# 第 22191 題：有限因數格上的Möbius反演 [返回所在分頁 111](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/111/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-foundations/#q-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-0066) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0043-22191 · q-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-0066 ## 原題與已知條件 positive integer domain、完整positive divisor set與完整UPF-derived Mobius values。操作=mobinv-roundtrip-table；資料={"n":16,"a":1,"b":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — positive integer domain、完整positive divisor set與完整UPF-derived Mobius values。操作=mobinv-roundtrip-table；資料={"n":16,"a":1,"b":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-mobius-inversion-finite-divisors](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-mobius-inversion-finite-divisors/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=mobinv-roundtrip-table;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[n, roundtrip_rows, all_equal, boundary] 條件：無 原題歷史介面標記保留，直接列來源有序欄位，不需JavaScript；MVT由原mode選欄序，不補空欄或看答案形狀猜。tag與固定No保原聲稱範圍。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL roundtrip:actual positive input=16;check complete integer range1..16 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4, 8, 16];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 Mobius roundtrip m=1 forward:actual positive input=1;check complete integer range1..1 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=1 forward f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=1 forward f(1) ORIGINAL a times divisor = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=1 forward f(1) plus ORIGINAL b := sum(1, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=1 forward f(1) plus ORIGINAL b = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=1 forward full forward divisor sum := sum(4) 操作後 Mobius roundtrip m=1 forward full forward divisor sum = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 Mobius roundtrip m=1 inverse:actual positive input=1;check complete integer range1..1 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 Mobius roundtrip m=1 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:actual positive input for mu=1 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 Mobius roundtrip m=1 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:input=1;COMPLETE prime multiset=[];distinct primes=[] 操作後 mu=1;empty product case=是;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=1 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 := div(1, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=1 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 Mobius roundtrip m=1 inverse F(n/1):actual positive input=1;check complete integer range1..1 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=1 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=1 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=1 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b := sum(1, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=1 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=1 inverse F(n/1) full forward divisor sum := sum(4) 操作後 Mobius roundtrip m=1 inverse F(n/1) full forward divisor sum = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=1 inverse mu(1) times SAME F(n/1) := mul(1, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=1 inverse mu(1) times SAME F(n/1) = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=1 inverse complete inverse-term sum := sum(4) 操作後 Mobius roundtrip m=1 inverse complete inverse-term sum = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=1 inverse direct ORIGINAL a times n := mul(1, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=1 inverse direct ORIGINAL a times n = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=1 inverse direct plus ORIGINAL b := sum(1, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=1 inverse direct plus ORIGINAL b = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 Mobius roundtrip m=1 inverse:actual n=1;ALL [d,mu(d),n/d,F(n/d),mu(d)*F(n/d)] rows=[[1, 1, 1, 4, 4]] 操作後 complete reconstructed=4;direct f(n)=4;sum_d mu(d)sum_e|n/d f(e)=sum_e|n f(e)sum_d|n/e mu(d)=f(n) 條件：無 有限雙和可換序，d*e|n；內層mu和在n/e=1時為1，否則由不同prime子集合正負配對為0，故只留e=n。n=1也有d=1、mu1=1，不混另一等價公式的index。 步驟識別與依賴規則：mobinv_general_finite_double_sum_and_Mobius_cancellation · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 Mobius roundtrip m=2 forward:actual positive input=2;check complete integer range1..2 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 forward f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=2 forward f(1) ORIGINAL a times divisor = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 forward f(1) plus ORIGINAL b := sum(1, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=2 forward f(1) plus ORIGINAL b = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 forward f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=2 forward f(2) ORIGINAL a times divisor = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 forward f(2) plus ORIGINAL b := sum(2, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=2 forward f(2) plus ORIGINAL b = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 forward full forward divisor sum := sum(4, 5) 操作後 Mobius roundtrip m=2 forward full forward divisor sum = 9 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse:actual positive input=2;check complete integer range1..2 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:actual positive input for mu=1 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:input=1;COMPLETE prime multiset=[];distinct primes=[] 操作後 mu=1;empty product case=是;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 := div(2, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1):actual positive input=2;check complete integer range1..2 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b := sum(1, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b := sum(2, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) full forward divisor sum := sum(4, 5) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) full forward divisor sum = 9 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse mu(1) times SAME F(n/1) := mul(1, 9) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse mu(1) times SAME F(n/1) = 9 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:actual positive input for mu=2 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=2>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · implies操作前 exhausted trial divisors below2;terminal remaining=2;d*d>remaining;ORIGINAL n=2 操作後 complete increasing prime multiset=[2];full product=2;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S039 S041 · implies操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:input=2;COMPLETE prime multiset=[2];distinct primes=[2] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse n divided by ORIGINAL divisor2 := div(2, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse n divided by ORIGINAL divisor2 = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · implies操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2):actual positive input=1;check complete integer range1..1 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b := sum(1, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2) full forward divisor sum := sum(4) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2) full forward divisor sum = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse mu(2) times SAME F(n/2) := mul(-1, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse mu(2) times SAME F(n/2) = -4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse complete inverse-term sum := sum(9, -4) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse complete inverse-term sum = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse direct ORIGINAL a times n := mul(1, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse direct ORIGINAL a times n = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse direct plus ORIGINAL b := sum(2, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse direct plus ORIGINAL b = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · implies操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse:actual n=2;ALL [d,mu(d),n/d,F(n/d),mu(d)*F(n/d)] rows=[[1, 1, 2, 9, 9], [2, -1, 1, 4, -4]] 操作後 complete reconstructed=5;direct f(n)=5;sum_d mu(d)sum_e|n/d f(e)=sum_e|n f(e)sum_d|n/e mu(d)=f(n) 條件：無 有限雙和可換序，d*e|n；內層mu和在n/e=1時為1，否則由不同prime子集合正負配對為0，故只留e=n。n=1也有d=1、mu1=1，不混另一等價公式的index。 步驟識別與依賴規則：mobinv_general_finite_double_sum_and_Mobius_cancellation · 依賴：G001, S050 S052 · implies操作前 Mobius roundtrip m=4 forward:actual positive input=4;check complete integer range1..4 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 forward f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=4 forward f(1) ORIGINAL a times divisor = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 forward f(1) plus ORIGINAL b := sum(1, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=4 forward f(1) plus ORIGINAL b = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 forward f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=4 forward f(2) ORIGINAL a times divisor = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 forward f(2) plus ORIGINAL b := sum(2, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=4 forward f(2) plus ORIGINAL b = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 forward f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=4 forward f(4) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 forward f(4) plus ORIGINAL b := sum(4, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=4 forward f(4) plus ORIGINAL b = 7 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 forward full forward divisor sum := sum(4, 5, 7) 操作後 Mobius roundtrip m=4 forward full forward divisor sum = 16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058 S060 · implies操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse:actual positive input=4;check complete integer range1..4 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S059 S061 · implies操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:actual positive input for mu=1 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S060 S062 · implies操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:input=1;COMPLETE prime multiset=[];distinct primes=[] 操作後 mu=1;empty product case=是;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 := div(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · implies操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1):actual positive input=4;check complete integer range1..4 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S063 S065 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064 S066 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b := sum(1, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b := sum(2, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067 S069 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(4) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068 S070 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(4) plus ORIGINAL b := sum(4, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(4) plus ORIGINAL b = 7 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S069 S071 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) full forward divisor sum := sum(4, 5, 7) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) full forward divisor sum = 16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070 S072 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse mu(1) times SAME F(n/1) := mul(1, 16) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse mu(1) times SAME F(n/1) = 16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071 S073 · implies操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:actual positive input for mu=2 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S072 S074 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=2>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S073 S075 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S074 S076 · implies操作前 exhausted trial divisors below2;terminal remaining=2;d*d>remaining;ORIGINAL n=2 操作後 complete increasing prime multiset=[2];full product=2;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S075 S077 · implies操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:input=2;COMPLETE prime multiset=[2];distinct primes=[2] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S076 S078 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse n divided by ORIGINAL divisor2 := div(4, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse n divided by ORIGINAL divisor2 = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S077 S079 · implies操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2):actual positive input=2;check complete integer range1..2 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S078 S080 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S079 S081 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b := sum(1, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S080 S082 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) f(2) ORIGINAL a times divisor = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S081 S083 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) f(2) plus ORIGINAL b := sum(2, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) f(2) plus ORIGINAL b = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S082 S084 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) full forward divisor sum := sum(4, 5) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) full forward divisor sum = 9 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S083 S085 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse mu(2) times SAME F(n/2) := mul(-1, 9) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse mu(2) times SAME F(n/2) = -9 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S084 S086 · implies操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse Mobius at ORIGINAL divisor4:actual positive input for mu=4 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S085 S087 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=4>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S086 S088 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(4, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S087 S089 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence1 := div(2, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence1 = 1 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S088 S090 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=4;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=2;next remaining=1;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S089 S091 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S090 S092 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S091 S093 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=1;d*d>remaining;ORIGINAL n=4 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 2];full product=4;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S092 S094 · implies操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse Mobius at ORIGINAL divisor4:input=4;COMPLETE prime multiset=[2, 2];distinct primes=[2] 操作後 mu=0;empty product case=否;repeated prime=是 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S093 S095 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse n divided by ORIGINAL divisor4 := div(4, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse n divided by ORIGINAL divisor4 = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S094 S096 · implies操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/4):actual positive input=1;check complete integer range1..1 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S095 S097 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/4) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/4) f(1) ORIGINAL a times divisor = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S096 S098 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/4) f(1) plus ORIGINAL b := sum(1, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/4) f(1) plus ORIGINAL b = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S097 S099 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/4) full forward divisor sum := sum(4) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/4) full forward divisor sum = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S098 S100 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse mu(4) times SAME F(n/4) := mul(0, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse mu(4) times SAME F(n/4) = 0 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S099 S101 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse complete inverse-term sum := sum(16, -9, 0) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse complete inverse-term sum = 7 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S100 S102 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse direct ORIGINAL a times n := mul(1, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse direct ORIGINAL a times n = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S101 S103 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse direct plus ORIGINAL b := sum(4, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse direct plus ORIGINAL b = 7 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S102 S104 · implies操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse:actual n=4;ALL [d,mu(d),n/d,F(n/d),mu(d)*F(n/d)] rows=[[1, 1, 4, 16, 16], [2, -1, 2, 9, -9], [4, 0, 1, 4, 0]] 操作後 complete reconstructed=7;direct f(n)=7;sum_d mu(d)sum_e|n/d f(e)=sum_e|n f(e)sum_d|n/e mu(d)=f(n) 條件：無 有限雙和可換序，d*e|n；內層mu和在n/e=1時為1，否則由不同prime子集合正負配對為0，故只留e=n。n=1也有d=1、mu1=1，不混另一等價公式的index。 步驟識別與依賴規則：mobinv_general_finite_double_sum_and_Mobius_cancellation · 依賴：G001, S103 S105 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 forward:actual positive input=8;check complete integer range1..8 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4, 8];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S104 S106 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 forward f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=8 forward f(1) ORIGINAL a times divisor = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S105 S107 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 forward f(1) plus ORIGINAL b := sum(1, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=8 forward f(1) plus ORIGINAL b = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S106 S108 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 forward f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=8 forward f(2) ORIGINAL a times divisor = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S107 S109 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 forward f(2) plus ORIGINAL b := sum(2, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=8 forward f(2) plus ORIGINAL b = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S108 S110 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 forward f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=8 forward f(4) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S109 S111 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 forward f(4) plus ORIGINAL b := sum(4, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=8 forward f(4) plus ORIGINAL b = 7 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S110 S112 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 forward f(8) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 8) 操作後 Mobius roundtrip m=8 forward f(8) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S111 S113 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 forward f(8) plus ORIGINAL b := sum(8, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=8 forward f(8) plus ORIGINAL b = 11 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S112 S114 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 forward full forward divisor sum := sum(4, 5, 7, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=8 forward full forward divisor sum = 27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S113 S115 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse:actual positive input=8;check complete integer range1..8 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4, 8];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S114 S116 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:actual positive input for mu=1 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S115 S117 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:input=1;COMPLETE prime multiset=[];distinct primes=[] 操作後 mu=1;empty product case=是;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S116 S118 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 := div(8, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S117 S119 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1):actual positive input=8;check complete integer range1..8 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4, 8];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S118 S120 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S119 S121 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b := sum(1, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S120 S122 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S121 S123 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b := sum(2, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S122 S124 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(4) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S123 S125 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(4) plus ORIGINAL b := sum(4, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(4) plus ORIGINAL b = 7 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S124 S126 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(8) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 8) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(8) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S125 S127 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(8) plus ORIGINAL b := sum(8, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(8) plus ORIGINAL b = 11 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S126 S128 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) full forward divisor sum := sum(4, 5, 7, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) full forward divisor sum = 27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S127 S129 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse mu(1) times SAME F(n/1) := mul(1, 27) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse mu(1) times SAME F(n/1) = 27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S128 S130 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:actual positive input for mu=2 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S129 S131 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=2>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S130 S132 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S131 S133 · implies操作前 exhausted trial divisors below2;terminal remaining=2;d*d>remaining;ORIGINAL n=2 操作後 complete increasing prime multiset=[2];full product=2;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S132 S134 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:input=2;COMPLETE prime multiset=[2];distinct primes=[2] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S133 S135 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse n divided by ORIGINAL divisor2 := div(8, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse n divided by ORIGINAL divisor2 = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S134 S136 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2):actual positive input=4;check complete integer range1..4 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S135 S137 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S136 S138 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b := sum(1, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S137 S139 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(2) ORIGINAL a times divisor = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S138 S140 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(2) plus ORIGINAL b := sum(2, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(2) plus ORIGINAL b = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S139 S141 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(4) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S140 S142 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(4) plus ORIGINAL b := sum(4, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(4) plus ORIGINAL b = 7 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S141 S143 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) full forward divisor sum := sum(4, 5, 7) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) full forward divisor sum = 16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S142 S144 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse mu(2) times SAME F(n/2) := mul(-1, 16) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse mu(2) times SAME F(n/2) = -16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S143 S145 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse Mobius at ORIGINAL divisor4:actual positive input for mu=4 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S144 S146 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=4>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S145 S147 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(4, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S146 S148 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence1 := div(2, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence1 = 1 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S147 S149 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=4;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=2;next remaining=1;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S148 S150 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S149 S151 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S150 S152 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=1;d*d>remaining;ORIGINAL n=4 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 2];full product=4;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S151 S153 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse Mobius at ORIGINAL divisor4:input=4;COMPLETE prime multiset=[2, 2];distinct primes=[2] 操作後 mu=0;empty product case=否;repeated prime=是 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S152 S154 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse n divided by ORIGINAL divisor4 := div(8, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse n divided by ORIGINAL divisor4 = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S153 S155 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4):actual positive input=2;check complete integer range1..2 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S154 S156 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) f(1) ORIGINAL a times divisor = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S155 S157 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) f(1) plus ORIGINAL b := sum(1, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) f(1) plus ORIGINAL b = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S156 S158 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) f(2) ORIGINAL a times divisor = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S157 S159 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) f(2) plus ORIGINAL b := sum(2, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) f(2) plus ORIGINAL b = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S158 S160 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) full forward divisor sum := sum(4, 5) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) full forward divisor sum = 9 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S159 S161 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse mu(4) times SAME F(n/4) := mul(0, 9) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse mu(4) times SAME F(n/4) = 0 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S160 S162 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse Mobius at ORIGINAL divisor8:actual positive input for mu=8 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S161 S163 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=8>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S162 S164 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(8, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S163 S165 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence1 := div(4, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence1 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S164 S166 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence2 := div(2, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence2 = 1 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S165 S167 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=8;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=3;next remaining=1;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2, 2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S166 S168 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S167 S169 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S168 S170 · calculation操作前 upf canonical complete product factor2 := mul(4, 2) 操作後 upf canonical complete product factor2 = 8 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S169 S171 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=1;d*d>remaining;ORIGINAL n=8 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 2, 2];full product=8;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S170 S172 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse Mobius at ORIGINAL divisor8:input=8;COMPLETE prime multiset=[2, 2, 2];distinct primes=[2] 操作後 mu=0;empty product case=否;repeated prime=是 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S171 S173 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse n divided by ORIGINAL divisor8 := div(8, 8) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse n divided by ORIGINAL divisor8 = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S172 S174 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/8):actual positive input=1;check complete integer range1..1 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S173 S175 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/8) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/8) f(1) ORIGINAL a times divisor = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S174 S176 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/8) f(1) plus ORIGINAL b := sum(1, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/8) f(1) plus ORIGINAL b = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S175 S177 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/8) full forward divisor sum := sum(4) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/8) full forward divisor sum = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S176 S178 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse mu(8) times SAME F(n/8) := mul(0, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse mu(8) times SAME F(n/8) = 0 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S177 S179 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse complete inverse-term sum := sum(27, -16, 0, 0) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse complete inverse-term sum = 11 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S178 S180 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse direct ORIGINAL a times n := mul(1, 8) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse direct ORIGINAL a times n = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S179 S181 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse direct plus ORIGINAL b := sum(8, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse direct plus ORIGINAL b = 11 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S180 S182 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse:actual n=8;ALL [d,mu(d),n/d,F(n/d),mu(d)*F(n/d)] rows=[[1, 1, 8, 27, 27], [2, -1, 4, 16, -16], [4, 0, 2, 9, 0], [8, 0, 1, 4, 0]] 操作後 complete reconstructed=11;direct f(n)=11;sum_d mu(d)sum_e|n/d f(e)=sum_e|n f(e)sum_d|n/e mu(d)=f(n) 條件：無 有限雙和可換序，d*e|n；內層mu和在n/e=1時為1，否則由不同prime子集合正負配對為0，故只留e=n。n=1也有d=1、mu1=1，不混另一等價公式的index。 步驟識別與依賴規則：mobinv_general_finite_double_sum_and_Mobius_cancellation · 依賴：G001, S181 S183 · implies操作前 Mobius roundtrip m=16 forward:actual positive input=16;check complete integer range1..16 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4, 8, 16];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S182 S184 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 forward f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=16 forward f(1) ORIGINAL a times divisor = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S183 S185 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 forward f(1) plus ORIGINAL b := sum(1, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=16 forward f(1) plus ORIGINAL b = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S184 S186 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 forward f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=16 forward f(2) ORIGINAL a times divisor = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S185 S187 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 forward f(2) plus ORIGINAL b := sum(2, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=16 forward f(2) plus ORIGINAL b = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S186 S188 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 forward f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=16 forward f(4) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S187 S189 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 forward f(4) plus ORIGINAL b := sum(4, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=16 forward f(4) plus ORIGINAL b = 7 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S188 S190 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 forward f(8) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 8) 操作後 Mobius roundtrip m=16 forward f(8) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S189 S191 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 forward f(8) plus ORIGINAL b := sum(8, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=16 forward f(8) plus ORIGINAL b = 11 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S190 S192 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 forward f(16) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 16) 操作後 Mobius roundtrip m=16 forward f(16) ORIGINAL a times divisor = 16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S191 S193 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 forward f(16) plus ORIGINAL b := sum(16, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=16 forward f(16) plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S192 S194 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 forward full forward divisor sum := sum(4, 5, 7, 11, 19) 操作後 Mobius roundtrip m=16 forward full forward divisor sum = 46 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S193 S195 · implies操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse:actual positive input=16;check complete integer range1..16 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4, 8, 16];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S194 S196 · implies操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:actual positive input for mu=1 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S195 S197 · implies操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:input=1;COMPLETE prime multiset=[];distinct primes=[] 操作後 mu=1;empty product case=是;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S196 S198 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 := div(16, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 = 16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S197 S199 · implies操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1):actual positive input=16;check complete integer range1..16 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4, 8, 16];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S198 S200 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S199 S201 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b := sum(1, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S200 S202 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S201 S203 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b := sum(2, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S202 S204 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(4) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S203 S205 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(4) plus ORIGINAL b := sum(4, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(4) plus ORIGINAL b = 7 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S204 S206 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(8) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 8) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(8) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S205 S207 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(8) plus ORIGINAL b := sum(8, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(8) plus ORIGINAL b = 11 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S206 S208 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(16) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 16) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(16) ORIGINAL a times divisor = 16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S207 S209 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(16) plus ORIGINAL b := sum(16, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(16) plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S208 S210 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) full forward divisor sum := sum(4, 5, 7, 11, 19) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) full forward divisor sum = 46 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S209 S211 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse mu(1) times SAME F(n/1) := mul(1, 46) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse mu(1) times SAME F(n/1) = 46 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S210 S212 · implies操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:actual positive input for mu=2 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S211 S213 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=2>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S212 S214 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S213 S215 · implies操作前 exhausted trial divisors below2;terminal remaining=2;d*d>remaining;ORIGINAL n=2 操作後 complete increasing prime multiset=[2];full product=2;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S214 S216 · implies操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:input=2;COMPLETE prime multiset=[2];distinct primes=[2] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S215 S217 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse n divided by ORIGINAL divisor2 := div(16, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse n divided by ORIGINAL divisor2 = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S216 S218 · implies操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2):actual positive input=8;check complete integer range1..8 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4, 8];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S217 S219 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S218 S220 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b := sum(1, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S219 S221 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2) f(2) ORIGINAL a times divisor = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S220 S222 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2) f(2) plus ORIGINAL b := sum(2, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2) f(2) plus ORIGINAL b = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S221 S223 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2) f(4) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S222 S224 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2) f(4) plus ORIGINAL b := sum(4, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2) f(4) plus ORIGINAL b = 7 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S223 S225 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2) f(8) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 8) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2) f(8) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S224 S226 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2) f(8) plus ORIGINAL b := sum(8, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2) f(8) plus ORIGINAL b = 11 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S225 S227 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2) full forward divisor sum := sum(4, 5, 7, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2) full forward divisor sum = 27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S226 S228 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse mu(2) times SAME F(n/2) := mul(-1, 27) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse mu(2) times SAME F(n/2) = -27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S227 S229 · implies操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse Mobius at ORIGINAL divisor4:actual positive input for mu=4 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S228 S230 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=4>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S229 S231 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(4, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S230 S232 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence1 := div(2, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence1 = 1 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S231 S233 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=4;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=2;next remaining=1;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S232 S234 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S233 S235 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S234 S236 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=1;d*d>remaining;ORIGINAL n=4 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 2];full product=4;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S235 S237 · implies操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse Mobius at ORIGINAL divisor4:input=4;COMPLETE prime multiset=[2, 2];distinct primes=[2] 操作後 mu=0;empty product case=否;repeated prime=是 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S236 S238 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse n divided by ORIGINAL divisor4 := div(16, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse n divided by ORIGINAL divisor4 = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S237 S239 · implies操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/4):actual positive input=4;check complete integer range1..4 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S238 S240 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/4) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/4) f(1) ORIGINAL a times divisor = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S239 S241 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/4) f(1) plus ORIGINAL b := sum(1, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/4) f(1) plus ORIGINAL b = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S240 S242 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/4) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/4) f(2) ORIGINAL a times divisor = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S241 S243 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/4) f(2) plus ORIGINAL b := sum(2, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/4) f(2) plus ORIGINAL b = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S242 S244 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/4) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/4) f(4) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S243 S245 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/4) f(4) plus ORIGINAL b := sum(4, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/4) f(4) plus ORIGINAL b = 7 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S244 S246 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/4) full forward divisor sum := sum(4, 5, 7) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/4) full forward divisor sum = 16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S245 S247 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse mu(4) times SAME F(n/4) := mul(0, 16) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse mu(4) times SAME F(n/4) = 0 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S246 S248 · implies操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse Mobius at ORIGINAL divisor8:actual positive input for mu=8 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S247 S249 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=8>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S248 S250 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(8, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S249 S251 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence1 := div(4, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence1 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S250 S252 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence2 := div(2, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence2 = 1 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S251 S253 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=8;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=3;next remaining=1;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2, 2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S252 S254 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S253 S255 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S254 S256 · calculation操作前 upf canonical complete product factor2 := mul(4, 2) 操作後 upf canonical complete product factor2 = 8 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S255 S257 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=1;d*d>remaining;ORIGINAL n=8 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 2, 2];full product=8;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S256 S258 · implies操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse Mobius at ORIGINAL divisor8:input=8;COMPLETE prime multiset=[2, 2, 2];distinct primes=[2] 操作後 mu=0;empty product case=否;repeated prime=是 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S257 S259 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse n divided by ORIGINAL divisor8 := div(16, 8) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse n divided by ORIGINAL divisor8 = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S258 S260 · implies操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/8):actual positive input=2;check complete integer range1..2 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S259 S261 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/8) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/8) f(1) ORIGINAL a times divisor = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S260 S262 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/8) f(1) plus ORIGINAL b := sum(1, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/8) f(1) plus ORIGINAL b = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S261 S263 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/8) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/8) f(2) ORIGINAL a times divisor = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S262 S264 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/8) f(2) plus ORIGINAL b := sum(2, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/8) f(2) plus ORIGINAL b = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S263 S265 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/8) full forward divisor sum := sum(4, 5) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/8) full forward divisor sum = 9 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S264 S266 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse mu(8) times SAME F(n/8) := mul(0, 9) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse mu(8) times SAME F(n/8) = 0 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S265 S267 · implies操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse Mobius at ORIGINAL divisor16:actual positive input for mu=16 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S266 S268 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=16>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S267 S269 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(16, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 8 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S268 S270 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence1 := div(8, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence1 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S269 S271 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence2 := div(4, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence2 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S270 S272 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence3 := div(2, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence3 = 1 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S271 S273 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=16;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=4;next remaining=1;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2, 2, 2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S272 S274 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S273 S275 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S274 S276 · calculation操作前 upf canonical complete product factor2 := mul(4, 2) 操作後 upf canonical complete product factor2 = 8 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S275 S277 · calculation操作前 upf canonical complete product factor3 := mul(8, 2) 操作後 upf canonical complete product factor3 = 16 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S276 S278 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=1;d*d>remaining;ORIGINAL n=16 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 2, 2, 2];full product=16;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S277 S279 · implies操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse Mobius at ORIGINAL divisor16:input=16;COMPLETE prime multiset=[2, 2, 2, 2];distinct primes=[2] 操作後 mu=0;empty product case=否;repeated prime=是 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S278 S280 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse n divided by ORIGINAL divisor16 := div(16, 16) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse n divided by ORIGINAL divisor16 = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S279 S281 · implies操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/16):actual positive input=1;check complete integer range1..1 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S280 S282 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/16) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(1, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/16) f(1) ORIGINAL a times divisor = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S281 S283 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/16) f(1) plus ORIGINAL b := sum(1, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/16) f(1) plus ORIGINAL b = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S282 S284 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/16) full forward divisor sum := sum(4) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/16) full forward divisor sum = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S283 S285 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse mu(16) times SAME F(n/16) := mul(0, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse mu(16) times SAME F(n/16) = 0 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S284 S286 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse complete inverse-term sum := sum(46, -27, 0, 0, 0) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse complete inverse-term sum = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S285 S287 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse direct ORIGINAL a times n := mul(1, 16) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse direct ORIGINAL a times n = 16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S286 S288 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse direct plus ORIGINAL b := sum(16, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=16 inverse direct plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S287 S289 · implies操作前 Mobius roundtrip m=16 inverse:actual n=16;ALL [d,mu(d),n/d,F(n/d),mu(d)*F(n/d)] rows=[[1, 1, 16, 46, 46], [2, -1, 8, 27, -27], [4, 0, 4, 16, 0], [8, 0, 2, 9, 0], [16, 0, 1, 4, 0]] 操作後 complete reconstructed=19;direct f(n)=19;sum_d mu(d)sum_e|n/d f(e)=sum_e|n f(e)sum_d|n/e mu(d)=f(n) 條件：無 有限雙和可換序，d*e|n；內層mu和在n/e=1時為1，否則由不同prime子集合正負配對為0，故只留e=n。n=1也有d=1、mu1=1，不混另一等價公式的index。 步驟識別與依賴規則：mobinv_general_finite_double_sum_and_Mobius_cancellation · 依賴：G001, S288 ## 逐步反向核對 - S289 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S288 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse direct plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S287 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse direct ORIGINAL a times n，不以小數近似替代。 - S286 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse complete inverse-term sum，不以小數近似替代。 - S285 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse mu(16) times SAME F(n/16)，不以小數近似替代。 - S284 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/16) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S283 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/16) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S282 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/16) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S281 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S280 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse n divided by ORIGINAL divisor16，不以小數近似替代。 - S279 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S278 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S277 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor3，不以小數近似替代。 - S276 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。 - S275 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S274 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S273 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S272 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence3，不以小數近似替代。 - S271 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence2，不以小數近似替代。 - S270 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。 - S269 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S268 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S267 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S266 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse mu(8) times SAME F(n/8)，不以小數近似替代。 - S265 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/8) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S264 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/8) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S263 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/8) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S262 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/8) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S261 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/8) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S260 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S259 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse n divided by ORIGINAL divisor8，不以小數近似替代。 - S258 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S257 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S256 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。 - S255 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S254 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S253 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S252 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence2，不以小數近似替代。 - S251 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。 - S250 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S249 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S248 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S247 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse mu(4) times SAME F(n/4)，不以小數近似替代。 - S246 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/4) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S245 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/4) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S244 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/4) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S243 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/4) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S242 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/4) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S241 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/4) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S240 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/4) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S239 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S238 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse n divided by ORIGINAL divisor4，不以小數近似替代。 - S237 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S236 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S235 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S234 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S233 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S232 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。 - S231 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S230 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S229 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S228 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse mu(2) times SAME F(n/2)，不以小數近似替代。 - S227 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S226 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2) f(8) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S225 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2) f(8) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S224 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S223 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S222 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S221 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S220 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S219 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S218 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S217 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse n divided by ORIGINAL divisor2，不以小數近似替代。 - S216 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S215 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S214 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S213 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S212 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S211 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse mu(1) times SAME F(n/1)，不以小數近似替代。 - S210 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S209 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(16) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S208 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(16) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S207 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(8) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S206 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(8) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S205 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S204 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S203 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S202 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S201 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S200 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S199 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S198 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 inverse n divided by ORIGINAL divisor1，不以小數近似替代。 - S197 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S196 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S195 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S194 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 forward full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S193 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 forward f(16) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S192 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 forward f(16) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S191 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 forward f(8) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S190 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 forward f(8) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S189 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 forward f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S188 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 forward f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S187 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 forward f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S186 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 forward f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S185 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 forward f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S184 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=16 forward f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S183 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S182 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S181 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse direct plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S180 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse direct ORIGINAL a times n，不以小數近似替代。 - S179 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse complete inverse-term sum，不以小數近似替代。 - S178 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse mu(8) times SAME F(n/8)，不以小數近似替代。 - S177 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/8) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S176 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/8) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S175 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/8) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S174 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S173 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse n divided by ORIGINAL divisor8，不以小數近似替代。 - S172 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S171 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S170 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。 - S169 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S168 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S167 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S166 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence2，不以小數近似替代。 - S165 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。 - S164 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S163 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S162 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S161 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse mu(4) times SAME F(n/4)，不以小數近似替代。 - S160 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S159 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S158 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S157 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S156 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S155 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S154 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse n divided by ORIGINAL divisor4，不以小數近似替代。 - S153 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S152 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S151 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S150 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S149 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S148 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。 - S147 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S146 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S145 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S144 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse mu(2) times SAME F(n/2)，不以小數近似替代。 - S143 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S142 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S141 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S140 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S139 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S138 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S137 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S136 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S135 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse n divided by ORIGINAL divisor2，不以小數近似替代。 - S134 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S133 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S132 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S131 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S130 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S129 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse mu(1) times SAME F(n/1)，不以小數近似替代。 - S128 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S127 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(8) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S126 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(8) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S125 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S124 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S123 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S122 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S121 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S120 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S119 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S118 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse n divided by ORIGINAL divisor1，不以小數近似替代。 - S117 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S116 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S115 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S114 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 forward full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S113 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 forward f(8) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S112 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 forward f(8) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S111 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 forward f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S110 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 forward f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S109 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 forward f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S108 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 forward f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S107 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 forward f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S106 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 forward f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S105 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S104 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S103 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse direct plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S102 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse direct ORIGINAL a times n，不以小數近似替代。 - S101 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse complete inverse-term sum，不以小數近似替代。 - S100 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse mu(4) times SAME F(n/4)，不以小數近似替代。 - S099 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/4) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S098 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/4) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S097 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/4) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S096 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S095 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse n divided by ORIGINAL divisor4，不以小數近似替代。 - S094 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S093 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S092 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S091 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S090 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。 - S088 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S087 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S086 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse mu(2) times SAME F(n/2)，不以小數近似替代。 - S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S082 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S080 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S079 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse n divided by ORIGINAL divisor2，不以小數近似替代。 - S077 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse mu(1) times SAME F(n/1)，不以小數近似替代。 - S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse n divided by ORIGINAL divisor1，不以小數近似替代。 - S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 forward full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 forward f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 forward f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 forward f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 forward f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 forward f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 forward f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse direct plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse direct ORIGINAL a times n，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse complete inverse-term sum，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse mu(2) times SAME F(n/2)，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse n divided by ORIGINAL divisor2，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse mu(1) times SAME F(n/1)，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse n divided by ORIGINAL divisor1，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 forward full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 forward f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 forward f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 forward f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 forward f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=1 inverse direct plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=1 inverse direct ORIGINAL a times n，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=1 inverse complete inverse-term sum，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=1 inverse mu(1) times SAME F(n/1)，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=1 inverse F(n/1) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=1 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=1 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=1 inverse n divided by ORIGINAL divisor1，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=1 forward full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=1 forward f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=1 forward f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (16, [[1, 4, 4, 4], [2, 9, 5, 5], [4, 16, 7, 7], [8, 27, 11, 11], [16, 46, 19, 19]], 是, finite_divisor_poset_roundtrip) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: a8b6bb81b5688c250284847a6f6b6ef4d3ae74eaed83638f198130c404e6eb68 - candidate record SHA-256: 57c85b381f3ebcb6e0a0e437391326bcfb1fbf4cf84aab4bd7134d89de2f23a1 - semantic review receipt SHA-256: 49cf6ec60211c92d1c0c302663af4d44479635dc8181fb61a20c3374288e21c5 - question-first witness SHA-256: 10fd25b4643e5ff12753daceaa61f9f2499bf381f65ef96e9d21185c7c0d0c5e - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-0066.json)