# 第 22199 題：有限因數格上的Möbius反演 [返回所在分頁 111](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/111/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-foundations/#q-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-0074) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0043-22199 · q-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-0074 ## 原題與已知條件 positive integer domain、完整positive divisor set與完整UPF-derived Mobius values。操作=mobinv-roundtrip-table；資料={"n":24,"a":4,"b":11}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — positive integer domain、完整positive divisor set與完整UPF-derived Mobius values。操作=mobinv-roundtrip-table；資料={"n":24,"a":4,"b":11}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-mobius-inversion-finite-divisors](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-mobius-inversion-finite-divisors/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=mobinv-roundtrip-table;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[n, roundtrip_rows, all_equal, boundary] 條件：無 原題歷史介面標記保留，直接列來源有序欄位，不需JavaScript；MVT由原mode選欄序，不補空欄或看答案形狀猜。tag與固定No保原聲稱範圍。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL roundtrip:actual positive input=24;check complete integer range1..24 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 Mobius roundtrip m=1 forward:actual positive input=1;check complete integer range1..1 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=1 forward f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=1 forward f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=1 forward f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=1 forward f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=1 forward full forward divisor sum := sum(15) 操作後 Mobius roundtrip m=1 forward full forward divisor sum = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 Mobius roundtrip m=1 inverse:actual positive input=1;check complete integer range1..1 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 Mobius roundtrip m=1 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:actual positive input for mu=1 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 Mobius roundtrip m=1 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:input=1;COMPLETE prime multiset=[];distinct primes=[] 操作後 mu=1;empty product case=是;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=1 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 := div(1, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=1 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 Mobius roundtrip m=1 inverse F(n/1):actual positive input=1;check complete integer range1..1 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=1 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=1 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=1 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=1 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=1 inverse F(n/1) full forward divisor sum := sum(15) 操作後 Mobius roundtrip m=1 inverse F(n/1) full forward divisor sum = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=1 inverse mu(1) times SAME F(n/1) := mul(1, 15) 操作後 Mobius roundtrip m=1 inverse mu(1) times SAME F(n/1) = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=1 inverse complete inverse-term sum := sum(15) 操作後 Mobius roundtrip m=1 inverse complete inverse-term sum = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=1 inverse direct ORIGINAL a times n := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=1 inverse direct ORIGINAL a times n = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=1 inverse direct plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=1 inverse direct plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 Mobius roundtrip m=1 inverse:actual n=1;ALL [d,mu(d),n/d,F(n/d),mu(d)*F(n/d)] rows=[[1, 1, 1, 15, 15]] 操作後 complete reconstructed=15;direct f(n)=15;sum_d mu(d)sum_e|n/d f(e)=sum_e|n f(e)sum_d|n/e mu(d)=f(n) 條件：無 有限雙和可換序，d*e|n；內層mu和在n/e=1時為1，否則由不同prime子集合正負配對為0，故只留e=n。n=1也有d=1、mu1=1，不混另一等價公式的index。 步驟識別與依賴規則：mobinv_general_finite_double_sum_and_Mobius_cancellation · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 Mobius roundtrip m=2 forward:actual positive input=2;check complete integer range1..2 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 forward f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=2 forward f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 forward f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=2 forward f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 forward f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=2 forward f(2) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 forward f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=2 forward f(2) plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 forward full forward divisor sum := sum(15, 19) 操作後 Mobius roundtrip m=2 forward full forward divisor sum = 34 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse:actual positive input=2;check complete integer range1..2 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:actual positive input for mu=1 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:input=1;COMPLETE prime multiset=[];distinct primes=[] 操作後 mu=1;empty product case=是;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 := div(2, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1):actual positive input=2;check complete integer range1..2 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) full forward divisor sum := sum(15, 19) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) full forward divisor sum = 34 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse mu(1) times SAME F(n/1) := mul(1, 34) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse mu(1) times SAME F(n/1) = 34 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:actual positive input for mu=2 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=2>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · implies操作前 exhausted trial divisors below2;terminal remaining=2;d*d>remaining;ORIGINAL n=2 操作後 complete increasing prime multiset=[2];full product=2;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S039 S041 · implies操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:input=2;COMPLETE prime multiset=[2];distinct primes=[2] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse n divided by ORIGINAL divisor2 := div(2, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse n divided by ORIGINAL divisor2 = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · implies操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2):actual positive input=1;check complete integer range1..1 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2) full forward divisor sum := sum(15) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2) full forward divisor sum = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse mu(2) times SAME F(n/2) := mul(-1, 15) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse mu(2) times SAME F(n/2) = -15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse complete inverse-term sum := sum(34, -15) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse complete inverse-term sum = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse direct ORIGINAL a times n := mul(4, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse direct ORIGINAL a times n = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse direct plus ORIGINAL b := sum(8, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=2 inverse direct plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · implies操作前 Mobius roundtrip m=2 inverse:actual n=2;ALL [d,mu(d),n/d,F(n/d),mu(d)*F(n/d)] rows=[[1, 1, 2, 34, 34], [2, -1, 1, 15, -15]] 操作後 complete reconstructed=19;direct f(n)=19;sum_d mu(d)sum_e|n/d f(e)=sum_e|n f(e)sum_d|n/e mu(d)=f(n) 條件：無 有限雙和可換序，d*e|n；內層mu和在n/e=1時為1，否則由不同prime子集合正負配對為0，故只留e=n。n=1也有d=1、mu1=1，不混另一等價公式的index。 步驟識別與依賴規則：mobinv_general_finite_double_sum_and_Mobius_cancellation · 依賴：G001, S050 S052 · implies操作前 Mobius roundtrip m=3 forward:actual positive input=3;check complete integer range1..3 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 3];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=3 forward f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=3 forward f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=3 forward f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=3 forward f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=3 forward f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=3 forward f(3) ORIGINAL a times divisor = 12 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=3 forward f(3) plus ORIGINAL b := sum(12, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=3 forward f(3) plus ORIGINAL b = 23 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=3 forward full forward divisor sum := sum(15, 23) 操作後 Mobius roundtrip m=3 forward full forward divisor sum = 38 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · implies操作前 Mobius roundtrip m=3 inverse:actual positive input=3;check complete integer range1..3 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 3];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S057 S059 · implies操作前 Mobius roundtrip m=3 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:actual positive input for mu=1 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S058 S060 · implies操作前 Mobius roundtrip m=3 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:input=1;COMPLETE prime multiset=[];distinct primes=[] 操作後 mu=1;empty product case=是;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=3 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 := div(3, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=3 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 = 3 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · implies操作前 Mobius roundtrip m=3 inverse F(n/1):actual positive input=3;check complete integer range1..3 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 3];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=3 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=3 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=3 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=3 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063 S065 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=3 inverse F(n/1) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=3 inverse F(n/1) f(3) ORIGINAL a times divisor = 12 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064 S066 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=3 inverse F(n/1) f(3) plus ORIGINAL b := sum(12, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=3 inverse F(n/1) f(3) plus ORIGINAL b = 23 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=3 inverse F(n/1) full forward divisor sum := sum(15, 23) 操作後 Mobius roundtrip m=3 inverse F(n/1) full forward divisor sum = 38 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=3 inverse mu(1) times SAME F(n/1) := mul(1, 38) 操作後 Mobius roundtrip m=3 inverse mu(1) times SAME F(n/1) = 38 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067 S069 · implies操作前 Mobius roundtrip m=3 inverse Mobius at ORIGINAL divisor3:actual positive input for mu=3 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S068 S070 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=3>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S069 S071 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 3) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 3 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070 S072 · implies操作前 exhausted trial divisors below2;terminal remaining=3;d*d>remaining;ORIGINAL n=3 操作後 complete increasing prime multiset=[3];full product=3;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S071 S073 · implies操作前 Mobius roundtrip m=3 inverse Mobius at ORIGINAL divisor3:input=3;COMPLETE prime multiset=[3];distinct primes=[3] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S072 S074 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=3 inverse n divided by ORIGINAL divisor3 := div(3, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=3 inverse n divided by ORIGINAL divisor3 = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S073 S075 · implies操作前 Mobius roundtrip m=3 inverse F(n/3):actual positive input=1;check complete integer range1..1 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S074 S076 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=3 inverse F(n/3) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=3 inverse F(n/3) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S075 S077 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=3 inverse F(n/3) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=3 inverse F(n/3) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S076 S078 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=3 inverse F(n/3) full forward divisor sum := sum(15) 操作後 Mobius roundtrip m=3 inverse F(n/3) full forward divisor sum = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S077 S079 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=3 inverse mu(3) times SAME F(n/3) := mul(-1, 15) 操作後 Mobius roundtrip m=3 inverse mu(3) times SAME F(n/3) = -15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S078 S080 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=3 inverse complete inverse-term sum := sum(38, -15) 操作後 Mobius roundtrip m=3 inverse complete inverse-term sum = 23 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S079 S081 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=3 inverse direct ORIGINAL a times n := mul(4, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=3 inverse direct ORIGINAL a times n = 12 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S080 S082 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=3 inverse direct plus ORIGINAL b := sum(12, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=3 inverse direct plus ORIGINAL b = 23 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S081 S083 · implies操作前 Mobius roundtrip m=3 inverse:actual n=3;ALL [d,mu(d),n/d,F(n/d),mu(d)*F(n/d)] rows=[[1, 1, 3, 38, 38], [3, -1, 1, 15, -15]] 操作後 complete reconstructed=23;direct f(n)=23;sum_d mu(d)sum_e|n/d f(e)=sum_e|n f(e)sum_d|n/e mu(d)=f(n) 條件：無 有限雙和可換序，d*e|n；內層mu和在n/e=1時為1，否則由不同prime子集合正負配對為0，故只留e=n。n=1也有d=1、mu1=1，不混另一等價公式的index。 步驟識別與依賴規則：mobinv_general_finite_double_sum_and_Mobius_cancellation · 依賴：G001, S082 S084 · implies操作前 Mobius roundtrip m=4 forward:actual positive input=4;check complete integer range1..4 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S083 S085 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 forward f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=4 forward f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S084 S086 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 forward f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=4 forward f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S085 S087 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 forward f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=4 forward f(2) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S086 S088 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 forward f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=4 forward f(2) plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S087 S089 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 forward f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=4 forward f(4) ORIGINAL a times divisor = 16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S088 S090 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 forward f(4) plus ORIGINAL b := sum(16, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=4 forward f(4) plus ORIGINAL b = 27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S089 S091 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 forward full forward divisor sum := sum(15, 19, 27) 操作後 Mobius roundtrip m=4 forward full forward divisor sum = 61 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S090 S092 · implies操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse:actual positive input=4;check complete integer range1..4 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S091 S093 · implies操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:actual positive input for mu=1 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S092 S094 · implies操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:input=1;COMPLETE prime multiset=[];distinct primes=[] 操作後 mu=1;empty product case=是;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S093 S095 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 := div(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S094 S096 · implies操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1):actual positive input=4;check complete integer range1..4 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S095 S097 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S096 S098 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S097 S099 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S098 S100 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S099 S101 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(4) ORIGINAL a times divisor = 16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S100 S102 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(4) plus ORIGINAL b := sum(16, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(4) plus ORIGINAL b = 27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S101 S103 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) full forward divisor sum := sum(15, 19, 27) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) full forward divisor sum = 61 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S102 S104 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse mu(1) times SAME F(n/1) := mul(1, 61) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse mu(1) times SAME F(n/1) = 61 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S103 S105 · implies操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:actual positive input for mu=2 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S104 S106 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=2>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S105 S107 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S106 S108 · implies操作前 exhausted trial divisors below2;terminal remaining=2;d*d>remaining;ORIGINAL n=2 操作後 complete increasing prime multiset=[2];full product=2;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S107 S109 · implies操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:input=2;COMPLETE prime multiset=[2];distinct primes=[2] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S108 S110 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse n divided by ORIGINAL divisor2 := div(4, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse n divided by ORIGINAL divisor2 = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S109 S111 · implies操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2):actual positive input=2;check complete integer range1..2 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S110 S112 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S111 S113 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S112 S114 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) f(2) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S113 S115 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) f(2) plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S114 S116 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) full forward divisor sum := sum(15, 19) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) full forward divisor sum = 34 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S115 S117 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse mu(2) times SAME F(n/2) := mul(-1, 34) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse mu(2) times SAME F(n/2) = -34 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S116 S118 · implies操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse Mobius at ORIGINAL divisor4:actual positive input for mu=4 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S117 S119 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=4>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S118 S120 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(4, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S119 S121 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence1 := div(2, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence1 = 1 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S120 S122 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=4;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=2;next remaining=1;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S121 S123 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S122 S124 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S123 S125 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=1;d*d>remaining;ORIGINAL n=4 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 2];full product=4;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S124 S126 · implies操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse Mobius at ORIGINAL divisor4:input=4;COMPLETE prime multiset=[2, 2];distinct primes=[2] 操作後 mu=0;empty product case=否;repeated prime=是 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S125 S127 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse n divided by ORIGINAL divisor4 := div(4, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse n divided by ORIGINAL divisor4 = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S126 S128 · implies操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/4):actual positive input=1;check complete integer range1..1 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S127 S129 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/4) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/4) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S128 S130 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/4) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/4) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S129 S131 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/4) full forward divisor sum := sum(15) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/4) full forward divisor sum = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S130 S132 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse mu(4) times SAME F(n/4) := mul(0, 15) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse mu(4) times SAME F(n/4) = 0 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S131 S133 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse complete inverse-term sum := sum(61, -34, 0) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse complete inverse-term sum = 27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S132 S134 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse direct ORIGINAL a times n := mul(4, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse direct ORIGINAL a times n = 16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S133 S135 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse direct plus ORIGINAL b := sum(16, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=4 inverse direct plus ORIGINAL b = 27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S134 S136 · implies操作前 Mobius roundtrip m=4 inverse:actual n=4;ALL [d,mu(d),n/d,F(n/d),mu(d)*F(n/d)] rows=[[1, 1, 4, 61, 61], [2, -1, 2, 34, -34], [4, 0, 1, 15, 0]] 操作後 complete reconstructed=27;direct f(n)=27;sum_d mu(d)sum_e|n/d f(e)=sum_e|n f(e)sum_d|n/e mu(d)=f(n) 條件：無 有限雙和可換序，d*e|n；內層mu和在n/e=1時為1，否則由不同prime子集合正負配對為0，故只留e=n。n=1也有d=1、mu1=1，不混另一等價公式的index。 步驟識別與依賴規則：mobinv_general_finite_double_sum_and_Mobius_cancellation · 依賴：G001, S135 S137 · implies操作前 Mobius roundtrip m=6 forward:actual positive input=6;check complete integer range1..6 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 6];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S136 S138 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 forward f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=6 forward f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S137 S139 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 forward f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=6 forward f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S138 S140 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 forward f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=6 forward f(2) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S139 S141 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 forward f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=6 forward f(2) plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S140 S142 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 forward f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=6 forward f(3) ORIGINAL a times divisor = 12 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S141 S143 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 forward f(3) plus ORIGINAL b := sum(12, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=6 forward f(3) plus ORIGINAL b = 23 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S142 S144 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 forward f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 6) 操作後 Mobius roundtrip m=6 forward f(6) ORIGINAL a times divisor = 24 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S143 S145 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 forward f(6) plus ORIGINAL b := sum(24, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=6 forward f(6) plus ORIGINAL b = 35 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S144 S146 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 forward full forward divisor sum := sum(15, 19, 23, 35) 操作後 Mobius roundtrip m=6 forward full forward divisor sum = 92 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S145 S147 · implies操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse:actual positive input=6;check complete integer range1..6 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 6];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S146 S148 · implies操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:actual positive input for mu=1 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S147 S149 · implies操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:input=1;COMPLETE prime multiset=[];distinct primes=[] 操作後 mu=1;empty product case=是;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S148 S150 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 := div(6, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 = 6 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S149 S151 · implies操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1):actual positive input=6;check complete integer range1..6 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 6];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S150 S152 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S151 S153 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S152 S154 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S153 S155 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S154 S156 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1) f(3) ORIGINAL a times divisor = 12 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S155 S157 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1) f(3) plus ORIGINAL b := sum(12, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1) f(3) plus ORIGINAL b = 23 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S156 S158 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 6) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1) f(6) ORIGINAL a times divisor = 24 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S157 S159 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1) f(6) plus ORIGINAL b := sum(24, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1) f(6) plus ORIGINAL b = 35 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S158 S160 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1) full forward divisor sum := sum(15, 19, 23, 35) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1) full forward divisor sum = 92 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S159 S161 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse mu(1) times SAME F(n/1) := mul(1, 92) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse mu(1) times SAME F(n/1) = 92 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S160 S162 · implies操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:actual positive input for mu=2 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S161 S163 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=2>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S162 S164 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S163 S165 · implies操作前 exhausted trial divisors below2;terminal remaining=2;d*d>remaining;ORIGINAL n=2 操作後 complete increasing prime multiset=[2];full product=2;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S164 S166 · implies操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:input=2;COMPLETE prime multiset=[2];distinct primes=[2] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S165 S167 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse n divided by ORIGINAL divisor2 := div(6, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse n divided by ORIGINAL divisor2 = 3 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S166 S168 · implies操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/2):actual positive input=3;check complete integer range1..3 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 3];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S167 S169 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S168 S170 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S169 S171 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/2) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/2) f(3) ORIGINAL a times divisor = 12 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S170 S172 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/2) f(3) plus ORIGINAL b := sum(12, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/2) f(3) plus ORIGINAL b = 23 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S171 S173 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/2) full forward divisor sum := sum(15, 23) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/2) full forward divisor sum = 38 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S172 S174 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse mu(2) times SAME F(n/2) := mul(-1, 38) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse mu(2) times SAME F(n/2) = -38 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S173 S175 · implies操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse Mobius at ORIGINAL divisor3:actual positive input for mu=3 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S174 S176 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=3>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S175 S177 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 3) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 3 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S176 S178 · implies操作前 exhausted trial divisors below2;terminal remaining=3;d*d>remaining;ORIGINAL n=3 操作後 complete increasing prime multiset=[3];full product=3;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S177 S179 · implies操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse Mobius at ORIGINAL divisor3:input=3;COMPLETE prime multiset=[3];distinct primes=[3] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S178 S180 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse n divided by ORIGINAL divisor3 := div(6, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse n divided by ORIGINAL divisor3 = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S179 S181 · implies操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/3):actual positive input=2;check complete integer range1..2 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S180 S182 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/3) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/3) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S181 S183 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/3) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/3) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S182 S184 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/3) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/3) f(2) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S183 S185 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/3) f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/3) f(2) plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S184 S186 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/3) full forward divisor sum := sum(15, 19) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/3) full forward divisor sum = 34 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S185 S187 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse mu(3) times SAME F(n/3) := mul(-1, 34) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse mu(3) times SAME F(n/3) = -34 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S186 S188 · implies操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse Mobius at ORIGINAL divisor6:actual positive input for mu=6 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S187 S189 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=6>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S188 S190 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(6, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 3 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S189 S191 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=6;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=3;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S190 S192 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S191 S193 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 3) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 6 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S192 S194 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=3;d*d>remaining;ORIGINAL n=6 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 3];full product=6;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S193 S195 · implies操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse Mobius at ORIGINAL divisor6:input=6;COMPLETE prime multiset=[2, 3];distinct primes=[2, 3] 操作後 mu=1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S194 S196 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse n divided by ORIGINAL divisor6 := div(6, 6) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse n divided by ORIGINAL divisor6 = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S195 S197 · implies操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/6):actual positive input=1;check complete integer range1..1 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S196 S198 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/6) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/6) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S197 S199 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/6) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/6) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S198 S200 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/6) full forward divisor sum := sum(15) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/6) full forward divisor sum = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S199 S201 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse mu(6) times SAME F(n/6) := mul(1, 15) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse mu(6) times SAME F(n/6) = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S200 S202 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse complete inverse-term sum := sum(92, -38, -34, 15) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse complete inverse-term sum = 35 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S201 S203 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse direct ORIGINAL a times n := mul(4, 6) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse direct ORIGINAL a times n = 24 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S202 S204 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse direct plus ORIGINAL b := sum(24, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=6 inverse direct plus ORIGINAL b = 35 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S203 S205 · implies操作前 Mobius roundtrip m=6 inverse:actual n=6;ALL [d,mu(d),n/d,F(n/d),mu(d)*F(n/d)] rows=[[1, 1, 6, 92, 92], [2, -1, 3, 38, -38], [3, -1, 2, 34, -34], [6, 1, 1, 15, 15]] 操作後 complete reconstructed=35;direct f(n)=35;sum_d mu(d)sum_e|n/d f(e)=sum_e|n f(e)sum_d|n/e mu(d)=f(n) 條件：無 有限雙和可換序，d*e|n；內層mu和在n/e=1時為1，否則由不同prime子集合正負配對為0，故只留e=n。n=1也有d=1、mu1=1，不混另一等價公式的index。 步驟識別與依賴規則：mobinv_general_finite_double_sum_and_Mobius_cancellation · 依賴：G001, S204 S206 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 forward:actual positive input=8;check complete integer range1..8 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4, 8];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S205 S207 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 forward f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=8 forward f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S206 S208 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 forward f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=8 forward f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S207 S209 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 forward f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=8 forward f(2) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S208 S210 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 forward f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=8 forward f(2) plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S209 S211 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 forward f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=8 forward f(4) ORIGINAL a times divisor = 16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S210 S212 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 forward f(4) plus ORIGINAL b := sum(16, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=8 forward f(4) plus ORIGINAL b = 27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S211 S213 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 forward f(8) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 8) 操作後 Mobius roundtrip m=8 forward f(8) ORIGINAL a times divisor = 32 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S212 S214 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 forward f(8) plus ORIGINAL b := sum(32, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=8 forward f(8) plus ORIGINAL b = 43 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S213 S215 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 forward full forward divisor sum := sum(15, 19, 27, 43) 操作後 Mobius roundtrip m=8 forward full forward divisor sum = 104 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S214 S216 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse:actual positive input=8;check complete integer range1..8 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4, 8];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S215 S217 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:actual positive input for mu=1 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S216 S218 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:input=1;COMPLETE prime multiset=[];distinct primes=[] 操作後 mu=1;empty product case=是;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S217 S219 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 := div(8, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S218 S220 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1):actual positive input=8;check complete integer range1..8 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4, 8];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S219 S221 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S220 S222 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S221 S223 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S222 S224 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S223 S225 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(4) ORIGINAL a times divisor = 16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S224 S226 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(4) plus ORIGINAL b := sum(16, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(4) plus ORIGINAL b = 27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S225 S227 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(8) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 8) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(8) ORIGINAL a times divisor = 32 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S226 S228 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(8) plus ORIGINAL b := sum(32, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(8) plus ORIGINAL b = 43 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S227 S229 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) full forward divisor sum := sum(15, 19, 27, 43) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) full forward divisor sum = 104 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S228 S230 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse mu(1) times SAME F(n/1) := mul(1, 104) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse mu(1) times SAME F(n/1) = 104 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S229 S231 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:actual positive input for mu=2 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S230 S232 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=2>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S231 S233 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S232 S234 · implies操作前 exhausted trial divisors below2;terminal remaining=2;d*d>remaining;ORIGINAL n=2 操作後 complete increasing prime multiset=[2];full product=2;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S233 S235 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:input=2;COMPLETE prime multiset=[2];distinct primes=[2] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S234 S236 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse n divided by ORIGINAL divisor2 := div(8, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse n divided by ORIGINAL divisor2 = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S235 S237 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2):actual positive input=4;check complete integer range1..4 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S236 S238 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S237 S239 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S238 S240 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(2) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S239 S241 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(2) plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S240 S242 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(4) ORIGINAL a times divisor = 16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S241 S243 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(4) plus ORIGINAL b := sum(16, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(4) plus ORIGINAL b = 27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S242 S244 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) full forward divisor sum := sum(15, 19, 27) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) full forward divisor sum = 61 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S243 S245 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse mu(2) times SAME F(n/2) := mul(-1, 61) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse mu(2) times SAME F(n/2) = -61 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S244 S246 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse Mobius at ORIGINAL divisor4:actual positive input for mu=4 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S245 S247 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=4>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S246 S248 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(4, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S247 S249 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence1 := div(2, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence1 = 1 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S248 S250 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=4;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=2;next remaining=1;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S249 S251 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S250 S252 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S251 S253 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=1;d*d>remaining;ORIGINAL n=4 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 2];full product=4;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S252 S254 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse Mobius at ORIGINAL divisor4:input=4;COMPLETE prime multiset=[2, 2];distinct primes=[2] 操作後 mu=0;empty product case=否;repeated prime=是 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S253 S255 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse n divided by ORIGINAL divisor4 := div(8, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse n divided by ORIGINAL divisor4 = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S254 S256 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4):actual positive input=2;check complete integer range1..2 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S255 S257 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S256 S258 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S257 S259 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) f(2) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S258 S260 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) f(2) plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S259 S261 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) full forward divisor sum := sum(15, 19) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) full forward divisor sum = 34 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S260 S262 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse mu(4) times SAME F(n/4) := mul(0, 34) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse mu(4) times SAME F(n/4) = 0 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S261 S263 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse Mobius at ORIGINAL divisor8:actual positive input for mu=8 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S262 S264 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=8>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S263 S265 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(8, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S264 S266 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence1 := div(4, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence1 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S265 S267 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence2 := div(2, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence2 = 1 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S266 S268 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=8;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=3;next remaining=1;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2, 2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S267 S269 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S268 S270 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S269 S271 · calculation操作前 upf canonical complete product factor2 := mul(4, 2) 操作後 upf canonical complete product factor2 = 8 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S270 S272 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=1;d*d>remaining;ORIGINAL n=8 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 2, 2];full product=8;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S271 S273 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse Mobius at ORIGINAL divisor8:input=8;COMPLETE prime multiset=[2, 2, 2];distinct primes=[2] 操作後 mu=0;empty product case=否;repeated prime=是 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S272 S274 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse n divided by ORIGINAL divisor8 := div(8, 8) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse n divided by ORIGINAL divisor8 = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S273 S275 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/8):actual positive input=1;check complete integer range1..1 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S274 S276 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/8) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/8) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S275 S277 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/8) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/8) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S276 S278 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/8) full forward divisor sum := sum(15) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/8) full forward divisor sum = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S277 S279 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse mu(8) times SAME F(n/8) := mul(0, 15) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse mu(8) times SAME F(n/8) = 0 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S278 S280 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse complete inverse-term sum := sum(104, -61, 0, 0) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse complete inverse-term sum = 43 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S279 S281 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse direct ORIGINAL a times n := mul(4, 8) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse direct ORIGINAL a times n = 32 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S280 S282 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse direct plus ORIGINAL b := sum(32, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=8 inverse direct plus ORIGINAL b = 43 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S281 S283 · implies操作前 Mobius roundtrip m=8 inverse:actual n=8;ALL [d,mu(d),n/d,F(n/d),mu(d)*F(n/d)] rows=[[1, 1, 8, 104, 104], [2, -1, 4, 61, -61], [4, 0, 2, 34, 0], [8, 0, 1, 15, 0]] 操作後 complete reconstructed=43;direct f(n)=43;sum_d mu(d)sum_e|n/d f(e)=sum_e|n f(e)sum_d|n/e mu(d)=f(n) 條件：無 有限雙和可換序，d*e|n；內層mu和在n/e=1時為1，否則由不同prime子集合正負配對為0，故只留e=n。n=1也有d=1、mu1=1，不混另一等價公式的index。 步驟識別與依賴規則：mobinv_general_finite_double_sum_and_Mobius_cancellation · 依賴：G001, S282 S284 · implies操作前 Mobius roundtrip m=12 forward:actual positive input=12;check complete integer range1..12 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 4, 6, 12];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S283 S285 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 forward f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=12 forward f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S284 S286 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 forward f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=12 forward f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S285 S287 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 forward f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=12 forward f(2) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S286 S288 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 forward f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=12 forward f(2) plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S287 S289 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 forward f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=12 forward f(3) ORIGINAL a times divisor = 12 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S288 S290 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 forward f(3) plus ORIGINAL b := sum(12, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=12 forward f(3) plus ORIGINAL b = 23 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S289 S291 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 forward f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=12 forward f(4) ORIGINAL a times divisor = 16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S290 S292 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 forward f(4) plus ORIGINAL b := sum(16, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=12 forward f(4) plus ORIGINAL b = 27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S291 S293 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 forward f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 6) 操作後 Mobius roundtrip m=12 forward f(6) ORIGINAL a times divisor = 24 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S292 S294 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 forward f(6) plus ORIGINAL b := sum(24, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=12 forward f(6) plus ORIGINAL b = 35 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S293 S295 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 forward f(12) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 12) 操作後 Mobius roundtrip m=12 forward f(12) ORIGINAL a times divisor = 48 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S294 S296 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 forward f(12) plus ORIGINAL b := sum(48, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=12 forward f(12) plus ORIGINAL b = 59 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S295 S297 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 forward full forward divisor sum := sum(15, 19, 23, 27, 35, 59) 操作後 Mobius roundtrip m=12 forward full forward divisor sum = 178 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S296 S298 · implies操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse:actual positive input=12;check complete integer range1..12 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 4, 6, 12];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S297 S299 · implies操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:actual positive input for mu=1 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S298 S300 · implies操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:input=1;COMPLETE prime multiset=[];distinct primes=[] 操作後 mu=1;empty product case=是;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S299 S301 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 := div(12, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 = 12 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S300 S302 · implies操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1):actual positive input=12;check complete integer range1..12 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 4, 6, 12];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S301 S303 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S302 S304 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S303 S305 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S304 S306 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S305 S307 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(3) ORIGINAL a times divisor = 12 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S306 S308 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(3) plus ORIGINAL b := sum(12, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(3) plus ORIGINAL b = 23 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S307 S309 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(4) ORIGINAL a times divisor = 16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S308 S310 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(4) plus ORIGINAL b := sum(16, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(4) plus ORIGINAL b = 27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S309 S311 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 6) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(6) ORIGINAL a times divisor = 24 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S310 S312 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(6) plus ORIGINAL b := sum(24, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(6) plus ORIGINAL b = 35 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S311 S313 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(12) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 12) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(12) ORIGINAL a times divisor = 48 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S312 S314 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(12) plus ORIGINAL b := sum(48, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(12) plus ORIGINAL b = 59 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S313 S315 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) full forward divisor sum := sum(15, 19, 23, 27, 35, 59) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) full forward divisor sum = 178 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S314 S316 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse mu(1) times SAME F(n/1) := mul(1, 178) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse mu(1) times SAME F(n/1) = 178 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S315 S317 · implies操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:actual positive input for mu=2 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S316 S318 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=2>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S317 S319 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S318 S320 · implies操作前 exhausted trial divisors below2;terminal remaining=2;d*d>remaining;ORIGINAL n=2 操作後 complete increasing prime multiset=[2];full product=2;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S319 S321 · implies操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:input=2;COMPLETE prime multiset=[2];distinct primes=[2] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S320 S322 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse n divided by ORIGINAL divisor2 := div(12, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse n divided by ORIGINAL divisor2 = 6 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S321 S323 · implies操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2):actual positive input=6;check complete integer range1..6 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 6];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S322 S324 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S323 S325 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S324 S326 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2) f(2) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S325 S327 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2) f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2) f(2) plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S326 S328 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2) f(3) ORIGINAL a times divisor = 12 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S327 S329 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2) f(3) plus ORIGINAL b := sum(12, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2) f(3) plus ORIGINAL b = 23 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S328 S330 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 6) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2) f(6) ORIGINAL a times divisor = 24 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S329 S331 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2) f(6) plus ORIGINAL b := sum(24, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2) f(6) plus ORIGINAL b = 35 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S330 S332 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2) full forward divisor sum := sum(15, 19, 23, 35) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2) full forward divisor sum = 92 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S331 S333 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse mu(2) times SAME F(n/2) := mul(-1, 92) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse mu(2) times SAME F(n/2) = -92 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S332 S334 · implies操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse Mobius at ORIGINAL divisor3:actual positive input for mu=3 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S333 S335 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=3>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S334 S336 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 3) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 3 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S335 S337 · implies操作前 exhausted trial divisors below2;terminal remaining=3;d*d>remaining;ORIGINAL n=3 操作後 complete increasing prime multiset=[3];full product=3;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S336 S338 · implies操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse Mobius at ORIGINAL divisor3:input=3;COMPLETE prime multiset=[3];distinct primes=[3] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S337 S339 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse n divided by ORIGINAL divisor3 := div(12, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse n divided by ORIGINAL divisor3 = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S338 S340 · implies操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/3):actual positive input=4;check complete integer range1..4 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S339 S341 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/3) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/3) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S340 S342 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/3) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/3) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S341 S343 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/3) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/3) f(2) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S342 S344 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/3) f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/3) f(2) plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S343 S345 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/3) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/3) f(4) ORIGINAL a times divisor = 16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S344 S346 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/3) f(4) plus ORIGINAL b := sum(16, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/3) f(4) plus ORIGINAL b = 27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S345 S347 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/3) full forward divisor sum := sum(15, 19, 27) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/3) full forward divisor sum = 61 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S346 S348 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse mu(3) times SAME F(n/3) := mul(-1, 61) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse mu(3) times SAME F(n/3) = -61 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S347 S349 · implies操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse Mobius at ORIGINAL divisor4:actual positive input for mu=4 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S348 S350 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=4>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S349 S351 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(4, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S350 S352 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence1 := div(2, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence1 = 1 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S351 S353 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=4;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=2;next remaining=1;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S352 S354 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S353 S355 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S354 S356 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=1;d*d>remaining;ORIGINAL n=4 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 2];full product=4;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S355 S357 · implies操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse Mobius at ORIGINAL divisor4:input=4;COMPLETE prime multiset=[2, 2];distinct primes=[2] 操作後 mu=0;empty product case=否;repeated prime=是 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S356 S358 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse n divided by ORIGINAL divisor4 := div(12, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse n divided by ORIGINAL divisor4 = 3 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S357 S359 · implies操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/4):actual positive input=3;check complete integer range1..3 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 3];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S358 S360 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/4) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/4) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S359 S361 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/4) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/4) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S360 S362 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/4) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/4) f(3) ORIGINAL a times divisor = 12 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S361 S363 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/4) f(3) plus ORIGINAL b := sum(12, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/4) f(3) plus ORIGINAL b = 23 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S362 S364 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/4) full forward divisor sum := sum(15, 23) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/4) full forward divisor sum = 38 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S363 S365 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse mu(4) times SAME F(n/4) := mul(0, 38) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse mu(4) times SAME F(n/4) = 0 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S364 S366 · implies操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse Mobius at ORIGINAL divisor6:actual positive input for mu=6 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S365 S367 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=6>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S366 S368 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(6, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 3 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S367 S369 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=6;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=3;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S368 S370 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S369 S371 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 3) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 6 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S370 S372 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=3;d*d>remaining;ORIGINAL n=6 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 3];full product=6;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S371 S373 · implies操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse Mobius at ORIGINAL divisor6:input=6;COMPLETE prime multiset=[2, 3];distinct primes=[2, 3] 操作後 mu=1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S372 S374 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse n divided by ORIGINAL divisor6 := div(12, 6) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse n divided by ORIGINAL divisor6 = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S373 S375 · implies操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/6):actual positive input=2;check complete integer range1..2 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S374 S376 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/6) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/6) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S375 S377 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/6) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/6) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S376 S378 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/6) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/6) f(2) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S377 S379 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/6) f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/6) f(2) plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S378 S380 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/6) full forward divisor sum := sum(15, 19) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/6) full forward divisor sum = 34 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S379 S381 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse mu(6) times SAME F(n/6) := mul(1, 34) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse mu(6) times SAME F(n/6) = 34 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S380 S382 · implies操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse Mobius at ORIGINAL divisor12:actual positive input for mu=12 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S381 S383 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=12>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S382 S384 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(12, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 6 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S383 S385 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence1 := div(6, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence1 = 3 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S384 S386 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=12;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=2;next remaining=3;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S385 S387 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S386 S388 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S387 S389 · calculation操作前 upf canonical complete product factor2 := mul(4, 3) 操作後 upf canonical complete product factor2 = 12 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S388 S390 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=3;d*d>remaining;ORIGINAL n=12 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 2, 3];full product=12;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S389 S391 · implies操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse Mobius at ORIGINAL divisor12:input=12;COMPLETE prime multiset=[2, 2, 3];distinct primes=[2, 3] 操作後 mu=0;empty product case=否;repeated prime=是 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S390 S392 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse n divided by ORIGINAL divisor12 := div(12, 12) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse n divided by ORIGINAL divisor12 = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S391 S393 · implies操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/12):actual positive input=1;check complete integer range1..1 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S392 S394 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/12) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/12) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S393 S395 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/12) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/12) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S394 S396 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/12) full forward divisor sum := sum(15) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/12) full forward divisor sum = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S395 S397 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse mu(12) times SAME F(n/12) := mul(0, 15) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse mu(12) times SAME F(n/12) = 0 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S396 S398 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse complete inverse-term sum := sum(178, -92, -61, 0, 34, 0) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse complete inverse-term sum = 59 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S397 S399 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse direct ORIGINAL a times n := mul(4, 12) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse direct ORIGINAL a times n = 48 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S398 S400 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse direct plus ORIGINAL b := sum(48, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=12 inverse direct plus ORIGINAL b = 59 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S399 S401 · implies操作前 Mobius roundtrip m=12 inverse:actual n=12;ALL [d,mu(d),n/d,F(n/d),mu(d)*F(n/d)] rows=[[1, 1, 12, 178, 178], [2, -1, 6, 92, -92], [3, -1, 4, 61, -61], [4, 0, 3, 38, 0], [6, 1, 2, 34, 34], [12, 0, 1, 15, 0]] 操作後 complete reconstructed=59;direct f(n)=59;sum_d mu(d)sum_e|n/d f(e)=sum_e|n f(e)sum_d|n/e mu(d)=f(n) 條件：無 有限雙和可換序，d*e|n；內層mu和在n/e=1時為1，否則由不同prime子集合正負配對為0，故只留e=n。n=1也有d=1、mu1=1，不混另一等價公式的index。 步驟識別與依賴規則：mobinv_general_finite_double_sum_and_Mobius_cancellation · 依賴：G001, S400 S402 · implies操作前 Mobius roundtrip m=24 forward:actual positive input=24;check complete integer range1..24 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S401 S403 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 forward f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=24 forward f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S402 S404 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 forward f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 forward f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S403 S405 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 forward f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=24 forward f(2) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S404 S406 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 forward f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 forward f(2) plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S405 S407 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 forward f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=24 forward f(3) ORIGINAL a times divisor = 12 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S406 S408 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 forward f(3) plus ORIGINAL b := sum(12, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 forward f(3) plus ORIGINAL b = 23 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S407 S409 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 forward f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=24 forward f(4) ORIGINAL a times divisor = 16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S408 S410 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 forward f(4) plus ORIGINAL b := sum(16, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 forward f(4) plus ORIGINAL b = 27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S409 S411 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 forward f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 6) 操作後 Mobius roundtrip m=24 forward f(6) ORIGINAL a times divisor = 24 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S410 S412 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 forward f(6) plus ORIGINAL b := sum(24, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 forward f(6) plus ORIGINAL b = 35 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S411 S413 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 forward f(8) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 8) 操作後 Mobius roundtrip m=24 forward f(8) ORIGINAL a times divisor = 32 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S412 S414 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 forward f(8) plus ORIGINAL b := sum(32, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 forward f(8) plus ORIGINAL b = 43 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S413 S415 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 forward f(12) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 12) 操作後 Mobius roundtrip m=24 forward f(12) ORIGINAL a times divisor = 48 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S414 S416 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 forward f(12) plus ORIGINAL b := sum(48, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 forward f(12) plus ORIGINAL b = 59 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S415 S417 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 forward f(24) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 24) 操作後 Mobius roundtrip m=24 forward f(24) ORIGINAL a times divisor = 96 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S416 S418 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 forward f(24) plus ORIGINAL b := sum(96, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 forward f(24) plus ORIGINAL b = 107 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S417 S419 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 forward full forward divisor sum := sum(15, 19, 23, 27, 35, 43, 59, 107) 操作後 Mobius roundtrip m=24 forward full forward divisor sum = 328 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S418 S420 · implies操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse:actual positive input=24;check complete integer range1..24 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S419 S421 · implies操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:actual positive input for mu=1 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S420 S422 · implies操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:input=1;COMPLETE prime multiset=[];distinct primes=[] 操作後 mu=1;empty product case=是;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S421 S423 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 := div(24, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 = 24 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S422 S424 · implies操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1):actual positive input=24;check complete integer range1..24 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S423 S425 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S424 S426 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S425 S427 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S426 S428 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S427 S429 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(3) ORIGINAL a times divisor = 12 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S428 S430 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(3) plus ORIGINAL b := sum(12, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(3) plus ORIGINAL b = 23 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S429 S431 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(4) ORIGINAL a times divisor = 16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S430 S432 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(4) plus ORIGINAL b := sum(16, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(4) plus ORIGINAL b = 27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S431 S433 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 6) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(6) ORIGINAL a times divisor = 24 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S432 S434 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(6) plus ORIGINAL b := sum(24, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(6) plus ORIGINAL b = 35 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S433 S435 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(8) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 8) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(8) ORIGINAL a times divisor = 32 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S434 S436 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(8) plus ORIGINAL b := sum(32, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(8) plus ORIGINAL b = 43 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S435 S437 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(12) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 12) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(12) ORIGINAL a times divisor = 48 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S436 S438 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(12) plus ORIGINAL b := sum(48, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(12) plus ORIGINAL b = 59 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S437 S439 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(24) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 24) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(24) ORIGINAL a times divisor = 96 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S438 S440 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(24) plus ORIGINAL b := sum(96, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(24) plus ORIGINAL b = 107 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S439 S441 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) full forward divisor sum := sum(15, 19, 23, 27, 35, 43, 59, 107) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) full forward divisor sum = 328 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S440 S442 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse mu(1) times SAME F(n/1) := mul(1, 328) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse mu(1) times SAME F(n/1) = 328 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S441 S443 · implies操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:actual positive input for mu=2 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S442 S444 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=2>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S443 S445 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S444 S446 · implies操作前 exhausted trial divisors below2;terminal remaining=2;d*d>remaining;ORIGINAL n=2 操作後 complete increasing prime multiset=[2];full product=2;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S445 S447 · implies操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:input=2;COMPLETE prime multiset=[2];distinct primes=[2] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S446 S448 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse n divided by ORIGINAL divisor2 := div(24, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse n divided by ORIGINAL divisor2 = 12 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S447 S449 · implies操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2):actual positive input=12;check complete integer range1..12 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 4, 6, 12];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S448 S450 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S449 S451 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S450 S452 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(2) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S451 S453 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(2) plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S452 S454 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(3) ORIGINAL a times divisor = 12 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S453 S455 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(3) plus ORIGINAL b := sum(12, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(3) plus ORIGINAL b = 23 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S454 S456 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(4) ORIGINAL a times divisor = 16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S455 S457 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(4) plus ORIGINAL b := sum(16, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(4) plus ORIGINAL b = 27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S456 S458 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 6) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(6) ORIGINAL a times divisor = 24 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S457 S459 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(6) plus ORIGINAL b := sum(24, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(6) plus ORIGINAL b = 35 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S458 S460 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(12) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 12) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(12) ORIGINAL a times divisor = 48 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S459 S461 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(12) plus ORIGINAL b := sum(48, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(12) plus ORIGINAL b = 59 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S460 S462 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) full forward divisor sum := sum(15, 19, 23, 27, 35, 59) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) full forward divisor sum = 178 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S461 S463 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse mu(2) times SAME F(n/2) := mul(-1, 178) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse mu(2) times SAME F(n/2) = -178 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S462 S464 · implies操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse Mobius at ORIGINAL divisor3:actual positive input for mu=3 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S463 S465 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=3>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S464 S466 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 3) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 3 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S465 S467 · implies操作前 exhausted trial divisors below2;terminal remaining=3;d*d>remaining;ORIGINAL n=3 操作後 complete increasing prime multiset=[3];full product=3;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S466 S468 · implies操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse Mobius at ORIGINAL divisor3:input=3;COMPLETE prime multiset=[3];distinct primes=[3] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S467 S469 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse n divided by ORIGINAL divisor3 := div(24, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse n divided by ORIGINAL divisor3 = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S468 S470 · implies操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3):actual positive input=8;check complete integer range1..8 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4, 8];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S469 S471 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S470 S472 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S471 S473 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3) f(2) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S472 S474 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3) f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3) f(2) plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S473 S475 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3) f(4) ORIGINAL a times divisor = 16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S474 S476 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3) f(4) plus ORIGINAL b := sum(16, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3) f(4) plus ORIGINAL b = 27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S475 S477 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3) f(8) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 8) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3) f(8) ORIGINAL a times divisor = 32 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S476 S478 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3) f(8) plus ORIGINAL b := sum(32, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3) f(8) plus ORIGINAL b = 43 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S477 S479 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3) full forward divisor sum := sum(15, 19, 27, 43) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3) full forward divisor sum = 104 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S478 S480 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse mu(3) times SAME F(n/3) := mul(-1, 104) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse mu(3) times SAME F(n/3) = -104 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S479 S481 · implies操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse Mobius at ORIGINAL divisor4:actual positive input for mu=4 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S480 S482 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=4>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S481 S483 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(4, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S482 S484 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence1 := div(2, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence1 = 1 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S483 S485 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=4;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=2;next remaining=1;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S484 S486 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S485 S487 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S486 S488 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=1;d*d>remaining;ORIGINAL n=4 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 2];full product=4;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S487 S489 · implies操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse Mobius at ORIGINAL divisor4:input=4;COMPLETE prime multiset=[2, 2];distinct primes=[2] 操作後 mu=0;empty product case=否;repeated prime=是 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S488 S490 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse n divided by ORIGINAL divisor4 := div(24, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse n divided by ORIGINAL divisor4 = 6 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S489 S491 · implies操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4):actual positive input=6;check complete integer range1..6 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 6];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S490 S492 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S491 S493 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S492 S494 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4) f(2) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S493 S495 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4) f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4) f(2) plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S494 S496 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4) f(3) ORIGINAL a times divisor = 12 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S495 S497 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4) f(3) plus ORIGINAL b := sum(12, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4) f(3) plus ORIGINAL b = 23 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S496 S498 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 6) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4) f(6) ORIGINAL a times divisor = 24 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S497 S499 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4) f(6) plus ORIGINAL b := sum(24, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4) f(6) plus ORIGINAL b = 35 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S498 S500 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4) full forward divisor sum := sum(15, 19, 23, 35) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4) full forward divisor sum = 92 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S499 S501 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse mu(4) times SAME F(n/4) := mul(0, 92) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse mu(4) times SAME F(n/4) = 0 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S500 S502 · implies操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse Mobius at ORIGINAL divisor6:actual positive input for mu=6 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S501 S503 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=6>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S502 S504 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(6, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 3 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S503 S505 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=6;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=3;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S504 S506 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S505 S507 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 3) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 6 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S506 S508 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=3;d*d>remaining;ORIGINAL n=6 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 3];full product=6;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S507 S509 · implies操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse Mobius at ORIGINAL divisor6:input=6;COMPLETE prime multiset=[2, 3];distinct primes=[2, 3] 操作後 mu=1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S508 S510 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse n divided by ORIGINAL divisor6 := div(24, 6) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse n divided by ORIGINAL divisor6 = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S509 S511 · implies操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/6):actual positive input=4;check complete integer range1..4 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S510 S512 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/6) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/6) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S511 S513 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/6) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/6) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S512 S514 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/6) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/6) f(2) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S513 S515 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/6) f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/6) f(2) plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S514 S516 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/6) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 4) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/6) f(4) ORIGINAL a times divisor = 16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S515 S517 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/6) f(4) plus ORIGINAL b := sum(16, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/6) f(4) plus ORIGINAL b = 27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S516 S518 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/6) full forward divisor sum := sum(15, 19, 27) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/6) full forward divisor sum = 61 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S517 S519 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse mu(6) times SAME F(n/6) := mul(1, 61) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse mu(6) times SAME F(n/6) = 61 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S518 S520 · implies操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse Mobius at ORIGINAL divisor8:actual positive input for mu=8 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S519 S521 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=8>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S520 S522 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(8, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S521 S523 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence1 := div(4, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence1 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S522 S524 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence2 := div(2, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence2 = 1 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S523 S525 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=8;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=3;next remaining=1;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2, 2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S524 S526 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S525 S527 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S526 S528 · calculation操作前 upf canonical complete product factor2 := mul(4, 2) 操作後 upf canonical complete product factor2 = 8 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S527 S529 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=1;d*d>remaining;ORIGINAL n=8 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 2, 2];full product=8;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S528 S530 · implies操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse Mobius at ORIGINAL divisor8:input=8;COMPLETE prime multiset=[2, 2, 2];distinct primes=[2] 操作後 mu=0;empty product case=否;repeated prime=是 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S529 S531 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse n divided by ORIGINAL divisor8 := div(24, 8) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse n divided by ORIGINAL divisor8 = 3 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S530 S532 · implies操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/8):actual positive input=3;check complete integer range1..3 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 3];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S531 S533 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/8) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/8) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S532 S534 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/8) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/8) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S533 S535 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/8) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 3) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/8) f(3) ORIGINAL a times divisor = 12 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S534 S536 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/8) f(3) plus ORIGINAL b := sum(12, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/8) f(3) plus ORIGINAL b = 23 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S535 S537 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/8) full forward divisor sum := sum(15, 23) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/8) full forward divisor sum = 38 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S536 S538 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse mu(8) times SAME F(n/8) := mul(0, 38) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse mu(8) times SAME F(n/8) = 0 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S537 S539 · implies操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse Mobius at ORIGINAL divisor12:actual positive input for mu=12 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S538 S540 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=12>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S539 S541 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(12, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 6 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S540 S542 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence1 := div(6, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence1 = 3 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S541 S543 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=12;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=2;next remaining=3;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S542 S544 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S543 S545 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S544 S546 · calculation操作前 upf canonical complete product factor2 := mul(4, 3) 操作後 upf canonical complete product factor2 = 12 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S545 S547 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=3;d*d>remaining;ORIGINAL n=12 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 2, 3];full product=12;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S546 S548 · implies操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse Mobius at ORIGINAL divisor12:input=12;COMPLETE prime multiset=[2, 2, 3];distinct primes=[2, 3] 操作後 mu=0;empty product case=否;repeated prime=是 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S547 S549 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse n divided by ORIGINAL divisor12 := div(24, 12) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse n divided by ORIGINAL divisor12 = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S548 S550 · implies操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/12):actual positive input=2;check complete integer range1..2 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S549 S551 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/12) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/12) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S550 S552 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/12) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/12) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S551 S553 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/12) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/12) f(2) ORIGINAL a times divisor = 8 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S552 S554 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/12) f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/12) f(2) plus ORIGINAL b = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S553 S555 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/12) full forward divisor sum := sum(15, 19) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/12) full forward divisor sum = 34 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S554 S556 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse mu(12) times SAME F(n/12) := mul(0, 34) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse mu(12) times SAME F(n/12) = 0 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S555 S557 · implies操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse Mobius at ORIGINAL divisor24:actual positive input for mu=24 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S556 S558 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=24>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S557 S559 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(24, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 12 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S558 S560 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence1 := div(12, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence1 = 6 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S559 S561 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence2 := div(6, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence2 = 3 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S560 S562 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=24;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=3;next remaining=3;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2, 2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S561 S563 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S562 S564 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S563 S565 · calculation操作前 upf canonical complete product factor2 := mul(4, 2) 操作後 upf canonical complete product factor2 = 8 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S564 S566 · calculation操作前 upf canonical complete product factor3 := mul(8, 3) 操作後 upf canonical complete product factor3 = 24 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S565 S567 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=3;d*d>remaining;ORIGINAL n=24 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 2, 2, 3];full product=24;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S566 S568 · implies操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse Mobius at ORIGINAL divisor24:input=24;COMPLETE prime multiset=[2, 2, 2, 3];distinct primes=[2, 3] 操作後 mu=0;empty product case=否;repeated prime=是 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S567 S569 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse n divided by ORIGINAL divisor24 := div(24, 24) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse n divided by ORIGINAL divisor24 = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S568 S570 · implies操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/24):actual positive input=1;check complete integer range1..1 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S569 S571 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/24) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/24) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S570 S572 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/24) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/24) f(1) plus ORIGINAL b = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S571 S573 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/24) full forward divisor sum := sum(15) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/24) full forward divisor sum = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S572 S574 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse mu(24) times SAME F(n/24) := mul(0, 15) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse mu(24) times SAME F(n/24) = 0 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S573 S575 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse complete inverse-term sum := sum(328, -178, -104, 0, 61, 0, 0, 0) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse complete inverse-term sum = 107 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S574 S576 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse direct ORIGINAL a times n := mul(4, 24) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse direct ORIGINAL a times n = 96 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S575 S577 · calculation操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse direct plus ORIGINAL b := sum(96, 11) 操作後 Mobius roundtrip m=24 inverse direct plus ORIGINAL b = 107 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S576 S578 · implies操作前 Mobius roundtrip m=24 inverse:actual n=24;ALL [d,mu(d),n/d,F(n/d),mu(d)*F(n/d)] rows=[[1, 1, 24, 328, 328], [2, -1, 12, 178, -178], [3, -1, 8, 104, -104], [4, 0, 6, 92, 0], [6, 1, 4, 61, 61], [8, 0, 3, 38, 0], [12, 0, 2, 34, 0], [24, 0, 1, 15, 0]] 操作後 complete reconstructed=107;direct f(n)=107;sum_d mu(d)sum_e|n/d f(e)=sum_e|n f(e)sum_d|n/e mu(d)=f(n) 條件：無 有限雙和可換序，d*e|n；內層mu和在n/e=1時為1，否則由不同prime子集合正負配對為0，故只留e=n。n=1也有d=1、mu1=1，不混另一等價公式的index。 步驟識別與依賴規則：mobinv_general_finite_double_sum_and_Mobius_cancellation · 依賴：G001, S577 ## 逐步反向核對 - S578 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S577 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse direct plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S576 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse direct ORIGINAL a times n，不以小數近似替代。 - S575 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse complete inverse-term sum，不以小數近似替代。 - S574 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse mu(24) times SAME F(n/24)，不以小數近似替代。 - S573 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/24) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S572 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/24) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S571 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/24) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S570 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S569 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse n divided by ORIGINAL divisor24，不以小數近似替代。 - S568 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S567 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S566 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor3，不以小數近似替代。 - S565 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。 - S564 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S563 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S562 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S561 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence2，不以小數近似替代。 - S560 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。 - S559 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S558 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S557 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S556 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse mu(12) times SAME F(n/12)，不以小數近似替代。 - S555 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/12) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S554 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/12) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S553 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/12) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S552 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/12) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S551 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/12) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S550 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S549 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse n divided by ORIGINAL divisor12，不以小數近似替代。 - S548 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S547 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S546 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。 - S545 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S544 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S543 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S542 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。 - S541 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S540 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S539 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S538 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse mu(8) times SAME F(n/8)，不以小數近似替代。 - S537 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/8) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S536 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/8) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S535 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/8) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S534 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/8) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S533 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/8) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S532 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S531 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse n divided by ORIGINAL divisor8，不以小數近似替代。 - S530 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S529 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S528 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。 - S527 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S526 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S525 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S524 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence2，不以小數近似替代。 - S523 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。 - S522 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S521 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S520 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S519 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse mu(6) times SAME F(n/6)，不以小數近似替代。 - S518 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/6) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S517 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/6) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S516 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/6) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S515 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/6) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S514 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/6) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S513 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/6) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S512 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/6) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S511 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S510 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse n divided by ORIGINAL divisor6，不以小數近似替代。 - S509 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S508 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S507 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S506 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S505 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S504 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S503 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S502 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S501 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse mu(4) times SAME F(n/4)，不以小數近似替代。 - S500 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S499 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S498 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S497 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S496 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S495 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S494 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S493 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S492 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/4) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S491 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S490 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse n divided by ORIGINAL divisor4，不以小數近似替代。 - S489 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S488 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S487 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S486 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S485 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S484 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。 - S483 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S482 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S481 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S480 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse mu(3) times SAME F(n/3)，不以小數近似替代。 - S479 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S478 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3) f(8) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S477 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3) f(8) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S476 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S475 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S474 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S473 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S472 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S471 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/3) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S470 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S469 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse n divided by ORIGINAL divisor3，不以小數近似替代。 - S468 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S467 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S466 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S465 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S464 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S463 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse mu(2) times SAME F(n/2)，不以小數近似替代。 - S462 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S461 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(12) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S460 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(12) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S459 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S458 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S457 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S456 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S455 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S454 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S453 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S452 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S451 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S450 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S449 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S448 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse n divided by ORIGINAL divisor2，不以小數近似替代。 - S447 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S446 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S445 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S444 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S443 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S442 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse mu(1) times SAME F(n/1)，不以小數近似替代。 - S441 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S440 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(24) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S439 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(24) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S438 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(12) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S437 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(12) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S436 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(8) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S435 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(8) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S434 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S433 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S432 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S431 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S430 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S429 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S428 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S427 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S426 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S425 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S424 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S423 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 inverse n divided by ORIGINAL divisor1，不以小數近似替代。 - S422 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S421 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S420 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S419 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 forward full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S418 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 forward f(24) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S417 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 forward f(24) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S416 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 forward f(12) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S415 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 forward f(12) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S414 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 forward f(8) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S413 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 forward f(8) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S412 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 forward f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S411 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 forward f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S410 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 forward f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S409 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 forward f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S408 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 forward f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S407 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 forward f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S406 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 forward f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S405 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 forward f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S404 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 forward f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S403 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=24 forward f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S402 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S401 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S400 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse direct plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S399 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse direct ORIGINAL a times n，不以小數近似替代。 - S398 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse complete inverse-term sum，不以小數近似替代。 - S397 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse mu(12) times SAME F(n/12)，不以小數近似替代。 - S396 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/12) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S395 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/12) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S394 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/12) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S393 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S392 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse n divided by ORIGINAL divisor12，不以小數近似替代。 - S391 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S390 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S389 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。 - S388 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S387 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S386 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S385 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。 - S384 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S383 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S382 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S381 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse mu(6) times SAME F(n/6)，不以小數近似替代。 - S380 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/6) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S379 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/6) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S378 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/6) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S377 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/6) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S376 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/6) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S375 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S374 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse n divided by ORIGINAL divisor6，不以小數近似替代。 - S373 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S372 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S371 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S370 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S369 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S368 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S367 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S366 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S365 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse mu(4) times SAME F(n/4)，不以小數近似替代。 - S364 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/4) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S363 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/4) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S362 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/4) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S361 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/4) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S360 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/4) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S359 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S358 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse n divided by ORIGINAL divisor4，不以小數近似替代。 - S357 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S356 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S355 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S354 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S353 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S352 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。 - S351 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S350 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S349 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S348 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse mu(3) times SAME F(n/3)，不以小數近似替代。 - S347 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/3) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S346 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/3) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S345 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/3) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S344 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/3) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S343 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/3) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S342 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/3) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S341 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/3) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S340 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S339 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse n divided by ORIGINAL divisor3，不以小數近似替代。 - S338 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S337 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S336 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S335 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S334 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S333 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse mu(2) times SAME F(n/2)，不以小數近似替代。 - S332 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S331 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S330 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S329 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S328 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S327 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S326 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S325 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S324 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S323 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S322 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse n divided by ORIGINAL divisor2，不以小數近似替代。 - S321 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S320 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S319 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S318 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S317 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S316 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse mu(1) times SAME F(n/1)，不以小數近似替代。 - S315 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S314 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(12) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S313 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(12) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S312 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S311 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S310 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S309 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S308 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S307 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S306 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S305 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S304 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S303 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S302 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S301 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 inverse n divided by ORIGINAL divisor1，不以小數近似替代。 - S300 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S299 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S298 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S297 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 forward full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S296 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 forward f(12) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S295 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 forward f(12) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S294 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 forward f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S293 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 forward f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S292 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 forward f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S291 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 forward f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S290 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 forward f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S289 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 forward f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S288 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 forward f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S287 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 forward f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S286 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 forward f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S285 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=12 forward f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S284 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S283 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S282 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse direct plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S281 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse direct ORIGINAL a times n，不以小數近似替代。 - S280 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse complete inverse-term sum，不以小數近似替代。 - S279 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse mu(8) times SAME F(n/8)，不以小數近似替代。 - S278 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/8) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S277 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/8) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S276 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/8) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S275 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S274 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse n divided by ORIGINAL divisor8，不以小數近似替代。 - S273 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S272 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S271 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。 - S270 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S269 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S268 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S267 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence2，不以小數近似替代。 - S266 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。 - S265 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S264 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S263 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S262 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse mu(4) times SAME F(n/4)，不以小數近似替代。 - S261 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S260 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S259 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S258 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S257 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/4) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S256 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S255 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse n divided by ORIGINAL divisor4，不以小數近似替代。 - S254 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S253 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S252 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S251 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S250 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S249 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。 - S248 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S247 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S246 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S245 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse mu(2) times SAME F(n/2)，不以小數近似替代。 - S244 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S243 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S242 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S241 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S240 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S239 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S238 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S237 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S236 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse n divided by ORIGINAL divisor2，不以小數近似替代。 - S235 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S234 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S233 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S232 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S231 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S230 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse mu(1) times SAME F(n/1)，不以小數近似替代。 - S229 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S228 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(8) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S227 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(8) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S226 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S225 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S224 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S223 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S222 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S221 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S220 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S219 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 inverse n divided by ORIGINAL divisor1，不以小數近似替代。 - S218 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S217 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S216 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S215 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 forward full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S214 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 forward f(8) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S213 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 forward f(8) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S212 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 forward f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S211 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 forward f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S210 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 forward f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S209 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 forward f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S208 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 forward f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S207 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=8 forward f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S206 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S205 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S204 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse direct plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S203 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse direct ORIGINAL a times n，不以小數近似替代。 - S202 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse complete inverse-term sum，不以小數近似替代。 - S201 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse mu(6) times SAME F(n/6)，不以小數近似替代。 - S200 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/6) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S199 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/6) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S198 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/6) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S197 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S196 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse n divided by ORIGINAL divisor6，不以小數近似替代。 - S195 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S194 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S193 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S192 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S191 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S190 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S189 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S188 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S187 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse mu(3) times SAME F(n/3)，不以小數近似替代。 - S186 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/3) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S185 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/3) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S184 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/3) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S183 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/3) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S182 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/3) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S181 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S180 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse n divided by ORIGINAL divisor3，不以小數近似替代。 - S179 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S178 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S177 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S176 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S175 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S174 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse mu(2) times SAME F(n/2)，不以小數近似替代。 - S173 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/2) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S172 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/2) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S171 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/2) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S170 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S169 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S168 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S167 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse n divided by ORIGINAL divisor2，不以小數近似替代。 - S166 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S165 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S164 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S163 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S162 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S161 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse mu(1) times SAME F(n/1)，不以小數近似替代。 - S160 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S159 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S158 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S157 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S156 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S155 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S154 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S153 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S152 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S151 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S150 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 inverse n divided by ORIGINAL divisor1，不以小數近似替代。 - S149 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S148 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S147 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S146 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 forward full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S145 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 forward f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S144 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 forward f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S143 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 forward f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S142 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 forward f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S141 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 forward f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S140 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 forward f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S139 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 forward f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S138 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=6 forward f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S137 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S136 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S135 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse direct plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S134 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse direct ORIGINAL a times n，不以小數近似替代。 - S133 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse complete inverse-term sum，不以小數近似替代。 - S132 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse mu(4) times SAME F(n/4)，不以小數近似替代。 - S131 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/4) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S130 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/4) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S129 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/4) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S128 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S127 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse n divided by ORIGINAL divisor4，不以小數近似替代。 - S126 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S125 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S124 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S123 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S122 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S121 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。 - S120 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S119 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S118 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S117 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse mu(2) times SAME F(n/2)，不以小數近似替代。 - S116 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S115 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S114 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S113 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S112 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S111 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S110 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse n divided by ORIGINAL divisor2，不以小數近似替代。 - S109 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S108 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S107 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S106 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S105 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S104 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse mu(1) times SAME F(n/1)，不以小數近似替代。 - S103 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S102 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S101 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S100 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S099 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S098 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S097 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S096 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S095 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 inverse n divided by ORIGINAL divisor1，不以小數近似替代。 - S094 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S093 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S092 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S091 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 forward full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S090 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 forward f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 forward f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S088 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 forward f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 forward f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S086 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 forward f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=4 forward f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S084 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S083 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S082 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=3 inverse direct plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=3 inverse direct ORIGINAL a times n，不以小數近似替代。 - S080 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=3 inverse complete inverse-term sum，不以小數近似替代。 - S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=3 inverse mu(3) times SAME F(n/3)，不以小數近似替代。 - S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=3 inverse F(n/3) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=3 inverse F(n/3) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S076 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=3 inverse F(n/3) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S075 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=3 inverse n divided by ORIGINAL divisor3，不以小數近似替代。 - S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S072 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S069 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=3 inverse mu(1) times SAME F(n/1)，不以小數近似替代。 - S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=3 inverse F(n/1) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=3 inverse F(n/1) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=3 inverse F(n/1) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=3 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=3 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=3 inverse n divided by ORIGINAL divisor1，不以小數近似替代。 - S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S059 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=3 forward full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=3 forward f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=3 forward f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=3 forward f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=3 forward f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse direct plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse direct ORIGINAL a times n，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse complete inverse-term sum，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse mu(2) times SAME F(n/2)，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse n divided by ORIGINAL divisor2，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse mu(1) times SAME F(n/1)，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse n divided by ORIGINAL divisor1，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 forward full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 forward f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 forward f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 forward f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 forward f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=1 inverse direct plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=1 inverse direct ORIGINAL a times n，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=1 inverse complete inverse-term sum，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=1 inverse mu(1) times SAME F(n/1)，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=1 inverse F(n/1) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=1 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=1 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=1 inverse n divided by ORIGINAL divisor1，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=1 forward full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=1 forward f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=1 forward f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (24, [[1, 15, 15, 15], [2, 34, 19, 19], [3, 38, 23, 23], [4, 61, 27, 27], [6, 92, 35, 35], [8, 104, 43, 43], [12, 178, 59, 59], [24, 328, 107, 107]], 是, finite_divisor_poset_roundtrip) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: e80ce7c614da51f165da13a06272e5a0e15a09ebfa13c48251cf7b07760a3849 - candidate record SHA-256: 3881ecc71a9490d8d22187f53bcde38776de8d1e904f3a19f392d7a395caceed - semantic review receipt SHA-256: 49cf6ec60211c92d1c0c302663af4d44479635dc8181fb61a20c3374288e21c5 - question-first witness SHA-256: 10fd25b4643e5ff12753daceaa61f9f2499bf381f65ef96e9d21185c7c0d0c5e - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 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