# 第 22130 題：有限因數格上的Möbius反演 [返回所在分頁 111](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/111/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-foundations/#q-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-0080) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0043-22130 · q-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-0080 ## 原題與已知條件 positive integer domain、完整positive divisor set與完整UPF-derived Mobius values。操作=mobinv-incomplete-divisor-boundary；資料={"n":42,"a":5,"b":1,"omitted_divisor":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — positive integer domain、完整positive divisor set與完整UPF-derived Mobius values。操作=mobinv-incomplete-divisor-boundary；資料={"n":42,"a":5,"b":1,"omitted_divisor":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-mobius-inversion-finite-divisors](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-mobius-inversion-finite-divisors/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=mobinv-incomplete-divisor-boundary;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[n, all_divisors, omitted_divisor, partial_divisors, complete_value, partial_value, f_n, incomplete_certificate, boundary] 條件：無 原題歷史介面標記保留，直接列來源有序欄位，不需JavaScript；MVT由原mode選欄序，不補空欄或看答案形狀猜。tag與固定No保原聲稱範圍。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse:actual positive input=42;check complete integer range1..42 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:actual positive input for mu=1 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:input=1;COMPLETE prime multiset=[];distinct primes=[] 操作後 mu=1;empty product case=是;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor1 := div(42, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor1 = 42 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1):actual positive input=42;check complete integer range1..42 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(5, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b := sum(5, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b = 6 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(5, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor = 10 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b := sum(10, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b = 11 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(5, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(3) ORIGINAL a times divisor = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(3) plus ORIGINAL b := sum(15, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(3) plus ORIGINAL b = 16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(5, 6) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(6) ORIGINAL a times divisor = 30 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(6) plus ORIGINAL b := sum(30, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(6) plus ORIGINAL b = 31 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(5, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(7) ORIGINAL a times divisor = 35 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(7) plus ORIGINAL b := sum(35, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(7) plus ORIGINAL b = 36 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(14) ORIGINAL a times divisor := mul(5, 14) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(14) ORIGINAL a times divisor = 70 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(14) plus ORIGINAL b := sum(70, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(14) plus ORIGINAL b = 71 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(21) ORIGINAL a times divisor := mul(5, 21) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(21) ORIGINAL a times divisor = 105 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(21) plus ORIGINAL b := sum(105, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(21) plus ORIGINAL b = 106 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(42) ORIGINAL a times divisor := mul(5, 42) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(42) ORIGINAL a times divisor = 210 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(42) plus ORIGINAL b := sum(210, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(42) plus ORIGINAL b = 211 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) full forward divisor sum := sum(6, 11, 16, 31, 36, 71, 106, 211) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) full forward divisor sum = 488 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(1) times SAME F(n/1) := mul(1, 488) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(1) times SAME F(n/1) = 488 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:actual positive input for mu=2 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=2>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 exhausted trial divisors below2;terminal remaining=2;d*d>remaining;ORIGINAL n=2 操作後 complete increasing prime multiset=[2];full product=2;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:input=2;COMPLETE prime multiset=[2];distinct primes=[2] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor2 := div(42, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor2 = 21 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2):actual positive input=21;check complete integer range1..21 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 3, 7, 21];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(5, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b := sum(5, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b = 6 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(5, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(3) ORIGINAL a times divisor = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(3) plus ORIGINAL b := sum(15, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(3) plus ORIGINAL b = 16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(5, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(7) ORIGINAL a times divisor = 35 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(7) plus ORIGINAL b := sum(35, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(7) plus ORIGINAL b = 36 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(21) ORIGINAL a times divisor := mul(5, 21) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(21) ORIGINAL a times divisor = 105 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(21) plus ORIGINAL b := sum(105, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(21) plus ORIGINAL b = 106 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) full forward divisor sum := sum(6, 16, 36, 106) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) full forward divisor sum = 164 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(2) times SAME F(n/2) := mul(-1, 164) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(2) times SAME F(n/2) = -164 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor3:actual positive input for mu=3 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S041 S043 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=3>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 3) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 3 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · implies操作前 exhausted trial divisors below2;terminal remaining=3;d*d>remaining;ORIGINAL n=3 操作後 complete increasing prime multiset=[3];full product=3;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S044 S046 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor3:input=3;COMPLETE prime multiset=[3];distinct primes=[3] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor3 := div(42, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor3 = 14 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3):actual positive input=14;check complete integer range1..14 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 7, 14];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(5, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(1) ORIGINAL a times divisor = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(1) plus ORIGINAL b := sum(5, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(1) plus ORIGINAL b = 6 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(5, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(2) ORIGINAL a times divisor = 10 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(2) plus ORIGINAL b := sum(10, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(2) plus ORIGINAL b = 11 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(5, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(7) ORIGINAL a times divisor = 35 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(7) plus ORIGINAL b := sum(35, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(7) plus ORIGINAL b = 36 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(14) ORIGINAL a times divisor := mul(5, 14) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(14) ORIGINAL a times divisor = 70 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(14) plus ORIGINAL b := sum(70, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(14) plus ORIGINAL b = 71 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) full forward divisor sum := sum(6, 11, 36, 71) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) full forward divisor sum = 124 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(3) times SAME F(n/3) := mul(-1, 124) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(3) times SAME F(n/3) = -124 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor6:actual positive input for mu=6 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S058 S060 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=6>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(6, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 3 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=6;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=3;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 3) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 6 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063 S065 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=3;d*d>remaining;ORIGINAL n=6 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 3];full product=6;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S064 S066 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor6:input=6;COMPLETE prime multiset=[2, 3];distinct primes=[2, 3] 操作後 mu=1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor6 := div(42, 6) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor6 = 7 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6):actual positive input=7;check complete integer range1..7 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 7];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S067 S069 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(5, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(1) ORIGINAL a times divisor = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068 S070 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(1) plus ORIGINAL b := sum(5, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(1) plus ORIGINAL b = 6 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S069 S071 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(5, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(7) ORIGINAL a times divisor = 35 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070 S072 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(7) plus ORIGINAL b := sum(35, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(7) plus ORIGINAL b = 36 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071 S073 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) full forward divisor sum := sum(6, 36) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) full forward divisor sum = 42 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S072 S074 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(6) times SAME F(n/6) := mul(1, 42) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(6) times SAME F(n/6) = 42 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S073 S075 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor7:actual positive input for mu=7 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S074 S076 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=7>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S075 S077 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=7;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=7;remaining modulo2=1;extracted multiset=[] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S076 S078 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 7) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 7 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S077 S079 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=7 操作後 complete increasing prime multiset=[7];full product=7;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S078 S080 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor7:input=7;COMPLETE prime multiset=[7];distinct primes=[7] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S079 S081 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor7 := div(42, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor7 = 6 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S080 S082 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7):actual positive input=6;check complete integer range1..6 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 6];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S081 S083 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(5, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(1) ORIGINAL a times divisor = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S082 S084 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(1) plus ORIGINAL b := sum(5, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(1) plus ORIGINAL b = 6 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S083 S085 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(5, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(2) ORIGINAL a times divisor = 10 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S084 S086 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(2) plus ORIGINAL b := sum(10, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(2) plus ORIGINAL b = 11 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S085 S087 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(5, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(3) ORIGINAL a times divisor = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S086 S088 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(3) plus ORIGINAL b := sum(15, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(3) plus ORIGINAL b = 16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S087 S089 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(5, 6) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(6) ORIGINAL a times divisor = 30 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S088 S090 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(6) plus ORIGINAL b := sum(30, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(6) plus ORIGINAL b = 31 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S089 S091 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) full forward divisor sum := sum(6, 11, 16, 31) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) full forward divisor sum = 64 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S090 S092 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(7) times SAME F(n/7) := mul(-1, 64) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(7) times SAME F(n/7) = -64 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S091 S093 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor14:actual positive input for mu=14 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S092 S094 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=14>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S093 S095 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(14, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 7 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S094 S096 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=14;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=7;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S095 S097 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S096 S098 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 7) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 14 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S097 S099 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=14 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 7];full product=14;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S098 S100 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor14:input=14;COMPLETE prime multiset=[2, 7];distinct primes=[2, 7] 操作後 mu=1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S099 S101 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor14 := div(42, 14) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor14 = 3 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S100 S102 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14):actual positive input=3;check complete integer range1..3 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 3];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S101 S103 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(5, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(1) ORIGINAL a times divisor = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S102 S104 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(1) plus ORIGINAL b := sum(5, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(1) plus ORIGINAL b = 6 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S103 S105 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(5, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(3) ORIGINAL a times divisor = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S104 S106 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(3) plus ORIGINAL b := sum(15, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(3) plus ORIGINAL b = 16 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S105 S107 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) full forward divisor sum := sum(6, 16) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) full forward divisor sum = 22 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S106 S108 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(14) times SAME F(n/14) := mul(1, 22) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(14) times SAME F(n/14) = 22 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S107 S109 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor21:actual positive input for mu=21 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S108 S110 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=21>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S109 S111 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=21;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=21;remaining modulo2=1;extracted multiset=[] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S110 S112 · calculation操作前 upf extract divisor3 occurrence0 := div(21, 3) 操作後 upf extract divisor3 occurrence0 = 7 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S111 S113 · implies操作前 next divisor=3;previous remaining=21;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=7;remaining modulo3=1;extracted multiset=[3] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S112 S114 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 3) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 3 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S113 S115 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(3, 7) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 21 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S114 S116 · implies操作前 exhausted trial divisors below4;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=21 操作後 complete increasing prime multiset=[3, 7];full product=21;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S115 S117 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor21:input=21;COMPLETE prime multiset=[3, 7];distinct primes=[3, 7] 操作後 mu=1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S116 S118 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor21 := div(42, 21) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor21 = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S117 S119 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21):actual positive input=2;check complete integer range1..2 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S118 S120 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(5, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(1) ORIGINAL a times divisor = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S119 S121 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(1) plus ORIGINAL b := sum(5, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(1) plus ORIGINAL b = 6 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S120 S122 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(5, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(2) ORIGINAL a times divisor = 10 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S121 S123 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(2) plus ORIGINAL b := sum(10, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(2) plus ORIGINAL b = 11 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S122 S124 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) full forward divisor sum := sum(6, 11) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) full forward divisor sum = 17 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S123 S125 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(21) times SAME F(n/21) := mul(1, 17) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(21) times SAME F(n/21) = 17 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S124 S126 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor42:actual positive input for mu=42 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S125 S127 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=42>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S126 S128 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(42, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 21 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S127 S129 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=42;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=21;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S128 S130 · calculation操作前 upf extract divisor3 occurrence1 := div(21, 3) 操作後 upf extract divisor3 occurrence1 = 7 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S129 S131 · implies操作前 next divisor=3;previous remaining=21;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=7;remaining modulo3=1;extracted multiset=[2, 3] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S130 S132 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S131 S133 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 3) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 6 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S132 S134 · calculation操作前 upf canonical complete product factor2 := mul(6, 7) 操作後 upf canonical complete product factor2 = 42 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S133 S135 · implies操作前 exhausted trial divisors below4;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=42 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 3, 7];full product=42;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S134 S136 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor42:input=42;COMPLETE prime multiset=[2, 3, 7];distinct primes=[2, 3, 7] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S135 S137 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor42 := div(42, 42) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor42 = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S136 S138 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42):actual positive input=1;check complete integer range1..1 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S137 S139 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(5, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(1) ORIGINAL a times divisor = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S138 S140 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(1) plus ORIGINAL b := sum(5, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(1) plus ORIGINAL b = 6 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S139 S141 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) full forward divisor sum := sum(6) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) full forward divisor sum = 6 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S140 S142 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(42) times SAME F(n/42) := mul(-1, 6) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(42) times SAME F(n/42) = -6 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S141 S143 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse complete inverse-term sum := sum(488, -164, -124, 42, -64, 22, 17, -6) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse complete inverse-term sum = 211 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S142 S144 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse direct ORIGINAL a times n := mul(5, 42) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse direct ORIGINAL a times n = 210 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S143 S145 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse direct plus ORIGINAL b := sum(210, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse direct plus ORIGINAL b = 211 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S144 S146 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse:actual n=42;ALL [d,mu(d),n/d,F(n/d),mu(d)*F(n/d)] rows=[[1, 1, 42, 488, 488], [2, -1, 21, 164, -164], [3, -1, 14, 124, -124], [6, 1, 7, 42, 42], [7, -1, 6, 64, -64], [14, 1, 3, 22, 22], [21, 1, 2, 17, 17], [42, -1, 1, 6, -6]] 操作後 complete reconstructed=211;direct f(n)=211;sum_d mu(d)sum_e|n/d f(e)=sum_e|n f(e)sum_d|n/e mu(d)=f(n) 條件：無 有限雙和可換序，d*e|n；內層mu和在n/e=1時為1，否則由不同prime子集合正負配對為0，故只留e=n。n=1也有d=1、mu1=1，不混另一等價公式的index。 步驟識別與依賴規則：mobinv_general_finite_double_sum_and_Mobius_cancellation · 依賴：G001, S145 S147 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL omitted-divisor partial sum := sum(-164, -124, 42, -64, 22, 17, -6) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL omitted-divisor partial sum = -277 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S146 S148 · calculation操作前 Mobius inversion complete minus partial := sub(211, -277) 操作後 Mobius inversion complete minus partial = 488 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S147 S149 · implies操作前 ORIGINAL full divisors=[1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42];actual omitted divisor=1;remaining ORIGINAL-order divisors=[2, 3, 6, 7, 14, 21, 42] 操作後 complete=211=f(n)=211;partial=-277;lost term=488!=0;incomplete_certificate fixed No 條件：無 必須真漏一個divisor且其貢獻非零，使部分結果與目標不同；漏零項而恰巧相等不給本boundary證書。No拒絕不完整證書，不否認完整反演正確。 步驟識別與依賴規則：mobinv_omission_actual_nonzero_discriminative_term · 依賴：G001, S148 ## 逐步反向核對 - S149 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S148 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion complete minus partial，不以小數近似替代。 - S147 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL omitted-divisor partial sum，不以小數近似替代。 - S146 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S145 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse direct plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S144 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse direct ORIGINAL a times n，不以小數近似替代。 - S143 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse complete inverse-term sum，不以小數近似替代。 - S142 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(42) times SAME F(n/42)，不以小數近似替代。 - S141 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S140 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S139 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S138 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S137 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor42，不以小數近似替代。 - S136 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S135 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S134 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。 - S133 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S132 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S131 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S130 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor3 occurrence1，不以小數近似替代。 - S129 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S128 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S127 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S126 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S125 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(21) times SAME F(n/21)，不以小數近似替代。 - S124 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S123 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S122 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S121 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S120 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S119 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S118 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor21，不以小數近似替代。 - S117 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S116 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S115 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S114 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S113 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S112 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor3 occurrence0，不以小數近似替代。 - S111 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S110 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S109 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S108 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(14) times SAME F(n/14)，不以小數近似替代。 - S107 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S106 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S105 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S104 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S103 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S102 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S101 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor14，不以小數近似替代。 - S100 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S099 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S098 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S097 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S096 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S095 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S094 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S093 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S092 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(7) times SAME F(n/7)，不以小數近似替代。 - S091 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S090 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S088 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S086 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S082 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor7，不以小數近似替代。 - S080 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S079 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S077 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S075 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(6) times SAME F(n/6)，不以小數近似替代。 - S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S068 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor6，不以小數近似替代。 - S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S059 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(3) times SAME F(n/3)，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(14) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(14) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor3，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(2) times SAME F(n/2)，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(21) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(21) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor2，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(1) times SAME F(n/1)，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(42) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(42) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(21) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(21) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(14) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(14) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (42, [1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42], 1, [2, 3, 6, 7, 14, 21, 42], 211, -277, 211, 否, all_positive_divisors_and_consistent_d_to_n_over_d_indexing_required) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: ce73346e98f8fdc562d6f5456d852a1738b428014220489b2052164be42deb6b - candidate record SHA-256: a725bb08b99ed4178288a7649aaef091b827718269a3bab81da52665ffab2fa3 - semantic review receipt SHA-256: 49cf6ec60211c92d1c0c302663af4d44479635dc8181fb61a20c3374288e21c5 - question-first witness SHA-256: 10fd25b4643e5ff12753daceaa61f9f2499bf381f65ef96e9d21185c7c0d0c5e - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-0080.json)