# 第 22138 題：有限因數格上的Möbius反演 [返回所在分頁 111](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/111/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-foundations/#q-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-0088) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0043-22138 · q-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-0088 ## 原題與已知條件 positive integer domain、完整positive divisor set與完整UPF-derived Mobius values。操作=mobinv-incomplete-divisor-boundary；資料={"n":210,"a":13,"b":1,"omitted_divisor":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — positive integer domain、完整positive divisor set與完整UPF-derived Mobius values。操作=mobinv-incomplete-divisor-boundary；資料={"n":210,"a":13,"b":1,"omitted_divisor":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-mobius-inversion-finite-divisors](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-mobius-inversion-finite-divisors/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=mobinv-incomplete-divisor-boundary;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[n, all_divisors, omitted_divisor, partial_divisors, complete_value, partial_value, f_n, incomplete_certificate, boundary] 條件：無 原題歷史介面標記保留，直接列來源有序欄位，不需JavaScript；MVT由原mode選欄序，不補空欄或看答案形狀猜。tag與固定No保原聲稱範圍。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse:actual positive input=210;check complete integer range1..210 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:actual positive input for mu=1 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:input=1;COMPLETE prime multiset=[];distinct primes=[] 操作後 mu=1;empty product case=是;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor1 := div(210, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor1 = 210 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1):actual positive input=210;check complete integer range1..210 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor = 13 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b := sum(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b = 14 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor = 26 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b := sum(26, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b = 27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(3) ORIGINAL a times divisor = 39 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(3) plus ORIGINAL b := sum(39, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(3) plus ORIGINAL b = 40 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 5) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(5) ORIGINAL a times divisor = 65 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(5) plus ORIGINAL b := sum(65, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(5) plus ORIGINAL b = 66 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 6) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(6) ORIGINAL a times divisor = 78 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(6) plus ORIGINAL b := sum(78, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(6) plus ORIGINAL b = 79 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(7) ORIGINAL a times divisor = 91 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(7) plus ORIGINAL b := sum(91, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(7) plus ORIGINAL b = 92 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(10) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 10) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(10) ORIGINAL a times divisor = 130 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(10) plus ORIGINAL b := sum(130, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(10) plus ORIGINAL b = 131 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(14) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 14) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(14) ORIGINAL a times divisor = 182 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(14) plus ORIGINAL b := sum(182, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(14) plus ORIGINAL b = 183 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(15) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 15) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(15) ORIGINAL a times divisor = 195 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(15) plus ORIGINAL b := sum(195, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(15) plus ORIGINAL b = 196 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(21) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 21) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(21) ORIGINAL a times divisor = 273 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(21) plus ORIGINAL b := sum(273, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(21) plus ORIGINAL b = 274 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(30) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 30) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(30) ORIGINAL a times divisor = 390 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(30) plus ORIGINAL b := sum(390, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(30) plus ORIGINAL b = 391 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(35) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 35) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(35) ORIGINAL a times divisor = 455 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(35) plus ORIGINAL b := sum(455, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(35) plus ORIGINAL b = 456 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(42) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 42) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(42) ORIGINAL a times divisor = 546 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(42) plus ORIGINAL b := sum(546, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(42) plus ORIGINAL b = 547 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(70) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 70) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(70) ORIGINAL a times divisor = 910 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(70) plus ORIGINAL b := sum(910, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(70) plus ORIGINAL b = 911 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(105) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 105) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(105) ORIGINAL a times divisor = 1365 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(105) plus ORIGINAL b := sum(1365, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(105) plus ORIGINAL b = 1366 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(210) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 210) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(210) ORIGINAL a times divisor = 2730 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(210) plus ORIGINAL b := sum(2730, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(210) plus ORIGINAL b = 2731 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) full forward divisor sum := sum(14, 27, 40, 66, 79, 92, 131, 183, 196, 274, 391, 456, 547, 911, 1366, 2731) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) full forward divisor sum = 7504 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(1) times SAME F(n/1) := mul(1, 7504) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(1) times SAME F(n/1) = 7504 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:actual positive input for mu=2 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S040 S042 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=2>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 exhausted trial divisors below2;terminal remaining=2;d*d>remaining;ORIGINAL n=2 操作後 complete increasing prime multiset=[2];full product=2;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S043 S045 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:input=2;COMPLETE prime multiset=[2];distinct primes=[2] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor2 := div(210, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor2 = 105 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2):actual positive input=105;check complete integer range1..105 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor = 13 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b := sum(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b = 14 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(3) ORIGINAL a times divisor = 39 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(3) plus ORIGINAL b := sum(39, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(3) plus ORIGINAL b = 40 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 5) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(5) ORIGINAL a times divisor = 65 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(5) plus ORIGINAL b := sum(65, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(5) plus ORIGINAL b = 66 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(7) ORIGINAL a times divisor = 91 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(7) plus ORIGINAL b := sum(91, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(7) plus ORIGINAL b = 92 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(15) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 15) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(15) ORIGINAL a times divisor = 195 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(15) plus ORIGINAL b := sum(195, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(15) plus ORIGINAL b = 196 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(21) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 21) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(21) ORIGINAL a times divisor = 273 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(21) plus ORIGINAL b := sum(273, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(21) plus ORIGINAL b = 274 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058 S060 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(35) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 35) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(35) ORIGINAL a times divisor = 455 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(35) plus ORIGINAL b := sum(455, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(35) plus ORIGINAL b = 456 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(105) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 105) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(105) ORIGINAL a times divisor = 1365 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(105) plus ORIGINAL b := sum(1365, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(105) plus ORIGINAL b = 1366 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) full forward divisor sum := sum(14, 40, 66, 92, 196, 274, 456, 1366) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) full forward divisor sum = 2504 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063 S065 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(2) times SAME F(n/2) := mul(-1, 2504) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(2) times SAME F(n/2) = -2504 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064 S066 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor3:actual positive input for mu=3 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S065 S067 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=3>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S066 S068 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 3) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 3 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067 S069 · implies操作前 exhausted trial divisors below2;terminal remaining=3;d*d>remaining;ORIGINAL n=3 操作後 complete increasing prime multiset=[3];full product=3;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S068 S070 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor3:input=3;COMPLETE prime multiset=[3];distinct primes=[3] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S069 S071 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor3 := div(210, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor3 = 70 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070 S072 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3):actual positive input=70;check complete integer range1..70 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S071 S073 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(1) ORIGINAL a times divisor = 13 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S072 S074 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(1) plus ORIGINAL b := sum(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(1) plus ORIGINAL b = 14 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S073 S075 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(2) ORIGINAL a times divisor = 26 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S074 S076 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(2) plus ORIGINAL b := sum(26, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(2) plus ORIGINAL b = 27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S075 S077 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 5) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(5) ORIGINAL a times divisor = 65 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S076 S078 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(5) plus ORIGINAL b := sum(65, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(5) plus ORIGINAL b = 66 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S077 S079 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(7) ORIGINAL a times divisor = 91 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S078 S080 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(7) plus ORIGINAL b := sum(91, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(7) plus ORIGINAL b = 92 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S079 S081 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(10) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 10) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(10) ORIGINAL a times divisor = 130 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S080 S082 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(10) plus ORIGINAL b := sum(130, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(10) plus ORIGINAL b = 131 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S081 S083 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(14) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 14) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(14) ORIGINAL a times divisor = 182 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S082 S084 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(14) plus ORIGINAL b := sum(182, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(14) plus ORIGINAL b = 183 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S083 S085 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(35) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 35) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(35) ORIGINAL a times divisor = 455 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S084 S086 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(35) plus ORIGINAL b := sum(455, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(35) plus ORIGINAL b = 456 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S085 S087 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(70) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 70) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(70) ORIGINAL a times divisor = 910 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S086 S088 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(70) plus ORIGINAL b := sum(910, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(70) plus ORIGINAL b = 911 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S087 S089 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) full forward divisor sum := sum(14, 27, 66, 92, 131, 183, 456, 911) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) full forward divisor sum = 1880 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S088 S090 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(3) times SAME F(n/3) := mul(-1, 1880) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(3) times SAME F(n/3) = -1880 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S089 S091 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor5:actual positive input for mu=5 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S090 S092 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=5>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S091 S093 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=5;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=5;remaining modulo2=1;extracted multiset=[] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S092 S094 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 5) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 5 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S093 S095 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=5;d*d>remaining;ORIGINAL n=5 操作後 complete increasing prime multiset=[5];full product=5;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S094 S096 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor5:input=5;COMPLETE prime multiset=[5];distinct primes=[5] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S095 S097 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor5 := div(210, 5) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor5 = 42 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S096 S098 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5):actual positive input=42;check complete integer range1..42 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S097 S099 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(1) ORIGINAL a times divisor = 13 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S098 S100 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(1) plus ORIGINAL b := sum(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(1) plus ORIGINAL b = 14 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S099 S101 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(2) ORIGINAL a times divisor = 26 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S100 S102 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(2) plus ORIGINAL b := sum(26, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(2) plus ORIGINAL b = 27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S101 S103 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(3) ORIGINAL a times divisor = 39 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S102 S104 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(3) plus ORIGINAL b := sum(39, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(3) plus ORIGINAL b = 40 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S103 S105 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 6) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(6) ORIGINAL a times divisor = 78 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S104 S106 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(6) plus ORIGINAL b := sum(78, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(6) plus ORIGINAL b = 79 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S105 S107 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(7) ORIGINAL a times divisor = 91 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S106 S108 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(7) plus ORIGINAL b := sum(91, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(7) plus ORIGINAL b = 92 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S107 S109 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(14) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 14) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(14) ORIGINAL a times divisor = 182 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S108 S110 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(14) plus ORIGINAL b := sum(182, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(14) plus ORIGINAL b = 183 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S109 S111 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(21) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 21) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(21) ORIGINAL a times divisor = 273 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S110 S112 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(21) plus ORIGINAL b := sum(273, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(21) plus ORIGINAL b = 274 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S111 S113 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(42) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 42) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(42) ORIGINAL a times divisor = 546 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S112 S114 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(42) plus ORIGINAL b := sum(546, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(42) plus ORIGINAL b = 547 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S113 S115 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) full forward divisor sum := sum(14, 27, 40, 79, 92, 183, 274, 547) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) full forward divisor sum = 1256 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S114 S116 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(5) times SAME F(n/5) := mul(-1, 1256) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(5) times SAME F(n/5) = -1256 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S115 S117 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor6:actual positive input for mu=6 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S116 S118 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=6>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S117 S119 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(6, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 3 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S118 S120 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=6;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=3;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S119 S121 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S120 S122 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 3) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 6 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S121 S123 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=3;d*d>remaining;ORIGINAL n=6 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 3];full product=6;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S122 S124 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor6:input=6;COMPLETE prime multiset=[2, 3];distinct primes=[2, 3] 操作後 mu=1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S123 S125 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor6 := div(210, 6) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor6 = 35 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S124 S126 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6):actual positive input=35;check complete integer range1..35 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 5, 7, 35];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S125 S127 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(1) ORIGINAL a times divisor = 13 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S126 S128 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(1) plus ORIGINAL b := sum(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(1) plus ORIGINAL b = 14 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S127 S129 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 5) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(5) ORIGINAL a times divisor = 65 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S128 S130 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(5) plus ORIGINAL b := sum(65, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(5) plus ORIGINAL b = 66 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S129 S131 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(7) ORIGINAL a times divisor = 91 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S130 S132 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(7) plus ORIGINAL b := sum(91, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(7) plus ORIGINAL b = 92 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S131 S133 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(35) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 35) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(35) ORIGINAL a times divisor = 455 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S132 S134 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(35) plus ORIGINAL b := sum(455, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(35) plus ORIGINAL b = 456 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S133 S135 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) full forward divisor sum := sum(14, 66, 92, 456) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) full forward divisor sum = 628 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S134 S136 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(6) times SAME F(n/6) := mul(1, 628) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(6) times SAME F(n/6) = 628 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S135 S137 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor7:actual positive input for mu=7 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S136 S138 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=7>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S137 S139 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=7;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=7;remaining modulo2=1;extracted multiset=[] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S138 S140 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 7) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 7 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S139 S141 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=7 操作後 complete increasing prime multiset=[7];full product=7;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S140 S142 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor7:input=7;COMPLETE prime multiset=[7];distinct primes=[7] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S141 S143 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor7 := div(210, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor7 = 30 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S142 S144 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7):actual positive input=30;check complete integer range1..30 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S143 S145 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(1) ORIGINAL a times divisor = 13 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S144 S146 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(1) plus ORIGINAL b := sum(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(1) plus ORIGINAL b = 14 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S145 S147 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(2) ORIGINAL a times divisor = 26 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S146 S148 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(2) plus ORIGINAL b := sum(26, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(2) plus ORIGINAL b = 27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S147 S149 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(3) ORIGINAL a times divisor = 39 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S148 S150 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(3) plus ORIGINAL b := sum(39, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(3) plus ORIGINAL b = 40 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S149 S151 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 5) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(5) ORIGINAL a times divisor = 65 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S150 S152 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(5) plus ORIGINAL b := sum(65, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(5) plus ORIGINAL b = 66 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S151 S153 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 6) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(6) ORIGINAL a times divisor = 78 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S152 S154 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(6) plus ORIGINAL b := sum(78, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(6) plus ORIGINAL b = 79 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S153 S155 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(10) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 10) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(10) ORIGINAL a times divisor = 130 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S154 S156 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(10) plus ORIGINAL b := sum(130, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(10) plus ORIGINAL b = 131 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S155 S157 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(15) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 15) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(15) ORIGINAL a times divisor = 195 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S156 S158 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(15) plus ORIGINAL b := sum(195, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(15) plus ORIGINAL b = 196 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S157 S159 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(30) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 30) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(30) ORIGINAL a times divisor = 390 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S158 S160 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(30) plus ORIGINAL b := sum(390, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(30) plus ORIGINAL b = 391 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S159 S161 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) full forward divisor sum := sum(14, 27, 40, 66, 79, 131, 196, 391) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) full forward divisor sum = 944 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S160 S162 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(7) times SAME F(n/7) := mul(-1, 944) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(7) times SAME F(n/7) = -944 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S161 S163 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor10:actual positive input for mu=10 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S162 S164 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=10>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S163 S165 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(10, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 5 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S164 S166 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=10;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=5;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S165 S167 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S166 S168 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 5) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 10 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S167 S169 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=5;d*d>remaining;ORIGINAL n=10 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 5];full product=10;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S168 S170 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor10:input=10;COMPLETE prime multiset=[2, 5];distinct primes=[2, 5] 操作後 mu=1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S169 S171 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor10 := div(210, 10) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor10 = 21 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S170 S172 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10):actual positive input=21;check complete integer range1..21 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 3, 7, 21];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S171 S173 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(1) ORIGINAL a times divisor = 13 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S172 S174 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(1) plus ORIGINAL b := sum(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(1) plus ORIGINAL b = 14 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S173 S175 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(3) ORIGINAL a times divisor = 39 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S174 S176 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(3) plus ORIGINAL b := sum(39, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(3) plus ORIGINAL b = 40 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S175 S177 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(7) ORIGINAL a times divisor = 91 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S176 S178 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(7) plus ORIGINAL b := sum(91, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(7) plus ORIGINAL b = 92 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S177 S179 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(21) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 21) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(21) ORIGINAL a times divisor = 273 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S178 S180 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(21) plus ORIGINAL b := sum(273, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(21) plus ORIGINAL b = 274 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S179 S181 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) full forward divisor sum := sum(14, 40, 92, 274) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) full forward divisor sum = 420 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S180 S182 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(10) times SAME F(n/10) := mul(1, 420) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(10) times SAME F(n/10) = 420 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S181 S183 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor14:actual positive input for mu=14 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S182 S184 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=14>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S183 S185 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(14, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 7 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S184 S186 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=14;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=7;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S185 S187 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S186 S188 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 7) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 14 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S187 S189 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=14 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 7];full product=14;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S188 S190 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor14:input=14;COMPLETE prime multiset=[2, 7];distinct primes=[2, 7] 操作後 mu=1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S189 S191 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor14 := div(210, 14) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor14 = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S190 S192 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14):actual positive input=15;check complete integer range1..15 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 3, 5, 15];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S191 S193 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(1) ORIGINAL a times divisor = 13 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S192 S194 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(1) plus ORIGINAL b := sum(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(1) plus ORIGINAL b = 14 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S193 S195 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(3) ORIGINAL a times divisor = 39 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S194 S196 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(3) plus ORIGINAL b := sum(39, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(3) plus ORIGINAL b = 40 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S195 S197 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 5) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(5) ORIGINAL a times divisor = 65 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S196 S198 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(5) plus ORIGINAL b := sum(65, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(5) plus ORIGINAL b = 66 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S197 S199 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(15) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 15) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(15) ORIGINAL a times divisor = 195 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S198 S200 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(15) plus ORIGINAL b := sum(195, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(15) plus ORIGINAL b = 196 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S199 S201 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) full forward divisor sum := sum(14, 40, 66, 196) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) full forward divisor sum = 316 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S200 S202 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(14) times SAME F(n/14) := mul(1, 316) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(14) times SAME F(n/14) = 316 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S201 S203 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor15:actual positive input for mu=15 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S202 S204 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=15>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S203 S205 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=15;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=15;remaining modulo2=1;extracted multiset=[] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S204 S206 · calculation操作前 upf extract divisor3 occurrence0 := div(15, 3) 操作後 upf extract divisor3 occurrence0 = 5 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S205 S207 · implies操作前 next divisor=3;previous remaining=15;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=5;remaining modulo3=2;extracted multiset=[3] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S206 S208 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 3) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 3 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S207 S209 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(3, 5) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 15 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S208 S210 · implies操作前 exhausted trial divisors below4;terminal remaining=5;d*d>remaining;ORIGINAL n=15 操作後 complete increasing prime multiset=[3, 5];full product=15;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S209 S211 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor15:input=15;COMPLETE prime multiset=[3, 5];distinct primes=[3, 5] 操作後 mu=1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S210 S212 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor15 := div(210, 15) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor15 = 14 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S211 S213 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15):actual positive input=14;check complete integer range1..14 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 7, 14];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S212 S214 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(1) ORIGINAL a times divisor = 13 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S213 S215 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(1) plus ORIGINAL b := sum(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(1) plus ORIGINAL b = 14 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S214 S216 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(2) ORIGINAL a times divisor = 26 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S215 S217 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(2) plus ORIGINAL b := sum(26, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(2) plus ORIGINAL b = 27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S216 S218 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(7) ORIGINAL a times divisor = 91 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S217 S219 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(7) plus ORIGINAL b := sum(91, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(7) plus ORIGINAL b = 92 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S218 S220 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(14) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 14) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(14) ORIGINAL a times divisor = 182 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S219 S221 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(14) plus ORIGINAL b := sum(182, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(14) plus ORIGINAL b = 183 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S220 S222 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) full forward divisor sum := sum(14, 27, 92, 183) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) full forward divisor sum = 316 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S221 S223 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(15) times SAME F(n/15) := mul(1, 316) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(15) times SAME F(n/15) = 316 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S222 S224 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor21:actual positive input for mu=21 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S223 S225 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=21>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S224 S226 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=21;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=21;remaining modulo2=1;extracted multiset=[] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S225 S227 · calculation操作前 upf extract divisor3 occurrence0 := div(21, 3) 操作後 upf extract divisor3 occurrence0 = 7 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S226 S228 · implies操作前 next divisor=3;previous remaining=21;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=7;remaining modulo3=1;extracted multiset=[3] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S227 S229 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 3) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 3 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S228 S230 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(3, 7) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 21 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S229 S231 · implies操作前 exhausted trial divisors below4;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=21 操作後 complete increasing prime multiset=[3, 7];full product=21;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S230 S232 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor21:input=21;COMPLETE prime multiset=[3, 7];distinct primes=[3, 7] 操作後 mu=1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S231 S233 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor21 := div(210, 21) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor21 = 10 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S232 S234 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21):actual positive input=10;check complete integer range1..10 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 5, 10];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S233 S235 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(1) ORIGINAL a times divisor = 13 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S234 S236 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(1) plus ORIGINAL b := sum(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(1) plus ORIGINAL b = 14 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S235 S237 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(2) ORIGINAL a times divisor = 26 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S236 S238 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(2) plus ORIGINAL b := sum(26, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(2) plus ORIGINAL b = 27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S237 S239 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 5) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(5) ORIGINAL a times divisor = 65 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S238 S240 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(5) plus ORIGINAL b := sum(65, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(5) plus ORIGINAL b = 66 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S239 S241 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(10) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 10) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(10) ORIGINAL a times divisor = 130 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S240 S242 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(10) plus ORIGINAL b := sum(130, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(10) plus ORIGINAL b = 131 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S241 S243 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) full forward divisor sum := sum(14, 27, 66, 131) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) full forward divisor sum = 238 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S242 S244 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(21) times SAME F(n/21) := mul(1, 238) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(21) times SAME F(n/21) = 238 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S243 S245 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor30:actual positive input for mu=30 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S244 S246 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=30>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S245 S247 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(30, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 15 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S246 S248 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=30;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=15;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S247 S249 · calculation操作前 upf extract divisor3 occurrence1 := div(15, 3) 操作後 upf extract divisor3 occurrence1 = 5 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S248 S250 · implies操作前 next divisor=3;previous remaining=15;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=5;remaining modulo3=2;extracted multiset=[2, 3] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S249 S251 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S250 S252 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 3) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 6 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S251 S253 · calculation操作前 upf canonical complete product factor2 := mul(6, 5) 操作後 upf canonical complete product factor2 = 30 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S252 S254 · implies操作前 exhausted trial divisors below4;terminal remaining=5;d*d>remaining;ORIGINAL n=30 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 3, 5];full product=30;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S253 S255 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor30:input=30;COMPLETE prime multiset=[2, 3, 5];distinct primes=[2, 3, 5] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S254 S256 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor30 := div(210, 30) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor30 = 7 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S255 S257 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30):actual positive input=7;check complete integer range1..7 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 7];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S256 S258 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(1) ORIGINAL a times divisor = 13 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S257 S259 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(1) plus ORIGINAL b := sum(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(1) plus ORIGINAL b = 14 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S258 S260 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(7) ORIGINAL a times divisor = 91 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S259 S261 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(7) plus ORIGINAL b := sum(91, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(7) plus ORIGINAL b = 92 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S260 S262 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) full forward divisor sum := sum(14, 92) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) full forward divisor sum = 106 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S261 S263 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(30) times SAME F(n/30) := mul(-1, 106) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(30) times SAME F(n/30) = -106 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S262 S264 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor35:actual positive input for mu=35 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S263 S265 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=35>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S264 S266 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=35;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=35;remaining modulo2=1;extracted multiset=[] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S265 S267 · implies操作前 next divisor=3;previous remaining=35;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=35;remaining modulo3=2;extracted multiset=[] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S266 S268 · implies操作前 next divisor=4;previous remaining=35;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=35;remaining modulo4=3;extracted multiset=[] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S267 S269 · calculation操作前 upf extract divisor5 occurrence0 := div(35, 5) 操作後 upf extract divisor5 occurrence0 = 7 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S268 S270 · implies操作前 next divisor=5;previous remaining=35;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=7;remaining modulo5=2;extracted multiset=[5] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S269 S271 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 5) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 5 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S270 S272 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(5, 7) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 35 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S271 S273 · implies操作前 exhausted trial divisors below6;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=35 操作後 complete increasing prime multiset=[5, 7];full product=35;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S272 S274 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor35:input=35;COMPLETE prime multiset=[5, 7];distinct primes=[5, 7] 操作後 mu=1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S273 S275 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor35 := div(210, 35) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor35 = 6 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S274 S276 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35):actual positive input=6;check complete integer range1..6 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 6];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S275 S277 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(1) ORIGINAL a times divisor = 13 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S276 S278 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(1) plus ORIGINAL b := sum(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(1) plus ORIGINAL b = 14 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S277 S279 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(2) ORIGINAL a times divisor = 26 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S278 S280 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(2) plus ORIGINAL b := sum(26, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(2) plus ORIGINAL b = 27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S279 S281 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(3) ORIGINAL a times divisor = 39 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S280 S282 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(3) plus ORIGINAL b := sum(39, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(3) plus ORIGINAL b = 40 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S281 S283 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 6) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(6) ORIGINAL a times divisor = 78 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S282 S284 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(6) plus ORIGINAL b := sum(78, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(6) plus ORIGINAL b = 79 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S283 S285 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) full forward divisor sum := sum(14, 27, 40, 79) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) full forward divisor sum = 160 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S284 S286 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(35) times SAME F(n/35) := mul(1, 160) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(35) times SAME F(n/35) = 160 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S285 S287 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor42:actual positive input for mu=42 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S286 S288 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=42>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S287 S289 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(42, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 21 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S288 S290 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=42;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=21;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S289 S291 · calculation操作前 upf extract divisor3 occurrence1 := div(21, 3) 操作後 upf extract divisor3 occurrence1 = 7 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S290 S292 · implies操作前 next divisor=3;previous remaining=21;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=7;remaining modulo3=1;extracted multiset=[2, 3] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S291 S293 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S292 S294 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 3) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 6 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S293 S295 · calculation操作前 upf canonical complete product factor2 := mul(6, 7) 操作後 upf canonical complete product factor2 = 42 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S294 S296 · implies操作前 exhausted trial divisors below4;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=42 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 3, 7];full product=42;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S295 S297 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor42:input=42;COMPLETE prime multiset=[2, 3, 7];distinct primes=[2, 3, 7] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S296 S298 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor42 := div(210, 42) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor42 = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S297 S299 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42):actual positive input=5;check complete integer range1..5 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 5];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S298 S300 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(1) ORIGINAL a times divisor = 13 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S299 S301 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(1) plus ORIGINAL b := sum(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(1) plus ORIGINAL b = 14 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S300 S302 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 5) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(5) ORIGINAL a times divisor = 65 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S301 S303 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(5) plus ORIGINAL b := sum(65, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(5) plus ORIGINAL b = 66 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S302 S304 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) full forward divisor sum := sum(14, 66) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) full forward divisor sum = 80 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S303 S305 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(42) times SAME F(n/42) := mul(-1, 80) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(42) times SAME F(n/42) = -80 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S304 S306 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor70:actual positive input for mu=70 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S305 S307 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=70>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S306 S308 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(70, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 35 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S307 S309 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=70;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=35;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S308 S310 · implies操作前 next divisor=3;previous remaining=35;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=35;remaining modulo3=2;extracted multiset=[2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S309 S311 · implies操作前 next divisor=4;previous remaining=35;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=35;remaining modulo4=3;extracted multiset=[2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S310 S312 · calculation操作前 upf extract divisor5 occurrence1 := div(35, 5) 操作後 upf extract divisor5 occurrence1 = 7 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S311 S313 · implies操作前 next divisor=5;previous remaining=35;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=7;remaining modulo5=2;extracted multiset=[2, 5] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S312 S314 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S313 S315 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 5) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 10 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S314 S316 · calculation操作前 upf canonical complete product factor2 := mul(10, 7) 操作後 upf canonical complete product factor2 = 70 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S315 S317 · implies操作前 exhausted trial divisors below6;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=70 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 5, 7];full product=70;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S316 S318 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor70:input=70;COMPLETE prime multiset=[2, 5, 7];distinct primes=[2, 5, 7] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S317 S319 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor70 := div(210, 70) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor70 = 3 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S318 S320 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70):actual positive input=3;check complete integer range1..3 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 3];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S319 S321 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(1) ORIGINAL a times divisor = 13 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S320 S322 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(1) plus ORIGINAL b := sum(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(1) plus ORIGINAL b = 14 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S321 S323 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(3) ORIGINAL a times divisor = 39 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S322 S324 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(3) plus ORIGINAL b := sum(39, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(3) plus ORIGINAL b = 40 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S323 S325 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) full forward divisor sum := sum(14, 40) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) full forward divisor sum = 54 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S324 S326 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(70) times SAME F(n/70) := mul(-1, 54) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(70) times SAME F(n/70) = -54 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S325 S327 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor105:actual positive input for mu=105 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S326 S328 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=105>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S327 S329 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=105;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=105;remaining modulo2=1;extracted multiset=[] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S328 S330 · calculation操作前 upf extract divisor3 occurrence0 := div(105, 3) 操作後 upf extract divisor3 occurrence0 = 35 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S329 S331 · implies操作前 next divisor=3;previous remaining=105;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=35;remaining modulo3=2;extracted multiset=[3] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S330 S332 · implies操作前 next divisor=4;previous remaining=35;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=35;remaining modulo4=3;extracted multiset=[3] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S331 S333 · calculation操作前 upf extract divisor5 occurrence1 := div(35, 5) 操作後 upf extract divisor5 occurrence1 = 7 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S332 S334 · implies操作前 next divisor=5;previous remaining=35;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=7;remaining modulo5=2;extracted multiset=[3, 5] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S333 S335 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 3) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 3 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S334 S336 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(3, 5) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 15 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S335 S337 · calculation操作前 upf canonical complete product factor2 := mul(15, 7) 操作後 upf canonical complete product factor2 = 105 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S336 S338 · implies操作前 exhausted trial divisors below6;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=105 操作後 complete increasing prime multiset=[3, 5, 7];full product=105;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S337 S339 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor105:input=105;COMPLETE prime multiset=[3, 5, 7];distinct primes=[3, 5, 7] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S338 S340 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor105 := div(210, 105) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor105 = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S339 S341 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105):actual positive input=2;check complete integer range1..2 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S340 S342 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(1) ORIGINAL a times divisor = 13 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S341 S343 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(1) plus ORIGINAL b := sum(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(1) plus ORIGINAL b = 14 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S342 S344 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(2) ORIGINAL a times divisor = 26 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S343 S345 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(2) plus ORIGINAL b := sum(26, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(2) plus ORIGINAL b = 27 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S344 S346 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) full forward divisor sum := sum(14, 27) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) full forward divisor sum = 41 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S345 S347 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(105) times SAME F(n/105) := mul(-1, 41) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(105) times SAME F(n/105) = -41 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S346 S348 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor210:actual positive input for mu=210 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S347 S349 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=210>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S348 S350 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(210, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 105 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S349 S351 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=210;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=105;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S350 S352 · calculation操作前 upf extract divisor3 occurrence1 := div(105, 3) 操作後 upf extract divisor3 occurrence1 = 35 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S351 S353 · implies操作前 next divisor=3;previous remaining=105;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=35;remaining modulo3=2;extracted multiset=[2, 3] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S352 S354 · implies操作前 next divisor=4;previous remaining=35;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=35;remaining modulo4=3;extracted multiset=[2, 3] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S353 S355 · calculation操作前 upf extract divisor5 occurrence2 := div(35, 5) 操作後 upf extract divisor5 occurrence2 = 7 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S354 S356 · implies操作前 next divisor=5;previous remaining=35;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=7;remaining modulo5=2;extracted multiset=[2, 3, 5] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S355 S357 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S356 S358 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 3) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 6 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S357 S359 · calculation操作前 upf canonical complete product factor2 := mul(6, 5) 操作後 upf canonical complete product factor2 = 30 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S358 S360 · calculation操作前 upf canonical complete product factor3 := mul(30, 7) 操作後 upf canonical complete product factor3 = 210 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S359 S361 · implies操作前 exhausted trial divisors below6;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=210 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 3, 5, 7];full product=210;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S360 S362 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor210:input=210;COMPLETE prime multiset=[2, 3, 5, 7];distinct primes=[2, 3, 5, 7] 操作後 mu=1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S361 S363 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor210 := div(210, 210) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor210 = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S362 S364 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/210):actual positive input=1;check complete integer range1..1 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S363 S365 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/210) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/210) f(1) ORIGINAL a times divisor = 13 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S364 S366 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/210) f(1) plus ORIGINAL b := sum(13, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/210) f(1) plus ORIGINAL b = 14 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S365 S367 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/210) full forward divisor sum := sum(14) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/210) full forward divisor sum = 14 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S366 S368 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(210) times SAME F(n/210) := mul(1, 14) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(210) times SAME F(n/210) = 14 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S367 S369 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse complete inverse-term sum := sum(7504, -2504, -1880, -1256, 628, -944, 420, 316, 316, 238, -106, 160, -80, -54, -41, 14) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse complete inverse-term sum = 2731 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S368 S370 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse direct ORIGINAL a times n := mul(13, 210) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse direct ORIGINAL a times n = 2730 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S369 S371 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse direct plus ORIGINAL b := sum(2730, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse direct plus ORIGINAL b = 2731 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S370 S372 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse:actual n=210;ALL [d,mu(d),n/d,F(n/d),mu(d)*F(n/d)] rows=[[1, 1, 210, 7504, 7504], [2, -1, 105, 2504, -2504], [3, -1, 70, 1880, -1880], [5, -1, 42, 1256, -1256], [6, 1, 35, 628, 628], [7, -1, 30, 944, -944], [10, 1, 21, 420, 420], [14, 1, 15, 316, 316], [15, 1, 14, 316, 316], [21, 1, 10, 238, 238], [30, -1, 7, 106, -106], [35, 1, 6, 160, 160], [42, -1, 5, 80, -80], [70, -1, 3, 54, -54], [105, -1, 2, 41, -41], [210, 1, 1, 14, 14]] 操作後 complete reconstructed=2731;direct f(n)=2731;sum_d mu(d)sum_e|n/d f(e)=sum_e|n f(e)sum_d|n/e mu(d)=f(n) 條件：無 有限雙和可換序，d*e|n；內層mu和在n/e=1時為1，否則由不同prime子集合正負配對為0，故只留e=n。n=1也有d=1、mu1=1，不混另一等價公式的index。 步驟識別與依賴規則：mobinv_general_finite_double_sum_and_Mobius_cancellation · 依賴：G001, S371 S373 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL omitted-divisor partial sum := sum(-2504, -1880, -1256, 628, -944, 420, 316, 316, 238, -106, 160, -80, -54, -41, 14) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL omitted-divisor partial sum = -4773 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S372 S374 · calculation操作前 Mobius inversion complete minus partial := sub(2731, -4773) 操作後 Mobius inversion complete minus partial = 7504 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S373 S375 · implies操作前 ORIGINAL full divisors=[1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210];actual omitted divisor=1;remaining ORIGINAL-order divisors=[2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210] 操作後 complete=2731=f(n)=2731;partial=-4773;lost term=7504!=0;incomplete_certificate fixed No 條件：無 必須真漏一個divisor且其貢獻非零，使部分結果與目標不同；漏零項而恰巧相等不給本boundary證書。No拒絕不完整證書，不否認完整反演正確。 步驟識別與依賴規則：mobinv_omission_actual_nonzero_discriminative_term · 依賴：G001, S374 ## 逐步反向核對 - S375 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S374 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion complete minus partial，不以小數近似替代。 - S373 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL omitted-divisor partial sum，不以小數近似替代。 - S372 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S371 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse direct plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S370 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse direct ORIGINAL a times n，不以小數近似替代。 - S369 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse complete inverse-term sum，不以小數近似替代。 - S368 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(210) times SAME F(n/210)，不以小數近似替代。 - S367 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/210) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S366 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/210) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S365 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/210) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S364 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S363 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor210，不以小數近似替代。 - S362 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S361 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S360 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor3，不以小數近似替代。 - S359 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。 - S358 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S357 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S356 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S355 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor5 occurrence2，不以小數近似替代。 - S354 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S353 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S352 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor3 occurrence1，不以小數近似替代。 - S351 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S350 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S349 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S348 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S347 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(105) times SAME F(n/105)，不以小數近似替代。 - S346 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S345 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S344 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S343 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S342 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S341 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S340 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor105，不以小數近似替代。 - S339 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S338 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S337 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。 - S336 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S335 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S334 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S333 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor5 occurrence1，不以小數近似替代。 - S332 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S331 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S330 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor3 occurrence0，不以小數近似替代。 - S329 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S328 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S327 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S326 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(70) times SAME F(n/70)，不以小數近似替代。 - S325 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S324 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S323 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S322 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S321 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S320 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S319 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor70，不以小數近似替代。 - S318 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S317 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S316 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。 - S315 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S314 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S313 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S312 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor5 occurrence1，不以小數近似替代。 - S311 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S310 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S309 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S308 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S307 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S306 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S305 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(42) times SAME F(n/42)，不以小數近似替代。 - S304 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S303 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S302 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S301 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S300 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S299 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S298 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor42，不以小數近似替代。 - S297 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S296 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S295 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。 - S294 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S293 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S292 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S291 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor3 occurrence1，不以小數近似替代。 - S290 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S289 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S288 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S287 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S286 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(35) times SAME F(n/35)，不以小數近似替代。 - S285 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S284 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S283 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S282 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S281 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S280 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S279 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S278 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S277 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S276 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S275 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor35，不以小數近似替代。 - S274 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S273 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S272 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S271 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S270 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S269 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor5 occurrence0，不以小數近似替代。 - S268 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S267 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S266 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S265 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S264 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S263 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(30) times SAME F(n/30)，不以小數近似替代。 - S262 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S261 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S260 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S259 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S258 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S257 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S256 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor30，不以小數近似替代。 - S255 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S254 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S253 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。 - S252 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S251 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S250 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S249 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor3 occurrence1，不以小數近似替代。 - S248 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S247 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S246 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S245 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S244 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(21) times SAME F(n/21)，不以小數近似替代。 - S243 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S242 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(10) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S241 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(10) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S240 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S239 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S238 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S237 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S236 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S235 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S234 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S233 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor21，不以小數近似替代。 - S232 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S231 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S230 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S229 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S228 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S227 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor3 occurrence0，不以小數近似替代。 - S226 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S225 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S224 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S223 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(15) times SAME F(n/15)，不以小數近似替代。 - S222 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S221 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(14) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S220 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(14) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S219 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S218 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S217 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S216 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S215 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S214 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S213 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S212 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor15，不以小數近似替代。 - S211 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S210 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S209 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S208 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S207 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S206 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor3 occurrence0，不以小數近似替代。 - S205 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S204 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S203 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S202 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(14) times SAME F(n/14)，不以小數近似替代。 - S201 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S200 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(15) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S199 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(15) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S198 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S197 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S196 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S195 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S194 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S193 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S192 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S191 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor14，不以小數近似替代。 - S190 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S189 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S188 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S187 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S186 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S185 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S184 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S183 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S182 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(10) times SAME F(n/10)，不以小數近似替代。 - S181 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S180 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(21) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S179 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(21) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S178 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S177 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S176 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S175 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S174 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S173 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S172 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S171 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor10，不以小數近似替代。 - S170 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S169 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S168 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S167 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S166 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S165 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S164 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S163 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S162 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(7) times SAME F(n/7)，不以小數近似替代。 - S161 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S160 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(30) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S159 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(30) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S158 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(15) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S157 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(15) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S156 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(10) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S155 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(10) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S154 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S153 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S152 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S151 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S150 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S149 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S148 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S147 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S146 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S145 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S144 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S143 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor7，不以小數近似替代。 - S142 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S141 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S140 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S139 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S138 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S137 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S136 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(6) times SAME F(n/6)，不以小數近似替代。 - S135 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S134 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(35) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S133 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(35) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S132 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S131 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S130 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S129 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S128 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S127 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S126 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S125 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor6，不以小數近似替代。 - S124 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S123 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S122 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S121 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S120 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S119 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S118 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S117 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S116 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(5) times SAME F(n/5)，不以小數近似替代。 - S115 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S114 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(42) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S113 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(42) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S112 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(21) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S111 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(21) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S110 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(14) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S109 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(14) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S108 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S107 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S106 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S105 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S104 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S103 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S102 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S101 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S100 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S099 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S098 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S097 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor5，不以小數近似替代。 - S096 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S095 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S094 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S093 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S092 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S091 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S090 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(3) times SAME F(n/3)，不以小數近似替代。 - S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S088 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(70) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(70) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S086 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(35) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(35) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(14) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(14) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S082 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(10) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(10) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S080 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S076 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S072 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor3，不以小數近似替代。 - S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S069 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S067 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(2) times SAME F(n/2)，不以小數近似替代。 - S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(105) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(105) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(35) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(35) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(21) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(21) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(15) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(15) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor2，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(1) times SAME F(n/1)，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(210) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(210) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(105) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(105) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(70) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(70) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(42) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(42) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(35) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(35) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(30) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(30) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(21) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(21) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(15) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(15) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(14) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(14) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(10) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(10) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (210, [1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210], 1, [2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210], 2731, -4773, 2731, 否, all_positive_divisors_and_consistent_d_to_n_over_d_indexing_required) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: b3f4d631dba76b038992ecfed116f1134d600f0892fd95c28cdcd55044ba37ed - candidate record SHA-256: 42dc35319d90a2d4e3410a13e7663c81b5dd6a4280202acbfbbcd3f1269070a4 - semantic review receipt SHA-256: 49cf6ec60211c92d1c0c302663af4d44479635dc8181fb61a20c3374288e21c5 - question-first witness SHA-256: 10fd25b4643e5ff12753daceaa61f9f2499bf381f65ef96e9d21185c7c0d0c5e - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-0088.json)