHT completion n=3 partial sum after coefficient1 = 541 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 recurrence RIGHT completion:ORIGINAL target n=3;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[15, 102];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 1, 2, 15, 30], [1, 2, 5, 102, 510]] 操作後 new a_3=541;next state=[102, 541];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[13, 15, 102, 541] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_2 := mul(2, 102) 操作後 recurrence RIGHT completion n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_2 = 204 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=4 partial sum after coefficient0 := sum(1, 204) 操作後 recurrence RIGHT completion n=4 partial sum after coefficient0 = 205 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_3 := mul(5, 541) 操作後 recurrence RIGHT completion n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_3 = 2705 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=4 partial sum after coefficient1 := sum(205, 2705) 操作後 recurrence RIGHT completion n=4 partial sum after coefficient1 = 2910 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · implies操作前 recurrence RIGHT completion:ORIGINAL target n=4;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[102, 541];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 2, 2, 102, 204], [1, 3, 5, 541, 2705]] 操作後 new a_4=2910;next state=[541, 2910];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[13, 15, 102, 541, 2910] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_3 := mul(2, 541) 操作後 recurrence RIGHT completion n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_3 = 1082 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=5 partial sum after coefficient0 := sum(1, 1082) 操作後 recurrence RIGHT completion n=5 partial sum after coefficient0 = 1083 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_4 := mul(5, 2910) 操作後 recurrence RIGHT completion n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_4 = 14550 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=5 partial sum after coefficient1 := sum(1083, 14550) 操作後 recurrence RIGHT completion n=5 partial sum after coefficient1 = 15633 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · implies操作前 recurrence RIGHT completion:ORIGINAL target n=5;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[541, 2910];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 3, 2, 541, 1082], [1, 4, 5, 2910, 14550]] 操作後 new a_5=15633;next state=[2910, 15633];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[13, 15, 102, 541, 2910, 15633] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_4 := mul(2, 2910) 操作後 recurrence RIGHT completion n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_4 = 5820 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=6 partial sum after coefficient0 := sum(1, 5820) 操作後 recurrence RIGHT completion n=6 partial sum after coefficient0 = 5821 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_5 := mul(5, 15633) 操作後 recurrence RIGHT completion n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_5 = 78165 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=6 partial sum after coefficient1 := sum(5821, 78165) 操作後 recurrence RIGHT completion n=6 partial sum after coefficient1 = 83986 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · implies操作前 recurrence RIGHT completion:ORIGINAL target n=6;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[2910, 15633];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 4, 2, 2910, 5820], [1, 5, 5, 15633, 78165]] 操作後 new a_6=83986;next state=[15633, 83986];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[13, 15, 102, 541, 2910, 15633, 83986] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S058 S060 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_5 := mul(2, 15633) 操作後 recurrence RIGHT completion n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_5 = 31266 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=7 partial sum after coefficient0 := sum(1, 31266) 操作後 recurrence RIGHT completion n=7 partial sum after coefficient0 = 31267 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_6 := mul(5, 83986) 操作後 recurrence RIGHT completion n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_6 = 419930 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=7 partial sum after coefficient1 := sum(31267, 419930) 操作後 recurrence RIGHT completion n=7 partial sum after coefficient1 = 451197 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · implies操作前 recurrence RIGHT completion:ORIGINAL target n=7;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[15633, 83986];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 5, 2, 15633, 31266], [1, 6, 5, 83986, 419930]] 操作後 new a_7=451197;next state=[83986, 451197];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[13, 15, 102, 541, 2910, 15633, 83986, 451197] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S063 S065 · implies操作前 recurrence RIGHT completion:complete ORIGINAL initial state=[13, 15];actual generated prefix=[13, 15, 102, 541, 2910, 15633, 83986, 451197] 操作後 ANY two sequences with SAME r initials and SAME total rule agree at n=2 by substitution,then at every later n by induction;this determines the requested prefix only 條件：無 歸納先有全部r個初值相等，再由同一單值規則得到下一項相等；重複即可保整個forward prefix。有限生成不證closed form、漸近或解析性。 步驟識別與依賴規則：recurrence_forward_uniqueness_induction_not_analytic_claim · 依賴：G001, S064 S066 · implies操作前 ORIGINAL only known a_0=13;different completions a_1=14 and15;target=7 操作後 WHOLE prefixes including initials differ=是;actual targets=[428714, 451197] MAY coincide;one_initial_uniqueness_claim fixed No 條件：無 兩份prefix在a1已不同，所以整個prefix不唯一；不要求指定target仍不同。最後No是不由一個初值給完整order2序列唯一性，不否定前面的prefixes_differ。 步驟識別與依賴規則：recurrence_missing_initial_WHOLE_prefix_not_target_difference · 依賴：G001, S065 ## 逐步反向核對 - S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=7 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_6，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=7 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_5，不以小數近似替代。 - S059 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=6 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_5，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=6 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_4，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=5 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_4，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=5 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_3，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=4 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_3，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=4 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_2，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=3 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_2，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=3 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_1，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=2 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=2 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=7 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_6，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=7 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_5，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=6 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_5，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=6 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_4，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=5 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_4，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=5 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_3，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=4 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_3，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=4 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_2，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=3 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_2，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=3 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=2 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=2 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (13, 14, 15, [13, 14, 97, 514, 2765, 14854, 79801, 428714], [13, 15, 102, 541, 2910, 15633, 83986, 451197], 是, 否, order_two_recurrence_with_only_one_initial_value_is_not_unique) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: a6347cad8727c4cc80f2c7bc1d248c1a911588de771497d7cfbef2349286c6f8 - candidate record SHA-256: e99232909e17f7af7ace54b45286267a272001a0be83f0482f2e2c02cadc1ac6 - semantic review receipt SHA-256: 89b8e810eced1a69dbfef28d4b112e829edf156c7905a86e39a3f4958cd75e81 - question-first witness SHA-256: b2e8b769c463242f05172564ae96e310403eae151e1ec30bcb50be3ffe12cfc7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0089.json)