# 第 22164 題：有限因數格上的Möbius反演 [返回所在分頁 111](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/111/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-foundations/#q-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-0039) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0043-22164 · q-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-0039 ## 原題與已知條件 positive integer domain、完整positive divisor set與完整UPF-derived Mobius values。操作=mobinv-inverse-reconstruction；資料={"n":14,"a":4,"b":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — positive integer domain、完整positive divisor set與完整UPF-derived Mobius values。操作=mobinv-inverse-reconstruction；資料={"n":14,"a":4,"b":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-mobius-inversion-finite-divisors](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-mobius-inversion-finite-divisors/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=mobinv-inverse-reconstruction;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[n, inverse_terms, reconstructed, f_n, equal] 條件：無 原題歷史介面標記保留，直接列來源有序欄位，不需JavaScript；MVT由原mode選欄序，不補空欄或看答案形狀猜。tag與固定No保原聲稱範圍。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse:actual positive input=14;check complete integer range1..14 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 7, 14];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:actual positive input for mu=1 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:input=1;COMPLETE prime multiset=[];distinct primes=[] 操作後 mu=1;empty product case=是;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor1 := div(14, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor1 = 14 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1):actual positive input=14;check complete integer range1..14 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 7, 14];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b = 9 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(7) ORIGINAL a times divisor = 28 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(7) plus ORIGINAL b := sum(28, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(7) plus ORIGINAL b = 29 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(14) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 14) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(14) ORIGINAL a times divisor = 56 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(14) plus ORIGINAL b := sum(56, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(14) plus ORIGINAL b = 57 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) full forward divisor sum := sum(5, 9, 29, 57) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) full forward divisor sum = 100 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(1) times SAME F(n/1) := mul(1, 100) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(1) times SAME F(n/1) = 100 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:actual positive input for mu=2 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=2>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 exhausted trial divisors below2;terminal remaining=2;d*d>remaining;ORIGINAL n=2 操作後 complete increasing prime multiset=[2];full product=2;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:input=2;COMPLETE prime multiset=[2];distinct primes=[2] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor2 := div(14, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor2 = 7 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2):actual positive input=7;check complete integer range1..7 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 7];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(7) ORIGINAL a times divisor = 28 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(7) plus ORIGINAL b := sum(28, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(7) plus ORIGINAL b = 29 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) full forward divisor sum := sum(5, 29) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) full forward divisor sum = 34 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(2) times SAME F(n/2) := mul(-1, 34) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(2) times SAME F(n/2) = -34 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor7:actual positive input for mu=7 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=7>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=7;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=7;remaining modulo2=1;extracted multiset=[] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 7) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 7 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=7 操作後 complete increasing prime multiset=[7];full product=7;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor7:input=7;COMPLETE prime multiset=[7];distinct primes=[7] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor7 := div(14, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor7 = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7):actual positive input=2;check complete integer range1..2 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(1) plus ORIGINAL b = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(2) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(2) plus ORIGINAL b = 9 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) full forward divisor sum := sum(5, 9) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) full forward divisor sum = 14 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(7) times SAME F(n/7) := mul(-1, 14) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(7) times SAME F(n/7) = -14 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor14:actual positive input for mu=14 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S043 S045 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=14>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(14, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 7 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=14;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=7;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 7) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 14 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=14 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 7];full product=14;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S049 S051 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor14:input=14;COMPLETE prime multiset=[2, 7];distinct primes=[2, 7] 操作後 mu=1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor14 := div(14, 14) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor14 = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14):actual positive input=1;check complete integer range1..1 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(1) plus ORIGINAL b = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) full forward divisor sum := sum(5) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) full forward divisor sum = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(14) times SAME F(n/14) := mul(1, 5) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(14) times SAME F(n/14) = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse complete inverse-term sum := sum(100, -34, -14, 5) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse complete inverse-term sum = 57 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse direct ORIGINAL a times n := mul(4, 14) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse direct ORIGINAL a times n = 56 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058 S060 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse direct plus ORIGINAL b := sum(56, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse direct plus ORIGINAL b = 57 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059 S061 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse:actual n=14;ALL [d,mu(d),n/d,F(n/d),mu(d)*F(n/d)] rows=[[1, 1, 14, 100, 100], [2, -1, 7, 34, -34], [7, -1, 2, 14, -14], [14, 1, 1, 5, 5]] 操作後 complete reconstructed=57;direct f(n)=57;sum_d mu(d)sum_e|n/d f(e)=sum_e|n f(e)sum_d|n/e mu(d)=f(n) 條件：無 有限雙和可換序，d*e|n；內層mu和在n/e=1時為1，否則由不同prime子集合正負配對為0，故只留e=n。n=1也有d=1、mu1=1，不混另一等價公式的index。 步驟識別與依賴規則：mobinv_general_finite_double_sum_and_Mobius_cancellation · 依賴：G001, S060 ## 逐步反向核對 - S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse direct plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse direct ORIGINAL a times n，不以小數近似替代。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse complete inverse-term sum，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(14) times SAME F(n/14)，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor14，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(7) times SAME F(n/7)，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor7，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(2) times SAME F(n/2)，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor2，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(1) times SAME F(n/1)，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(14) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(14) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (14, [[1, 1, 14, 100, 100], [2, -1, 7, 34, -34], [7, -1, 2, 14, -14], [14, 1, 1, 5, 5]], 57, 57, 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 69e2f4e9789d15b3e0ac731a9ae23ef882d89390fe7cc98a18fc1cdeb998123d - candidate record SHA-256: 502d79d958749df7a5b5d37393cdb0eb32c7c6adf99d2953781ac03c0a32ea46 - semantic review receipt SHA-256: 49cf6ec60211c92d1c0c302663af4d44479635dc8181fb61a20c3374288e21c5 - question-first witness SHA-256: 10fd25b4643e5ff12753daceaa61f9f2499bf381f65ef96e9d21185c7c0d0c5e - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-0039.json)