# 第 22565 題：遞迴關係 [返回所在分頁 113](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/113/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-foundations/#q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0090) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0044-22565 · q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0090 ## 原題與已知條件 initial_values[j]=a_j且coefficients[j]乘a_(n-r+j)的明示order-r state update。操作=recurrence-missing-initial-boundary；資料={"coefficients":[3,6],"constant":2,"first_initial":14,"second_left":15,"second_right":16,"target_n":8}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — initial_values[j]=a_j且coefficients[j]乘a_(n-r+j)的明示order-r state update。操作=recurrence-missing-initial-boundary；資料={"coefficients":[3,6],"constant":2,"first_initial":14,"second_left":15,"second_right":16,"target_n":8}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-recurrence-relation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-recurrence-relation/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=recurrence-missing-initial-boundary;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[first_initial, second_left, second_right, left_prefix, right_prefix, prefixes_differ, one_initial_uniqueness_claim, boundary] 條件：無 保留原題歷史介面標記，直接列來源欄序，不需JavaScript。tag不是額外證據，固定No依原聲稱範圍解讀；排序輔助只處理協定，不是數學oracle。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 recurrence LEFT completion:ORIGINAL order=2;oldest-to-newest coefficients=[3, 6];constant=2;ALL initial a_0..a_(r-1)=[14, 15] 操作後 for EVERY n>=2,a_n=constant+sum_j coefficients[j]*a_(n-r+j);current prefix length=2;forward rule is total and single-valued 條件：無 先固定r個初值與coefficient的oldest-to-newest角色；已知前r項時，每個下一項只有一個值。這是forward定義，不是closed form或收斂聲稱。 步驟識別與依賴規則：recurrence_complete_initial_state_and_total_single_value_rule · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0 := mul(3, 14) 操作後 recurrence LEFT completion n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0 = 42 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=2 partial sum after coefficient0 := sum(2, 42) 操作後 recurrence LEFT completion n=2 partial sum after coefficient0 = 44 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1 := mul(6, 15) 操作後 recurrence LEFT completion n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1 = 90 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=2 partial sum after coefficient1 := sum(44, 90) 操作後 recurrence LEFT completion n=2 partial sum after coefficient1 = 134 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 recurrence LEFT completion:ORIGINAL target n=2;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[14, 15];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 0, 3, 14, 42], [1, 1, 6, 15, 90]] 操作後 new a_2=134;next state=[15, 134];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[14, 15, 134] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_1 := mul(3, 15) 操作後 recurrence LEFT completion n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_1 = 45 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=3 partial sum after coefficient0 := sum(2, 45) 操作後 recurrence LEFT completion n=3 partial sum after coefficient0 = 47 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_2 := mul(6, 134) 操作後 recurrence LEFT completion n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_2 = 804 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=3 partial sum after coefficient1 := sum(47, 804) 操作後 recurrence LEFT completion n=3 partial sum after coefficient1 = 851 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 recurrence LEFT completion:ORIGINAL target n=3;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[15, 134];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 1, 3, 15, 45], [1, 2, 6, 134, 804]] 操作後 new a_3=851;next state=[134, 851];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[14, 15, 134, 851] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_2 := mul(3, 134) 操作後 recurrence LEFT completion n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_2 = 402 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=4 partial sum after coefficient0 := sum(2, 402) 操作後 recurrence LEFT completion n=4 partial sum after coefficient0 = 404 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_3 := mul(6, 851) 操作後 recurrence LEFT completion n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_3 = 5106 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=4 partial sum after coefficient1 := sum(404, 5106) 操作後 recurrence LEFT completion n=4 partial sum after coefficient1 = 5510 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 recurrence LEFT completion:ORIGINAL target n=4;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[134, 851];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 2, 3, 134, 402], [1, 3, 6, 851, 5106]] 操作後 new a_4=5510;next state=[851, 5510];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[14, 15, 134, 851, 5510] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_3 := mul(3, 851) 操作後 recurrence LEFT completion n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_3 = 2553 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=5 partial sum after coefficient0 := sum(2, 2553) 操作後 recurrence LEFT completion n=5 partial sum after coefficient0 = 2555 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_4 := mul(6, 5510) 操作後 recurrence LEFT completion n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_4 = 33060 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=5 partial sum after coefficient1 := sum(2555, 33060) 操作後 recurrence LEFT completion n=5 partial sum after coefficient1 = 35615 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 recurrence LEFT completion:ORIGINAL target n=5;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[851, 5510];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 3, 3, 851, 2553], [1, 4, 6, 5510, 33060]] 操作後 new a_5=35615;next state=[5510, 35615];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[14, 15, 134, 851, 5510, 35615] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_4 := mul(3, 5510) 操作後 recurrence LEFT completion n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_4 = 16530 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=6 partial sum after coefficient0 := sum(2, 16530) 操作後 recurrence LEFT completion n=6 partial sum after coefficient0 = 16532 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_5 := mul(6, 35615) 操作後 recurrence LEFT completion n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_5 = 213690 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=6 partial sum after coefficient1 := sum(16532, 213690) 操作後 recurrence LEFT completion n=6 partial sum after coefficient1 = 230222 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 recurrence LEFT completion:ORIGINAL target n=6;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[5510, 35615];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 4, 3, 5510, 16530], [1, 5, 6, 35615, 213690]] 操作後 new a_6=230222;next state=[35615, 230222];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[14, 15, 134, 851, 5510, 35615, 230222] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_5 := mul(3, 35615) 操作後 recurrence LEFT completion n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_5 = 106845 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=7 partial sum after coefficient0 := sum(2, 106845) 操作後 recurrence LEFT completion n=7 partial sum after coefficient0 = 106847 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_6 := mul(6, 230222) 操作後 recurrence LEFT completion n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_6 = 1381332 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=7 partial sum after coefficient1 := sum(106847, 1381332) 操作後 recurrence LEFT completion n=7 partial sum after coefficient1 = 1488179 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 recurrence LEFT completion:ORIGINAL target n=7;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[35615, 230222];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 5, 3, 35615, 106845], [1, 6, 6, 230222, 1381332]] 操作後 new a_7=1488179;next state=[230222, 1488179];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[14, 15, 134, 851, 5510, 35615, 230222, 1488179] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=8 ORIGINAL coefficient0 times a_6 := mul(3, 230222) 操作後 recurrence LEFT completion n=8 ORIGINAL coefficient0 times a_6 = 690666 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=8 partial sum after coefficient0 := sum(2, 690666) 操作後 recurrence LEFT completion n=8 partial sum after coefficient0 = 690668 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=8 ORIGINAL coefficient1 times a_7 := mul(6, 1488179) 操作後 recurrence LEFT completion n=8 ORIGINAL coefficient1 times a_7 = 8929074 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 recurrence LEFT completion n=8 partial sum after coefficient1 := sum(690668, 8929074) 操作後 recurrence LEFT completion n=8 partial sum after coefficient1 = 9619742 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 recurrence LEFT completion:ORIGINAL target n=8;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[230222, 1488179];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 6, 3, 230222, 690666], [1, 7, 6, 1488179, 8929074]] 操作後 new a_8=9619742;next state=[1488179, 9619742];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[14, 15, 134, 851, 5510, 35615, 230222, 1488179, 9619742] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 recurrence LEFT completion:complete ORIGINAL initial state=[14, 15];actual generated prefix=[14, 15, 134, 851, 5510, 35615, 230222, 1488179, 9619742] 操作後 ANY two sequences with SAME r initials and SAME total rule agree at n=2 by substitution,then at every later n by induction;this determines the requested prefix only 條件：無 歸納先有全部r個初值相等，再由同一單值規則得到下一項相等；重複即可保整個forward prefix。有限生成不證closed form、漸近或解析性。 步驟識別與依賴規則：recurrence_forward_uniqueness_induction_not_analytic_claim · 依賴：G001, S037 S039 · implies操作前 recurrence RIGHT completion:ORIGINAL order=2;oldest-to-newest coefficients=[3, 6];constant=2;ALL initial a_0..a_(r-1)=[14, 16] 操作後 for EVERY n>=2,a_n=constant+sum_j coefficients[j]*a_(n-r+j);current prefix length=2;forward rule is total and single-valued 條件：無 先固定r個初值與coefficient的oldest-to-newest角色；已知前r項時，每個下一項只有一個值。這是forward定義，不是closed form或收斂聲稱。 步驟識別與依賴規則：recurrence_complete_initial_state_and_total_single_value_rule · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0 := mul(3, 14) 操作後 recurrence RIGHT completion n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0 = 42 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=2 partial sum after coefficient0 := sum(2, 42) 操作後 recurrence RIGHT completion n=2 partial sum after coefficient0 = 44 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1 := mul(6, 16) 操作後 recurrence RIGHT completion n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1 = 96 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=2 partial sum after coefficient1 := sum(44, 96) 操作後 recurrence RIGHT completion n=2 partial sum after coefficient1 = 140 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 recurrence RIGHT completion:ORIGINAL target n=2;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[14, 16];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 0, 3, 14, 42], [1, 1, 6, 16, 96]] 操作後 new a_2=140;next state=[16, 140];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[14, 16, 140] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_1 := mul(3, 16) 操作後 recurrence RIGHT completion n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_1 = 48 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=3 partial sum after coefficient0 := sum(2, 48) 操作後 recurrence RIGHT completion n=3 partial sum after coefficient0 = 50 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_2 := mul(6, 140) 操作後 recurrence RIGHT completion n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_2 = 840 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=3 partial sum after coefficient1 := sum(50, 840) 操作後 recurrence RIGHT completion n=3 partial sum after coefficient1 = 890 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · implies操作前 recurrence RIGHT completion:ORIGINAL target n=3;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[16, 140];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 1, 3, 16, 48], [1, 2, 6, 140, 840]] 操作後 new a_3=890;next state=[140, 890];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[14, 16, 140, 890] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_2 := mul(3, 140) 操作後 recurrence RIGHT completion n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_2 = 420 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=4 partial sum after coefficient0 := sum(2, 420) 操作後 recurrence RIGHT completion n=4 partial sum after coefficient0 = 422 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_3 := mul(6, 890) 操作後 recurrence RIGHT completion n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_3 = 5340 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=4 partial sum after coefficient1 := sum(422, 5340) 操作後 recurrence RIGHT completion n=4 partial sum after coefficient1 = 5762 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · implies操作前 recurrence RIGHT completion:ORIGINAL target n=4;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[140, 890];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 2, 3, 140, 420], [1, 3, 6, 890, 5340]] 操作後 new a_4=5762;next state=[890, 5762];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[14, 16, 140, 890, 5762] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_3 := mul(3, 890) 操作後 recurrence RIGHT completion n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_3 = 2670 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=5 partial sum after coefficient0 := sum(2, 2670) 操作後 recurrence RIGHT completion n=5 partial sum after coefficient0 = 2672 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_4 := mul(6, 5762) 操作後 recurrence RIGHT completion n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_4 = 34572 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=5 partial sum after coefficient1 := sum(2672, 34572) 操作後 recurrence RIGHT completion n=5 partial sum after coefficient1 = 37244 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · implies操作前 recurrence RIGHT completion:ORIGINAL target n=5;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[890, 5762];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 3, 3, 890, 2670], [1, 4, 6, 5762, 34572]] 操作後 new a_5=37244;next state=[5762, 37244];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[14, 16, 140, 890, 5762, 37244] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S058 S060 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_4 := mul(3, 5762) 操作後 recurrence RIGHT completion n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_4 = 17286 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=6 partial sum after coefficient0 := sum(2, 17286) 操作後 recurrence RIGHT completion n=6 partial sum after coefficient0 = 17288 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_5 := mul(6, 37244) 操作後 recurrence RIGHT completion n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_5 = 223464 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=6 partial sum after coefficient1 := sum(17288, 223464) 操作後 recurrence RIGHT completion n=6 partial sum after coefficient1 = 240752 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · implies操作前 recurrence RIGHT completion:ORIGINAL target n=6;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[5762, 37244];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 4, 3, 5762, 17286], [1, 5, 6, 37244, 223464]] 操作後 new a_6=240752;next state=[37244, 240752];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[14, 16, 140, 890, 5762, 37244, 240752] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S063 S065 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_5 := mul(3, 37244) 操作後 recurrence RIGHT completion n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_5 = 111732 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064 S066 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=7 partial sum after coefficient0 := sum(2, 111732) 操作後 recurrence RIGHT completion n=7 partial sum after coefficient0 = 111734 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_6 := mul(6, 240752) 操作後 recurrence RIGHT completion n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_6 = 1444512 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=7 partial sum after coefficient1 := sum(111734, 1444512) 操作後 recurrence RIGHT completion n=7 partial sum after coefficient1 = 1556246 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067 S069 · implies操作前 recurrence RIGHT completion:ORIGINAL target n=7;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[37244, 240752];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 5, 3, 37244, 111732], [1, 6, 6, 240752, 1444512]] 操作後 new a_7=1556246;next state=[240752, 1556246];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[14, 16, 140, 890, 5762, 37244, 240752, 1556246] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S068 S070 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=8 ORIGINAL coefficient0 times a_6 := mul(3, 240752) 操作後 recurrence RIGHT completion n=8 ORIGINAL coefficient0 times a_6 = 722256 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S069 S071 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=8 partial sum after coefficient0 := sum(2, 722256) 操作後 recurrence RIGHT completion n=8 partial sum after coefficient0 = 722258 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070 S072 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=8 ORIGINAL coefficient1 times a_7 := mul(6, 1556246) 操作後 recurrence RIGHT completion n=8 ORIGINAL coefficient1 times a_7 = 9337476 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071 S073 · calculation操作前 recurrence RIGHT completion n=8 partial sum after coefficient1 := sum(722258, 9337476) 操作後 recurrence RIGHT completion n=8 partial sum after coefficient1 = 10059734 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S072 S074 · implies操作前 recurrence RIGHT completion:ORIGINAL target n=8;previous state a_(n-r)..a_(n-1)=[240752, 1556246];ALL [j,source_index,coefficient,value,product] rows=[[0, 6, 3, 240752, 722256], [1, 7, 6, 1556246, 9337476]] 操作後 new a_8=10059734;next state=[1556246, 10059734];drop ONLY oldest state entry then append new scalar;prefix now=[14, 16, 140, 890, 5762, 37244, 240752, 1556246, 10059734] 條件：無 每個coef只乘指定原索引；逐項加constant並核來源安全整數範圍。state左移後append新scalar，不反轉係數或拿已append值回填同一更新。 步驟識別與依賴規則：recurrence_EVERY_state_update_shift_left_append_exact · 依賴：G001, S073 S075 · implies操作前 recurrence RIGHT completion:complete ORIGINAL initial state=[14, 16];actual generated prefix=[14, 16, 140, 890, 5762, 37244, 240752, 1556246, 10059734] 操作後 ANY two sequences with SAME r initials and SAME total rule agree at n=2 by substitution,then at every later n by induction;this determines the requested prefix only 條件：無 歸納先有全部r個初值相等，再由同一單值規則得到下一項相等；重複即可保整個forward prefix。有限生成不證closed form、漸近或解析性。 步驟識別與依賴規則：recurrence_forward_uniqueness_induction_not_analytic_claim · 依賴：G001, S074 S076 · implies操作前 ORIGINAL only known a_0=14;different completions a_1=15 and16;target=8 操作後 WHOLE prefixes including initials differ=是;actual targets=[9619742, 10059734] MAY coincide;one_initial_uniqueness_claim fixed No 條件：無 兩份prefix在a1已不同，所以整個prefix不唯一；不要求指定target仍不同。最後No是不由一個初值給完整order2序列唯一性，不否定前面的prefixes_differ。 步驟識別與依賴規則：recurrence_missing_initial_WHOLE_prefix_not_target_difference · 依賴：G001, S075 ## 逐步反向核對 - S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S075 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=8 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=8 ORIGINAL coefficient1 times a_7，不以小數近似替代。 - S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=8 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=8 ORIGINAL coefficient0 times a_6，不以小數近似替代。 - S069 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=7 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_6，不以小數近似替代。 - S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=7 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_5，不以小數近似替代。 - S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=6 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_5，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=6 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_4，不以小數近似替代。 - S059 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=5 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_4，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=5 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_3，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=4 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_3，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=4 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_2，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=3 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_2，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=3 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_1，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=2 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=2 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence RIGHT completion n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=8 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=8 ORIGINAL coefficient1 times a_7，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=8 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=8 ORIGINAL coefficient0 times a_6，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=7 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=7 ORIGINAL coefficient1 times a_6，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=7 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=7 ORIGINAL coefficient0 times a_5，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=6 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=6 ORIGINAL coefficient1 times a_5，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=6 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=6 ORIGINAL coefficient0 times a_4，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=5 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=5 ORIGINAL coefficient1 times a_4，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=5 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=5 ORIGINAL coefficient0 times a_3，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=4 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=4 ORIGINAL coefficient1 times a_3，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=4 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=4 ORIGINAL coefficient0 times a_2，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=3 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=3 ORIGINAL coefficient1 times a_2，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=3 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=3 ORIGINAL coefficient0 times a_1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=2 partial sum after coefficient1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=2 ORIGINAL coefficient1 times a_1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=2 partial sum after coefficient0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 recurrence LEFT completion n=2 ORIGINAL coefficient0 times a_0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (14, 15, 16, [14, 15, 134, 851, 5510, 35615, 230222, 1488179, 9619742], [14, 16, 140, 890, 5762, 37244, 240752, 1556246, 10059734], 是, 否, order_two_recurrence_with_only_one_initial_value_is_not_unique) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 21fe494760c036c3cd1aa550b45331a5b3c11d08e3a6ca99c41305f5becf8592 - candidate record SHA-256: 5eeb3c1aebb73fa2c3dcab64615e2ede5d1f453853ae62c266b1e0ebd2f3d673 - semantic review receipt SHA-256: 89b8e810eced1a69dbfef28d4b112e829edf156c7905a86e39a3f4958cd75e81 - question-first witness SHA-256: b2e8b769c463242f05172564ae96e310403eae151e1ec30bcb50be3ffe12cfc7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261110-r05-recurrence-relation-0090.json)