# 第 22121 題：有限因數格上的Möbius反演 [返回所在分頁 111](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/111/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-foundations/#q-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-0021) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0043-22121 · q-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-0021 ## 原題與已知條件 positive integer domain、完整positive divisor set與完整UPF-derived Mobius values。操作=mobinv-forward-divisor-transform；資料={"n":21,"a":1,"b":8}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — positive integer domain、完整positive divisor set與完整UPF-derived Mobius values。操作=mobinv-forward-divisor-transform；資料={"n":21,"a":1,"b":8}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-mobius-inversion-finite-divisors](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-mobius-inversion-finite-divisors/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=mobinv-forward-divisor-transform;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[n, divisor_value_rows, F_n, certificate] 條件：無 原題歷史介面標記保留，直接列來源有序欄位，不需JavaScript；MVT由原mode選欄序，不補空欄或看答案形狀猜。tag與固定No保原聲稱範圍。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL forward:actual positive input=21;check complete integer range1..21 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 3, 7, 21];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL forward f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL forward f(1) ORIGINAL a times divisor = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL forward f(1) plus ORIGINAL b := sum(1, 8) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL forward f(1) plus ORIGINAL b = 9 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL forward f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL forward f(3) ORIGINAL a times divisor = 3 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL forward f(3) plus ORIGINAL b := sum(3, 8) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL forward f(3) plus ORIGINAL b = 11 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL forward f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL forward f(7) ORIGINAL a times divisor = 7 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL forward f(7) plus ORIGINAL b := sum(7, 8) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL forward f(7) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL forward f(21) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 21) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL forward f(21) ORIGINAL a times divisor = 21 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL forward f(21) plus ORIGINAL b := sum(21, 8) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL forward f(21) plus ORIGINAL b = 29 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL forward full forward divisor sum := sum(9, 11, 15, 29) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL forward full forward divisor sum = 64 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 ## 逐步反向核對 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL forward full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL forward f(21) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL forward f(21) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL forward f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL forward f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL forward f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL forward f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL forward f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL forward f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (21, [[1, 9], [3, 11], [7, 15], [21, 29]], 64, sum_over_all_positive_divisors) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 6d92c82d38725fe24f097aa236773f94d448f489bf6ddd3d3d5fea31abe8dabf - candidate record SHA-256: fd05e00e4deb27978386c3fde855a2eeae1bd3be9129cd11ef2e294627567783 - semantic review receipt SHA-256: 49cf6ec60211c92d1c0c302663af4d44479635dc8181fb61a20c3374288e21c5 - question-first witness SHA-256: 10fd25b4643e5ff12753daceaa61f9f2499bf381f65ef96e9d21185c7c0d0c5e - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-0021.json)