# 第 22144 題：有限因數格上的Möbius反演 [返回所在分頁 111](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/111/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-foundations/#q-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-0094) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0043-22144 · q-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-0094 ## 原題與已知條件 positive integer domain、完整positive divisor set與完整UPF-derived Mobius values。操作=mobinv-incomplete-divisor-boundary；資料={"n":420,"a":19,"b":1,"omitted_divisor":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — positive integer domain、完整positive divisor set與完整UPF-derived Mobius values。操作=mobinv-incomplete-divisor-boundary；資料={"n":420,"a":19,"b":1,"omitted_divisor":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-mobius-inversion-finite-divisors](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-mobius-inversion-finite-divisors/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=mobinv-incomplete-divisor-boundary;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[n, all_divisors, omitted_divisor, partial_divisors, complete_value, partial_value, f_n, incomplete_certificate, boundary] 條件：無 原題歷史介面標記保留，直接列來源有序欄位，不需JavaScript；MVT由原mode選欄序，不補空欄或看答案形狀猜。tag與固定No保原聲稱範圍。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse:actual positive input=420;check complete integer range1..420 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 28, 30, 35, 42, 60, 70, 84, 105, 140, 210, 420];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:actual positive input for mu=1 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:input=1;COMPLETE prime multiset=[];distinct primes=[] 操作後 mu=1;empty product case=是;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor1 := div(420, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor1 = 420 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1):actual positive input=420;check complete integer range1..420 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 28, 30, 35, 42, 60, 70, 84, 105, 140, 210, 420];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b := sum(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b = 20 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor = 38 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b := sum(38, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b = 39 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(3) ORIGINAL a times divisor = 57 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(3) plus ORIGINAL b := sum(57, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(3) plus ORIGINAL b = 58 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 4) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(4) ORIGINAL a times divisor = 76 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(4) plus ORIGINAL b := sum(76, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(4) plus ORIGINAL b = 77 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 5) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(5) ORIGINAL a times divisor = 95 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(5) plus ORIGINAL b := sum(95, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(5) plus ORIGINAL b = 96 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 6) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(6) ORIGINAL a times divisor = 114 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(6) plus ORIGINAL b := sum(114, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(6) plus ORIGINAL b = 115 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(7) ORIGINAL a times divisor = 133 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(7) plus ORIGINAL b := sum(133, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(7) plus ORIGINAL b = 134 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(10) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 10) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(10) ORIGINAL a times divisor = 190 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(10) plus ORIGINAL b := sum(190, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(10) plus ORIGINAL b = 191 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(12) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 12) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(12) ORIGINAL a times divisor = 228 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(12) plus ORIGINAL b := sum(228, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(12) plus ORIGINAL b = 229 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(14) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 14) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(14) ORIGINAL a times divisor = 266 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(14) plus ORIGINAL b := sum(266, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(14) plus ORIGINAL b = 267 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(15) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 15) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(15) ORIGINAL a times divisor = 285 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(15) plus ORIGINAL b := sum(285, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(15) plus ORIGINAL b = 286 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(20) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 20) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(20) ORIGINAL a times divisor = 380 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(20) plus ORIGINAL b := sum(380, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(20) plus ORIGINAL b = 381 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(21) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 21) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(21) ORIGINAL a times divisor = 399 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(21) plus ORIGINAL b := sum(399, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(21) plus ORIGINAL b = 400 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(28) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 28) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(28) ORIGINAL a times divisor = 532 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(28) plus ORIGINAL b := sum(532, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(28) plus ORIGINAL b = 533 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(30) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 30) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(30) ORIGINAL a times divisor = 570 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(30) plus ORIGINAL b := sum(570, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(30) plus ORIGINAL b = 571 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(35) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 35) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(35) ORIGINAL a times divisor = 665 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(35) plus ORIGINAL b := sum(665, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(35) plus ORIGINAL b = 666 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(42) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 42) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(42) ORIGINAL a times divisor = 798 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(42) plus ORIGINAL b := sum(798, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(42) plus ORIGINAL b = 799 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(60) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 60) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(60) ORIGINAL a times divisor = 1140 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(60) plus ORIGINAL b := sum(1140, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(60) plus ORIGINAL b = 1141 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(70) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 70) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(70) ORIGINAL a times divisor = 1330 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(70) plus ORIGINAL b := sum(1330, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(70) plus ORIGINAL b = 1331 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(84) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 84) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(84) ORIGINAL a times divisor = 1596 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(84) plus ORIGINAL b := sum(1596, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(84) plus ORIGINAL b = 1597 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(105) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 105) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(105) ORIGINAL a times divisor = 1995 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(105) plus ORIGINAL b := sum(1995, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(105) plus ORIGINAL b = 1996 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(140) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 140) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(140) ORIGINAL a times divisor = 2660 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(140) plus ORIGINAL b := sum(2660, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(140) plus ORIGINAL b = 2661 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(210) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 210) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(210) ORIGINAL a times divisor = 3990 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(210) plus ORIGINAL b := sum(3990, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(210) plus ORIGINAL b = 3991 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(420) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 420) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(420) ORIGINAL a times divisor = 7980 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(420) plus ORIGINAL b := sum(7980, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(420) plus ORIGINAL b = 7981 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) full forward divisor sum := sum(20, 39, 58, 77, 96, 115, 134, 191, 229, 267, 286, 381, 400, 533, 571, 666, 799, 1141, 1331, 1597, 1996, 2661, 3991, 7981) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) full forward divisor sum = 25560 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(1) times SAME F(n/1) := mul(1, 25560) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(1) times SAME F(n/1) = 25560 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:actual positive input for mu=2 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S056 S058 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=2>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S057 S059 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058 S060 · implies操作前 exhausted trial divisors below2;terminal remaining=2;d*d>remaining;ORIGINAL n=2 操作後 complete increasing prime multiset=[2];full product=2;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S059 S061 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:input=2;COMPLETE prime multiset=[2];distinct primes=[2] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S060 S062 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor2 := div(420, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor2 = 210 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061 S063 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2):actual positive input=210;check complete integer range1..210 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S062 S064 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063 S065 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b := sum(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b = 20 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064 S066 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(2) ORIGINAL a times divisor = 38 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(2) plus ORIGINAL b := sum(38, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(2) plus ORIGINAL b = 39 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(3) ORIGINAL a times divisor = 57 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067 S069 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(3) plus ORIGINAL b := sum(57, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(3) plus ORIGINAL b = 58 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068 S070 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 5) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(5) ORIGINAL a times divisor = 95 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S069 S071 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(5) plus ORIGINAL b := sum(95, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(5) plus ORIGINAL b = 96 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070 S072 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 6) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(6) ORIGINAL a times divisor = 114 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071 S073 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(6) plus ORIGINAL b := sum(114, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(6) plus ORIGINAL b = 115 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S072 S074 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(7) ORIGINAL a times divisor = 133 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S073 S075 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(7) plus ORIGINAL b := sum(133, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(7) plus ORIGINAL b = 134 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S074 S076 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(10) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 10) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(10) ORIGINAL a times divisor = 190 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S075 S077 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(10) plus ORIGINAL b := sum(190, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(10) plus ORIGINAL b = 191 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S076 S078 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(14) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 14) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(14) ORIGINAL a times divisor = 266 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S077 S079 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(14) plus ORIGINAL b := sum(266, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(14) plus ORIGINAL b = 267 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S078 S080 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(15) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 15) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(15) ORIGINAL a times divisor = 285 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S079 S081 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(15) plus ORIGINAL b := sum(285, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(15) plus ORIGINAL b = 286 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S080 S082 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(21) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 21) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(21) ORIGINAL a times divisor = 399 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S081 S083 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(21) plus ORIGINAL b := sum(399, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(21) plus ORIGINAL b = 400 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S082 S084 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(30) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 30) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(30) ORIGINAL a times divisor = 570 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S083 S085 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(30) plus ORIGINAL b := sum(570, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(30) plus ORIGINAL b = 571 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S084 S086 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(35) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 35) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(35) ORIGINAL a times divisor = 665 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S085 S087 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(35) plus ORIGINAL b := sum(665, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(35) plus ORIGINAL b = 666 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S086 S088 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(42) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 42) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(42) ORIGINAL a times divisor = 798 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S087 S089 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(42) plus ORIGINAL b := sum(798, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(42) plus ORIGINAL b = 799 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S088 S090 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(70) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 70) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(70) ORIGINAL a times divisor = 1330 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S089 S091 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(70) plus ORIGINAL b := sum(1330, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(70) plus ORIGINAL b = 1331 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S090 S092 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(105) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 105) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(105) ORIGINAL a times divisor = 1995 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S091 S093 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(105) plus ORIGINAL b := sum(1995, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(105) plus ORIGINAL b = 1996 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S092 S094 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(210) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 210) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(210) ORIGINAL a times divisor = 3990 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S093 S095 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(210) plus ORIGINAL b := sum(3990, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(210) plus ORIGINAL b = 3991 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S094 S096 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) full forward divisor sum := sum(20, 39, 58, 96, 115, 134, 191, 267, 286, 400, 571, 666, 799, 1331, 1996, 3991) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) full forward divisor sum = 10960 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S095 S097 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(2) times SAME F(n/2) := mul(-1, 10960) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(2) times SAME F(n/2) = -10960 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S096 S098 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor3:actual positive input for mu=3 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S097 S099 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=3>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S098 S100 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 3) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 3 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S099 S101 · implies操作前 exhausted trial divisors below2;terminal remaining=3;d*d>remaining;ORIGINAL n=3 操作後 complete increasing prime multiset=[3];full product=3;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S100 S102 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor3:input=3;COMPLETE prime multiset=[3];distinct primes=[3] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S101 S103 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor3 := div(420, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor3 = 140 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S102 S104 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3):actual positive input=140;check complete integer range1..140 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S103 S105 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(1) ORIGINAL a times divisor = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S104 S106 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(1) plus ORIGINAL b := sum(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(1) plus ORIGINAL b = 20 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S105 S107 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(2) ORIGINAL a times divisor = 38 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S106 S108 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(2) plus ORIGINAL b := sum(38, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(2) plus ORIGINAL b = 39 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S107 S109 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 4) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(4) ORIGINAL a times divisor = 76 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S108 S110 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(4) plus ORIGINAL b := sum(76, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(4) plus ORIGINAL b = 77 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S109 S111 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 5) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(5) ORIGINAL a times divisor = 95 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S110 S112 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(5) plus ORIGINAL b := sum(95, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(5) plus ORIGINAL b = 96 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S111 S113 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(7) ORIGINAL a times divisor = 133 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S112 S114 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(7) plus ORIGINAL b := sum(133, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(7) plus ORIGINAL b = 134 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S113 S115 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(10) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 10) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(10) ORIGINAL a times divisor = 190 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S114 S116 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(10) plus ORIGINAL b := sum(190, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(10) plus ORIGINAL b = 191 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S115 S117 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(14) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 14) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(14) ORIGINAL a times divisor = 266 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S116 S118 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(14) plus ORIGINAL b := sum(266, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(14) plus ORIGINAL b = 267 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S117 S119 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(20) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 20) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(20) ORIGINAL a times divisor = 380 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S118 S120 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(20) plus ORIGINAL b := sum(380, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(20) plus ORIGINAL b = 381 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S119 S121 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(28) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 28) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(28) ORIGINAL a times divisor = 532 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S120 S122 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(28) plus ORIGINAL b := sum(532, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(28) plus ORIGINAL b = 533 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S121 S123 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(35) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 35) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(35) ORIGINAL a times divisor = 665 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S122 S124 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(35) plus ORIGINAL b := sum(665, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(35) plus ORIGINAL b = 666 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S123 S125 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(70) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 70) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(70) ORIGINAL a times divisor = 1330 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S124 S126 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(70) plus ORIGINAL b := sum(1330, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(70) plus ORIGINAL b = 1331 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S125 S127 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(140) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 140) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(140) ORIGINAL a times divisor = 2660 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S126 S128 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(140) plus ORIGINAL b := sum(2660, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(140) plus ORIGINAL b = 2661 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S127 S129 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) full forward divisor sum := sum(20, 39, 77, 96, 134, 191, 267, 381, 533, 666, 1331, 2661) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) full forward divisor sum = 6396 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S128 S130 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(3) times SAME F(n/3) := mul(-1, 6396) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(3) times SAME F(n/3) = -6396 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S129 S131 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor4:actual positive input for mu=4 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S130 S132 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=4>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S131 S133 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(4, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S132 S134 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence1 := div(2, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence1 = 1 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S133 S135 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=4;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=2;next remaining=1;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S134 S136 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S135 S137 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S136 S138 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=1;d*d>remaining;ORIGINAL n=4 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 2];full product=4;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S137 S139 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor4:input=4;COMPLETE prime multiset=[2, 2];distinct primes=[2] 操作後 mu=0;empty product case=否;repeated prime=是 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S138 S140 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor4 := div(420, 4) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor4 = 105 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S139 S141 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4):actual positive input=105;check complete integer range1..105 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S140 S142 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(1) ORIGINAL a times divisor = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S141 S143 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(1) plus ORIGINAL b := sum(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(1) plus ORIGINAL b = 20 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S142 S144 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(3) ORIGINAL a times divisor = 57 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S143 S145 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(3) plus ORIGINAL b := sum(57, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(3) plus ORIGINAL b = 58 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S144 S146 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 5) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(5) ORIGINAL a times divisor = 95 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S145 S147 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(5) plus ORIGINAL b := sum(95, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(5) plus ORIGINAL b = 96 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S146 S148 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(7) ORIGINAL a times divisor = 133 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S147 S149 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(7) plus ORIGINAL b := sum(133, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(7) plus ORIGINAL b = 134 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S148 S150 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(15) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 15) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(15) ORIGINAL a times divisor = 285 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S149 S151 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(15) plus ORIGINAL b := sum(285, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(15) plus ORIGINAL b = 286 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S150 S152 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(21) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 21) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(21) ORIGINAL a times divisor = 399 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S151 S153 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(21) plus ORIGINAL b := sum(399, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(21) plus ORIGINAL b = 400 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S152 S154 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(35) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 35) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(35) ORIGINAL a times divisor = 665 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S153 S155 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(35) plus ORIGINAL b := sum(665, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(35) plus ORIGINAL b = 666 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S154 S156 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(105) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 105) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(105) ORIGINAL a times divisor = 1995 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S155 S157 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(105) plus ORIGINAL b := sum(1995, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(105) plus ORIGINAL b = 1996 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S156 S158 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) full forward divisor sum := sum(20, 58, 96, 134, 286, 400, 666, 1996) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) full forward divisor sum = 3656 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S157 S159 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(4) times SAME F(n/4) := mul(0, 3656) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(4) times SAME F(n/4) = 0 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S158 S160 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor5:actual positive input for mu=5 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S159 S161 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=5>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S160 S162 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=5;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=5;remaining modulo2=1;extracted multiset=[] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S161 S163 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 5) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 5 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S162 S164 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=5;d*d>remaining;ORIGINAL n=5 操作後 complete increasing prime multiset=[5];full product=5;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S163 S165 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor5:input=5;COMPLETE prime multiset=[5];distinct primes=[5] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S164 S166 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor5 := div(420, 5) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor5 = 84 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S165 S167 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5):actual positive input=84;check complete integer range1..84 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S166 S168 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(1) ORIGINAL a times divisor = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S167 S169 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(1) plus ORIGINAL b := sum(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(1) plus ORIGINAL b = 20 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S168 S170 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(2) ORIGINAL a times divisor = 38 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S169 S171 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(2) plus ORIGINAL b := sum(38, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(2) plus ORIGINAL b = 39 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S170 S172 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(3) ORIGINAL a times divisor = 57 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S171 S173 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(3) plus ORIGINAL b := sum(57, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(3) plus ORIGINAL b = 58 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S172 S174 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 4) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(4) ORIGINAL a times divisor = 76 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S173 S175 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(4) plus ORIGINAL b := sum(76, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(4) plus ORIGINAL b = 77 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S174 S176 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 6) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(6) ORIGINAL a times divisor = 114 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S175 S177 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(6) plus ORIGINAL b := sum(114, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(6) plus ORIGINAL b = 115 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S176 S178 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(7) ORIGINAL a times divisor = 133 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S177 S179 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(7) plus ORIGINAL b := sum(133, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(7) plus ORIGINAL b = 134 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S178 S180 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(12) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 12) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(12) ORIGINAL a times divisor = 228 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S179 S181 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(12) plus ORIGINAL b := sum(228, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(12) plus ORIGINAL b = 229 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S180 S182 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(14) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 14) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(14) ORIGINAL a times divisor = 266 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S181 S183 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(14) plus ORIGINAL b := sum(266, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(14) plus ORIGINAL b = 267 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S182 S184 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(21) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 21) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(21) ORIGINAL a times divisor = 399 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S183 S185 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(21) plus ORIGINAL b := sum(399, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(21) plus ORIGINAL b = 400 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S184 S186 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(28) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 28) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(28) ORIGINAL a times divisor = 532 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S185 S187 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(28) plus ORIGINAL b := sum(532, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(28) plus ORIGINAL b = 533 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S186 S188 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(42) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 42) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(42) ORIGINAL a times divisor = 798 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S187 S189 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(42) plus ORIGINAL b := sum(798, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(42) plus ORIGINAL b = 799 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S188 S190 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(84) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 84) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(84) ORIGINAL a times divisor = 1596 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S189 S191 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(84) plus ORIGINAL b := sum(1596, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(84) plus ORIGINAL b = 1597 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S190 S192 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) full forward divisor sum := sum(20, 39, 58, 77, 115, 134, 229, 267, 400, 533, 799, 1597) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) full forward divisor sum = 4268 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S191 S193 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(5) times SAME F(n/5) := mul(-1, 4268) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(5) times SAME F(n/5) = -4268 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S192 S194 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor6:actual positive input for mu=6 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S193 S195 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=6>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S194 S196 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(6, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 3 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S195 S197 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=6;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=3;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S196 S198 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S197 S199 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 3) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 6 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S198 S200 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=3;d*d>remaining;ORIGINAL n=6 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 3];full product=6;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S199 S201 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor6:input=6;COMPLETE prime multiset=[2, 3];distinct primes=[2, 3] 操作後 mu=1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S200 S202 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor6 := div(420, 6) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor6 = 70 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S201 S203 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6):actual positive input=70;check complete integer range1..70 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S202 S204 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(1) ORIGINAL a times divisor = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S203 S205 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(1) plus ORIGINAL b := sum(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(1) plus ORIGINAL b = 20 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S204 S206 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(2) ORIGINAL a times divisor = 38 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S205 S207 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(2) plus ORIGINAL b := sum(38, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(2) plus ORIGINAL b = 39 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S206 S208 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 5) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(5) ORIGINAL a times divisor = 95 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S207 S209 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(5) plus ORIGINAL b := sum(95, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(5) plus ORIGINAL b = 96 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S208 S210 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(7) ORIGINAL a times divisor = 133 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S209 S211 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(7) plus ORIGINAL b := sum(133, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(7) plus ORIGINAL b = 134 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S210 S212 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(10) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 10) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(10) ORIGINAL a times divisor = 190 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S211 S213 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(10) plus ORIGINAL b := sum(190, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(10) plus ORIGINAL b = 191 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S212 S214 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(14) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 14) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(14) ORIGINAL a times divisor = 266 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S213 S215 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(14) plus ORIGINAL b := sum(266, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(14) plus ORIGINAL b = 267 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S214 S216 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(35) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 35) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(35) ORIGINAL a times divisor = 665 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S215 S217 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(35) plus ORIGINAL b := sum(665, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(35) plus ORIGINAL b = 666 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S216 S218 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(70) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 70) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(70) ORIGINAL a times divisor = 1330 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S217 S219 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(70) plus ORIGINAL b := sum(1330, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(70) plus ORIGINAL b = 1331 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S218 S220 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) full forward divisor sum := sum(20, 39, 96, 134, 191, 267, 666, 1331) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) full forward divisor sum = 2744 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S219 S221 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(6) times SAME F(n/6) := mul(1, 2744) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(6) times SAME F(n/6) = 2744 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S220 S222 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor7:actual positive input for mu=7 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S221 S223 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=7>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S222 S224 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=7;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=7;remaining modulo2=1;extracted multiset=[] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S223 S225 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 7) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 7 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S224 S226 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=7 操作後 complete increasing prime multiset=[7];full product=7;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S225 S227 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor7:input=7;COMPLETE prime multiset=[7];distinct primes=[7] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S226 S228 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor7 := div(420, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor7 = 60 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S227 S229 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7):actual positive input=60;check complete integer range1..60 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S228 S230 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(1) ORIGINAL a times divisor = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S229 S231 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(1) plus ORIGINAL b := sum(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(1) plus ORIGINAL b = 20 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S230 S232 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(2) ORIGINAL a times divisor = 38 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S231 S233 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(2) plus ORIGINAL b := sum(38, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(2) plus ORIGINAL b = 39 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S232 S234 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(3) ORIGINAL a times divisor = 57 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S233 S235 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(3) plus ORIGINAL b := sum(57, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(3) plus ORIGINAL b = 58 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S234 S236 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 4) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(4) ORIGINAL a times divisor = 76 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S235 S237 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(4) plus ORIGINAL b := sum(76, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(4) plus ORIGINAL b = 77 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S236 S238 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 5) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(5) ORIGINAL a times divisor = 95 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S237 S239 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(5) plus ORIGINAL b := sum(95, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(5) plus ORIGINAL b = 96 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S238 S240 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 6) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(6) ORIGINAL a times divisor = 114 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S239 S241 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(6) plus ORIGINAL b := sum(114, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(6) plus ORIGINAL b = 115 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S240 S242 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(10) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 10) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(10) ORIGINAL a times divisor = 190 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S241 S243 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(10) plus ORIGINAL b := sum(190, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(10) plus ORIGINAL b = 191 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S242 S244 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(12) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 12) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(12) ORIGINAL a times divisor = 228 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S243 S245 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(12) plus ORIGINAL b := sum(228, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(12) plus ORIGINAL b = 229 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S244 S246 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(15) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 15) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(15) ORIGINAL a times divisor = 285 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S245 S247 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(15) plus ORIGINAL b := sum(285, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(15) plus ORIGINAL b = 286 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S246 S248 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(20) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 20) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(20) ORIGINAL a times divisor = 380 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S247 S249 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(20) plus ORIGINAL b := sum(380, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(20) plus ORIGINAL b = 381 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S248 S250 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(30) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 30) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(30) ORIGINAL a times divisor = 570 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S249 S251 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(30) plus ORIGINAL b := sum(570, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(30) plus ORIGINAL b = 571 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S250 S252 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(60) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 60) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(60) ORIGINAL a times divisor = 1140 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S251 S253 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(60) plus ORIGINAL b := sum(1140, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(60) plus ORIGINAL b = 1141 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S252 S254 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) full forward divisor sum := sum(20, 39, 58, 77, 96, 115, 191, 229, 286, 381, 571, 1141) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) full forward divisor sum = 3204 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S253 S255 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(7) times SAME F(n/7) := mul(-1, 3204) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(7) times SAME F(n/7) = -3204 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S254 S256 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor10:actual positive input for mu=10 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S255 S257 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=10>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S256 S258 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(10, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 5 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S257 S259 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=10;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=5;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S258 S260 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S259 S261 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 5) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 10 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S260 S262 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=5;d*d>remaining;ORIGINAL n=10 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 5];full product=10;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S261 S263 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor10:input=10;COMPLETE prime multiset=[2, 5];distinct primes=[2, 5] 操作後 mu=1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S262 S264 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor10 := div(420, 10) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor10 = 42 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S263 S265 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10):actual positive input=42;check complete integer range1..42 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S264 S266 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(1) ORIGINAL a times divisor = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S265 S267 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(1) plus ORIGINAL b := sum(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(1) plus ORIGINAL b = 20 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S266 S268 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(2) ORIGINAL a times divisor = 38 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S267 S269 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(2) plus ORIGINAL b := sum(38, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(2) plus ORIGINAL b = 39 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S268 S270 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(3) ORIGINAL a times divisor = 57 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S269 S271 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(3) plus ORIGINAL b := sum(57, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(3) plus ORIGINAL b = 58 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S270 S272 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 6) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(6) ORIGINAL a times divisor = 114 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S271 S273 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(6) plus ORIGINAL b := sum(114, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(6) plus ORIGINAL b = 115 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S272 S274 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(7) ORIGINAL a times divisor = 133 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S273 S275 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(7) plus ORIGINAL b := sum(133, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(7) plus ORIGINAL b = 134 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S274 S276 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(14) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 14) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(14) ORIGINAL a times divisor = 266 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S275 S277 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(14) plus ORIGINAL b := sum(266, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(14) plus ORIGINAL b = 267 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S276 S278 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(21) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 21) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(21) ORIGINAL a times divisor = 399 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S277 S279 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(21) plus ORIGINAL b := sum(399, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(21) plus ORIGINAL b = 400 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S278 S280 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(42) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 42) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(42) ORIGINAL a times divisor = 798 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S279 S281 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(42) plus ORIGINAL b := sum(798, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(42) plus ORIGINAL b = 799 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S280 S282 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) full forward divisor sum := sum(20, 39, 58, 115, 134, 267, 400, 799) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) full forward divisor sum = 1832 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S281 S283 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(10) times SAME F(n/10) := mul(1, 1832) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(10) times SAME F(n/10) = 1832 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S282 S284 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor12:actual positive input for mu=12 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S283 S285 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=12>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S284 S286 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(12, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 6 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S285 S287 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence1 := div(6, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence1 = 3 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S286 S288 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=12;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=2;next remaining=3;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S287 S289 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S288 S290 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S289 S291 · calculation操作前 upf canonical complete product factor2 := mul(4, 3) 操作後 upf canonical complete product factor2 = 12 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S290 S292 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=3;d*d>remaining;ORIGINAL n=12 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 2, 3];full product=12;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S291 S293 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor12:input=12;COMPLETE prime multiset=[2, 2, 3];distinct primes=[2, 3] 操作後 mu=0;empty product case=否;repeated prime=是 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S292 S294 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor12 := div(420, 12) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor12 = 35 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S293 S295 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12):actual positive input=35;check complete integer range1..35 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 5, 7, 35];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S294 S296 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(1) ORIGINAL a times divisor = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S295 S297 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(1) plus ORIGINAL b := sum(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(1) plus ORIGINAL b = 20 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S296 S298 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 5) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(5) ORIGINAL a times divisor = 95 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S297 S299 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(5) plus ORIGINAL b := sum(95, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(5) plus ORIGINAL b = 96 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S298 S300 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(7) ORIGINAL a times divisor = 133 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S299 S301 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(7) plus ORIGINAL b := sum(133, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(7) plus ORIGINAL b = 134 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S300 S302 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(35) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 35) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(35) ORIGINAL a times divisor = 665 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S301 S303 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(35) plus ORIGINAL b := sum(665, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(35) plus ORIGINAL b = 666 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S302 S304 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) full forward divisor sum := sum(20, 96, 134, 666) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) full forward divisor sum = 916 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S303 S305 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(12) times SAME F(n/12) := mul(0, 916) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(12) times SAME F(n/12) = 0 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S304 S306 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor14:actual positive input for mu=14 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S305 S307 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=14>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S306 S308 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(14, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 7 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S307 S309 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=14;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=7;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S308 S310 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S309 S311 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 7) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 14 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S310 S312 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=14 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 7];full product=14;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S311 S313 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor14:input=14;COMPLETE prime multiset=[2, 7];distinct primes=[2, 7] 操作後 mu=1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S312 S314 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor14 := div(420, 14) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor14 = 30 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S313 S315 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14):actual positive input=30;check complete integer range1..30 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S314 S316 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(1) ORIGINAL a times divisor = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S315 S317 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(1) plus ORIGINAL b := sum(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(1) plus ORIGINAL b = 20 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S316 S318 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(2) ORIGINAL a times divisor = 38 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S317 S319 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(2) plus ORIGINAL b := sum(38, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(2) plus ORIGINAL b = 39 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S318 S320 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(3) ORIGINAL a times divisor = 57 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S319 S321 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(3) plus ORIGINAL b := sum(57, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(3) plus ORIGINAL b = 58 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S320 S322 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 5) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(5) ORIGINAL a times divisor = 95 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S321 S323 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(5) plus ORIGINAL b := sum(95, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(5) plus ORIGINAL b = 96 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S322 S324 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 6) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(6) ORIGINAL a times divisor = 114 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S323 S325 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(6) plus ORIGINAL b := sum(114, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(6) plus ORIGINAL b = 115 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S324 S326 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(10) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 10) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(10) ORIGINAL a times divisor = 190 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S325 S327 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(10) plus ORIGINAL b := sum(190, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(10) plus ORIGINAL b = 191 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S326 S328 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(15) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 15) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(15) ORIGINAL a times divisor = 285 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S327 S329 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(15) plus ORIGINAL b := sum(285, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(15) plus ORIGINAL b = 286 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S328 S330 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(30) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 30) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(30) ORIGINAL a times divisor = 570 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S329 S331 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(30) plus ORIGINAL b := sum(570, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(30) plus ORIGINAL b = 571 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S330 S332 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) full forward divisor sum := sum(20, 39, 58, 96, 115, 191, 286, 571) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) full forward divisor sum = 1376 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S331 S333 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(14) times SAME F(n/14) := mul(1, 1376) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(14) times SAME F(n/14) = 1376 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S332 S334 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor15:actual positive input for mu=15 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S333 S335 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=15>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S334 S336 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=15;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=15;remaining modulo2=1;extracted multiset=[] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S335 S337 · calculation操作前 upf extract divisor3 occurrence0 := div(15, 3) 操作後 upf extract divisor3 occurrence0 = 5 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S336 S338 · implies操作前 next divisor=3;previous remaining=15;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=5;remaining modulo3=2;extracted multiset=[3] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S337 S339 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 3) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 3 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S338 S340 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(3, 5) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 15 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S339 S341 · implies操作前 exhausted trial divisors below4;terminal remaining=5;d*d>remaining;ORIGINAL n=15 操作後 complete increasing prime multiset=[3, 5];full product=15;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S340 S342 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor15:input=15;COMPLETE prime multiset=[3, 5];distinct primes=[3, 5] 操作後 mu=1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S341 S343 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor15 := div(420, 15) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor15 = 28 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S342 S344 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15):actual positive input=28;check complete integer range1..28 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4, 7, 14, 28];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S343 S345 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(1) ORIGINAL a times divisor = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S344 S346 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(1) plus ORIGINAL b := sum(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(1) plus ORIGINAL b = 20 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S345 S347 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(2) ORIGINAL a times divisor = 38 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S346 S348 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(2) plus ORIGINAL b := sum(38, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(2) plus ORIGINAL b = 39 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S347 S349 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 4) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(4) ORIGINAL a times divisor = 76 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S348 S350 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(4) plus ORIGINAL b := sum(76, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(4) plus ORIGINAL b = 77 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S349 S351 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(7) ORIGINAL a times divisor = 133 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S350 S352 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(7) plus ORIGINAL b := sum(133, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(7) plus ORIGINAL b = 134 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S351 S353 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(14) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 14) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(14) ORIGINAL a times divisor = 266 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S352 S354 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(14) plus ORIGINAL b := sum(266, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(14) plus ORIGINAL b = 267 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S353 S355 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(28) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 28) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(28) ORIGINAL a times divisor = 532 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S354 S356 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(28) plus ORIGINAL b := sum(532, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(28) plus ORIGINAL b = 533 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S355 S357 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) full forward divisor sum := sum(20, 39, 77, 134, 267, 533) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) full forward divisor sum = 1070 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S356 S358 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(15) times SAME F(n/15) := mul(1, 1070) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(15) times SAME F(n/15) = 1070 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S357 S359 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor20:actual positive input for mu=20 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S358 S360 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=20>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S359 S361 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(20, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 10 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S360 S362 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence1 := div(10, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence1 = 5 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S361 S363 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=20;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=2;next remaining=5;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S362 S364 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S363 S365 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S364 S366 · calculation操作前 upf canonical complete product factor2 := mul(4, 5) 操作後 upf canonical complete product factor2 = 20 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S365 S367 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=5;d*d>remaining;ORIGINAL n=20 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 2, 5];full product=20;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S366 S368 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor20:input=20;COMPLETE prime multiset=[2, 2, 5];distinct primes=[2, 5] 操作後 mu=0;empty product case=否;repeated prime=是 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S367 S369 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor20 := div(420, 20) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor20 = 21 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S368 S370 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20):actual positive input=21;check complete integer range1..21 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 3, 7, 21];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S369 S371 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(1) ORIGINAL a times divisor = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S370 S372 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(1) plus ORIGINAL b := sum(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(1) plus ORIGINAL b = 20 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S371 S373 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(3) ORIGINAL a times divisor = 57 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S372 S374 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(3) plus ORIGINAL b := sum(57, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(3) plus ORIGINAL b = 58 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S373 S375 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(7) ORIGINAL a times divisor = 133 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S374 S376 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(7) plus ORIGINAL b := sum(133, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(7) plus ORIGINAL b = 134 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S375 S377 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(21) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 21) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(21) ORIGINAL a times divisor = 399 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S376 S378 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(21) plus ORIGINAL b := sum(399, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(21) plus ORIGINAL b = 400 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S377 S379 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) full forward divisor sum := sum(20, 58, 134, 400) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) full forward divisor sum = 612 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S378 S380 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(20) times SAME F(n/20) := mul(0, 612) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(20) times SAME F(n/20) = 0 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S379 S381 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor21:actual positive input for mu=21 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S380 S382 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=21>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S381 S383 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=21;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=21;remaining modulo2=1;extracted multiset=[] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S382 S384 · calculation操作前 upf extract divisor3 occurrence0 := div(21, 3) 操作後 upf extract divisor3 occurrence0 = 7 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S383 S385 · implies操作前 next divisor=3;previous remaining=21;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=7;remaining modulo3=1;extracted multiset=[3] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S384 S386 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 3) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 3 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S385 S387 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(3, 7) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 21 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S386 S388 · implies操作前 exhausted trial divisors below4;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=21 操作後 complete increasing prime multiset=[3, 7];full product=21;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S387 S389 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor21:input=21;COMPLETE prime multiset=[3, 7];distinct primes=[3, 7] 操作後 mu=1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S388 S390 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor21 := div(420, 21) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor21 = 20 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S389 S391 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21):actual positive input=20;check complete integer range1..20 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4, 5, 10, 20];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S390 S392 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(1) ORIGINAL a times divisor = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S391 S393 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(1) plus ORIGINAL b := sum(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(1) plus ORIGINAL b = 20 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S392 S394 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(2) ORIGINAL a times divisor = 38 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S393 S395 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(2) plus ORIGINAL b := sum(38, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(2) plus ORIGINAL b = 39 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S394 S396 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 4) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(4) ORIGINAL a times divisor = 76 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S395 S397 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(4) plus ORIGINAL b := sum(76, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(4) plus ORIGINAL b = 77 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S396 S398 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 5) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(5) ORIGINAL a times divisor = 95 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S397 S399 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(5) plus ORIGINAL b := sum(95, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(5) plus ORIGINAL b = 96 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S398 S400 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(10) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 10) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(10) ORIGINAL a times divisor = 190 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S399 S401 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(10) plus ORIGINAL b := sum(190, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(10) plus ORIGINAL b = 191 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S400 S402 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(20) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 20) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(20) ORIGINAL a times divisor = 380 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S401 S403 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(20) plus ORIGINAL b := sum(380, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(20) plus ORIGINAL b = 381 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S402 S404 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) full forward divisor sum := sum(20, 39, 77, 96, 191, 381) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) full forward divisor sum = 804 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S403 S405 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(21) times SAME F(n/21) := mul(1, 804) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(21) times SAME F(n/21) = 804 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S404 S406 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor28:actual positive input for mu=28 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S405 S407 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=28>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S406 S408 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(28, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 14 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S407 S409 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence1 := div(14, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence1 = 7 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S408 S410 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=28;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=2;next remaining=7;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S409 S411 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S410 S412 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S411 S413 · calculation操作前 upf canonical complete product factor2 := mul(4, 7) 操作後 upf canonical complete product factor2 = 28 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S412 S414 · implies操作前 exhausted trial divisors below3;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=28 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 2, 7];full product=28;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S413 S415 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor28:input=28;COMPLETE prime multiset=[2, 2, 7];distinct primes=[2, 7] 操作後 mu=0;empty product case=否;repeated prime=是 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S414 S416 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor28 := div(420, 28) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor28 = 15 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S415 S417 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28):actual positive input=15;check complete integer range1..15 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 3, 5, 15];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S416 S418 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28) f(1) ORIGINAL a times divisor = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S417 S419 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28) f(1) plus ORIGINAL b := sum(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28) f(1) plus ORIGINAL b = 20 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S418 S420 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28) f(3) ORIGINAL a times divisor = 57 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S419 S421 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28) f(3) plus ORIGINAL b := sum(57, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28) f(3) plus ORIGINAL b = 58 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S420 S422 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 5) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28) f(5) ORIGINAL a times divisor = 95 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S421 S423 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28) f(5) plus ORIGINAL b := sum(95, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28) f(5) plus ORIGINAL b = 96 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S422 S424 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28) f(15) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 15) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28) f(15) ORIGINAL a times divisor = 285 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S423 S425 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28) f(15) plus ORIGINAL b := sum(285, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28) f(15) plus ORIGINAL b = 286 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S424 S426 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28) full forward divisor sum := sum(20, 58, 96, 286) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28) full forward divisor sum = 460 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S425 S427 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(28) times SAME F(n/28) := mul(0, 460) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(28) times SAME F(n/28) = 0 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S426 S428 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor30:actual positive input for mu=30 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S427 S429 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=30>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S428 S430 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(30, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 15 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S429 S431 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=30;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=15;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S430 S432 · calculation操作前 upf extract divisor3 occurrence1 := div(15, 3) 操作後 upf extract divisor3 occurrence1 = 5 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S431 S433 · implies操作前 next divisor=3;previous remaining=15;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=5;remaining modulo3=2;extracted multiset=[2, 3] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S432 S434 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S433 S435 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 3) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 6 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S434 S436 · calculation操作前 upf canonical complete product factor2 := mul(6, 5) 操作後 upf canonical complete product factor2 = 30 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S435 S437 · implies操作前 exhausted trial divisors below4;terminal remaining=5;d*d>remaining;ORIGINAL n=30 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 3, 5];full product=30;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S436 S438 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor30:input=30;COMPLETE prime multiset=[2, 3, 5];distinct primes=[2, 3, 5] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S437 S439 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor30 := div(420, 30) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor30 = 14 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S438 S440 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30):actual positive input=14;check complete integer range1..14 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 7, 14];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S439 S441 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(1) ORIGINAL a times divisor = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S440 S442 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(1) plus ORIGINAL b := sum(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(1) plus ORIGINAL b = 20 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S441 S443 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(2) ORIGINAL a times divisor = 38 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S442 S444 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(2) plus ORIGINAL b := sum(38, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(2) plus ORIGINAL b = 39 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S443 S445 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(7) ORIGINAL a times divisor = 133 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S444 S446 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(7) plus ORIGINAL b := sum(133, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(7) plus ORIGINAL b = 134 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S445 S447 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(14) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 14) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(14) ORIGINAL a times divisor = 266 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S446 S448 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(14) plus ORIGINAL b := sum(266, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(14) plus ORIGINAL b = 267 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S447 S449 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) full forward divisor sum := sum(20, 39, 134, 267) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) full forward divisor sum = 460 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S448 S450 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(30) times SAME F(n/30) := mul(-1, 460) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(30) times SAME F(n/30) = -460 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S449 S451 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor35:actual positive input for mu=35 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S450 S452 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=35>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S451 S453 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=35;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=35;remaining modulo2=1;extracted multiset=[] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S452 S454 · implies操作前 next divisor=3;previous remaining=35;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=35;remaining modulo3=2;extracted multiset=[] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S453 S455 · implies操作前 next divisor=4;previous remaining=35;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=35;remaining modulo4=3;extracted multiset=[] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S454 S456 · calculation操作前 upf extract divisor5 occurrence0 := div(35, 5) 操作後 upf extract divisor5 occurrence0 = 7 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S455 S457 · implies操作前 next divisor=5;previous remaining=35;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=7;remaining modulo5=2;extracted multiset=[5] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S456 S458 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 5) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 5 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S457 S459 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(5, 7) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 35 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S458 S460 · implies操作前 exhausted trial divisors below6;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=35 操作後 complete increasing prime multiset=[5, 7];full product=35;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S459 S461 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor35:input=35;COMPLETE prime multiset=[5, 7];distinct primes=[5, 7] 操作後 mu=1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S460 S462 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor35 := div(420, 35) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor35 = 12 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S461 S463 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35):actual positive input=12;check complete integer range1..12 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 4, 6, 12];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S462 S464 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(1) ORIGINAL a times divisor = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S463 S465 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(1) plus ORIGINAL b := sum(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(1) plus ORIGINAL b = 20 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S464 S466 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(2) ORIGINAL a times divisor = 38 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S465 S467 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(2) plus ORIGINAL b := sum(38, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(2) plus ORIGINAL b = 39 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S466 S468 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(3) ORIGINAL a times divisor = 57 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S467 S469 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(3) plus ORIGINAL b := sum(57, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(3) plus ORIGINAL b = 58 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S468 S470 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 4) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(4) ORIGINAL a times divisor = 76 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S469 S471 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(4) plus ORIGINAL b := sum(76, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(4) plus ORIGINAL b = 77 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S470 S472 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 6) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(6) ORIGINAL a times divisor = 114 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S471 S473 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(6) plus ORIGINAL b := sum(114, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(6) plus ORIGINAL b = 115 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S472 S474 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(12) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 12) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(12) ORIGINAL a times divisor = 228 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S473 S475 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(12) plus ORIGINAL b := sum(228, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(12) plus ORIGINAL b = 229 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S474 S476 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) full forward divisor sum := sum(20, 39, 58, 77, 115, 229) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) full forward divisor sum = 538 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S475 S477 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(35) times SAME F(n/35) := mul(1, 538) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(35) times SAME F(n/35) = 538 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S476 S478 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor42:actual positive input for mu=42 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S477 S479 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=42>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S478 S480 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(42, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 21 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S479 S481 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=42;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=21;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S480 S482 · calculation操作前 upf extract divisor3 occurrence1 := div(21, 3) 操作後 upf extract divisor3 occurrence1 = 7 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S481 S483 · implies操作前 next divisor=3;previous remaining=21;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=7;remaining modulo3=1;extracted multiset=[2, 3] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S482 S484 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S483 S485 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 3) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 6 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S484 S486 · calculation操作前 upf canonical complete product factor2 := mul(6, 7) 操作後 upf canonical complete product factor2 = 42 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S485 S487 · implies操作前 exhausted trial divisors below4;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=42 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 3, 7];full product=42;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S486 S488 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor42:input=42;COMPLETE prime multiset=[2, 3, 7];distinct primes=[2, 3, 7] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S487 S489 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor42 := div(420, 42) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor42 = 10 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S488 S490 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42):actual positive input=10;check complete integer range1..10 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 5, 10];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S489 S491 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(1) ORIGINAL a times divisor = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S490 S492 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(1) plus ORIGINAL b := sum(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(1) plus ORIGINAL b = 20 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S491 S493 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(2) ORIGINAL a times divisor = 38 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S492 S494 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(2) plus ORIGINAL b := sum(38, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(2) plus ORIGINAL b = 39 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S493 S495 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 5) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(5) ORIGINAL a times divisor = 95 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S494 S496 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(5) plus ORIGINAL b := sum(95, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(5) plus ORIGINAL b = 96 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S495 S497 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(10) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 10) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(10) ORIGINAL a times divisor = 190 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S496 S498 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(10) plus ORIGINAL b := sum(190, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(10) plus ORIGINAL b = 191 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S497 S499 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) full forward divisor sum := sum(20, 39, 96, 191) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) full forward divisor sum = 346 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S498 S500 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(42) times SAME F(n/42) := mul(-1, 346) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(42) times SAME F(n/42) = -346 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S499 S501 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor60:actual positive input for mu=60 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S500 S502 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=60>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S501 S503 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(60, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 30 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S502 S504 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence1 := div(30, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence1 = 15 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S503 S505 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=60;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=2;next remaining=15;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S504 S506 · calculation操作前 upf extract divisor3 occurrence2 := div(15, 3) 操作後 upf extract divisor3 occurrence2 = 5 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S505 S507 · implies操作前 next divisor=3;previous remaining=15;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=5;remaining modulo3=2;extracted multiset=[2, 2, 3] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S506 S508 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S507 S509 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S508 S510 · calculation操作前 upf canonical complete product factor2 := mul(4, 3) 操作後 upf canonical complete product factor2 = 12 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S509 S511 · calculation操作前 upf canonical complete product factor3 := mul(12, 5) 操作後 upf canonical complete product factor3 = 60 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S510 S512 · implies操作前 exhausted trial divisors below4;terminal remaining=5;d*d>remaining;ORIGINAL n=60 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 2, 3, 5];full product=60;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S511 S513 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor60:input=60;COMPLETE prime multiset=[2, 2, 3, 5];distinct primes=[2, 3, 5] 操作後 mu=0;empty product case=否;repeated prime=是 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S512 S514 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor60 := div(420, 60) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor60 = 7 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S513 S515 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60):actual positive input=7;check complete integer range1..7 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 7];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S514 S516 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(1) ORIGINAL a times divisor = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S515 S517 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(1) plus ORIGINAL b := sum(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(1) plus ORIGINAL b = 20 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S516 S518 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 7) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(7) ORIGINAL a times divisor = 133 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S517 S519 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(7) plus ORIGINAL b := sum(133, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(7) plus ORIGINAL b = 134 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S518 S520 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) full forward divisor sum := sum(20, 134) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) full forward divisor sum = 154 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S519 S521 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(60) times SAME F(n/60) := mul(0, 154) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(60) times SAME F(n/60) = 0 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S520 S522 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor70:actual positive input for mu=70 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S521 S523 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=70>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S522 S524 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(70, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 35 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S523 S525 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=70;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=35;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S524 S526 · implies操作前 next divisor=3;previous remaining=35;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=35;remaining modulo3=2;extracted multiset=[2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S525 S527 · implies操作前 next divisor=4;previous remaining=35;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=35;remaining modulo4=3;extracted multiset=[2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S526 S528 · calculation操作前 upf extract divisor5 occurrence1 := div(35, 5) 操作後 upf extract divisor5 occurrence1 = 7 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S527 S529 · implies操作前 next divisor=5;previous remaining=35;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=7;remaining modulo5=2;extracted multiset=[2, 5] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S528 S530 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S529 S531 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 5) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 10 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S530 S532 · calculation操作前 upf canonical complete product factor2 := mul(10, 7) 操作後 upf canonical complete product factor2 = 70 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S531 S533 · implies操作前 exhausted trial divisors below6;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=70 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 5, 7];full product=70;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S532 S534 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor70:input=70;COMPLETE prime multiset=[2, 5, 7];distinct primes=[2, 5, 7] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S533 S535 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor70 := div(420, 70) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor70 = 6 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S534 S536 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70):actual positive input=6;check complete integer range1..6 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 3, 6];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S535 S537 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(1) ORIGINAL a times divisor = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S536 S538 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(1) plus ORIGINAL b := sum(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(1) plus ORIGINAL b = 20 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S537 S539 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(2) ORIGINAL a times divisor = 38 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S538 S540 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(2) plus ORIGINAL b := sum(38, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(2) plus ORIGINAL b = 39 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S539 S541 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(3) ORIGINAL a times divisor = 57 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S540 S542 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(3) plus ORIGINAL b := sum(57, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(3) plus ORIGINAL b = 58 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S541 S543 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(6) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 6) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(6) ORIGINAL a times divisor = 114 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S542 S544 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(6) plus ORIGINAL b := sum(114, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(6) plus ORIGINAL b = 115 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S543 S545 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) full forward divisor sum := sum(20, 39, 58, 115) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) full forward divisor sum = 232 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S544 S546 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(70) times SAME F(n/70) := mul(-1, 232) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(70) times SAME F(n/70) = -232 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S545 S547 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor84:actual positive input for mu=84 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S546 S548 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=84>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S547 S549 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(84, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 42 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S548 S550 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence1 := div(42, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence1 = 21 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S549 S551 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=84;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=2;next remaining=21;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S550 S552 · calculation操作前 upf extract divisor3 occurrence2 := div(21, 3) 操作後 upf extract divisor3 occurrence2 = 7 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S551 S553 · implies操作前 next divisor=3;previous remaining=21;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=7;remaining modulo3=1;extracted multiset=[2, 2, 3] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S552 S554 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S553 S555 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S554 S556 · calculation操作前 upf canonical complete product factor2 := mul(4, 3) 操作後 upf canonical complete product factor2 = 12 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S555 S557 · calculation操作前 upf canonical complete product factor3 := mul(12, 7) 操作後 upf canonical complete product factor3 = 84 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S556 S558 · implies操作前 exhausted trial divisors below4;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=84 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 2, 3, 7];full product=84;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S557 S559 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor84:input=84;COMPLETE prime multiset=[2, 2, 3, 7];distinct primes=[2, 3, 7] 操作後 mu=0;empty product case=否;repeated prime=是 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S558 S560 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor84 := div(420, 84) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor84 = 5 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S559 S561 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/84):actual positive input=5;check complete integer range1..5 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 5];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S560 S562 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/84) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/84) f(1) ORIGINAL a times divisor = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S561 S563 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/84) f(1) plus ORIGINAL b := sum(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/84) f(1) plus ORIGINAL b = 20 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S562 S564 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/84) f(5) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 5) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/84) f(5) ORIGINAL a times divisor = 95 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S563 S565 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/84) f(5) plus ORIGINAL b := sum(95, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/84) f(5) plus ORIGINAL b = 96 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S564 S566 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/84) full forward divisor sum := sum(20, 96) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/84) full forward divisor sum = 116 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S565 S567 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(84) times SAME F(n/84) := mul(0, 116) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(84) times SAME F(n/84) = 0 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S566 S568 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor105:actual positive input for mu=105 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S567 S569 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=105>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S568 S570 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=105;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=105;remaining modulo2=1;extracted multiset=[] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S569 S571 · calculation操作前 upf extract divisor3 occurrence0 := div(105, 3) 操作後 upf extract divisor3 occurrence0 = 35 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S570 S572 · implies操作前 next divisor=3;previous remaining=105;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=35;remaining modulo3=2;extracted multiset=[3] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S571 S573 · implies操作前 next divisor=4;previous remaining=35;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=35;remaining modulo4=3;extracted multiset=[3] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S572 S574 · calculation操作前 upf extract divisor5 occurrence1 := div(35, 5) 操作後 upf extract divisor5 occurrence1 = 7 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S573 S575 · implies操作前 next divisor=5;previous remaining=35;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=7;remaining modulo5=2;extracted multiset=[3, 5] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S574 S576 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 3) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 3 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S575 S577 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(3, 5) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 15 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S576 S578 · calculation操作前 upf canonical complete product factor2 := mul(15, 7) 操作後 upf canonical complete product factor2 = 105 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S577 S579 · implies操作前 exhausted trial divisors below6;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=105 操作後 complete increasing prime multiset=[3, 5, 7];full product=105;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S578 S580 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor105:input=105;COMPLETE prime multiset=[3, 5, 7];distinct primes=[3, 5, 7] 操作後 mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S579 S581 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor105 := div(420, 105) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor105 = 4 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S580 S582 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105):actual positive input=4;check complete integer range1..4 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 4];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S581 S583 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(1) ORIGINAL a times divisor = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S582 S584 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(1) plus ORIGINAL b := sum(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(1) plus ORIGINAL b = 20 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S583 S585 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(2) ORIGINAL a times divisor = 38 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S584 S586 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(2) plus ORIGINAL b := sum(38, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(2) plus ORIGINAL b = 39 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S585 S587 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(4) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 4) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(4) ORIGINAL a times divisor = 76 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S586 S588 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(4) plus ORIGINAL b := sum(76, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(4) plus ORIGINAL b = 77 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S587 S589 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) full forward divisor sum := sum(20, 39, 77) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) full forward divisor sum = 136 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S588 S590 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(105) times SAME F(n/105) := mul(-1, 136) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(105) times SAME F(n/105) = -136 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S589 S591 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor140:actual positive input for mu=140 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S590 S592 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=140>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S591 S593 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(140, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 70 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S592 S594 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence1 := div(70, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence1 = 35 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S593 S595 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=140;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=2;next remaining=35;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S594 S596 · implies操作前 next divisor=3;previous remaining=35;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=35;remaining modulo3=2;extracted multiset=[2, 2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S595 S597 · implies操作前 next divisor=4;previous remaining=35;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=35;remaining modulo4=3;extracted multiset=[2, 2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S596 S598 · calculation操作前 upf extract divisor5 occurrence2 := div(35, 5) 操作後 upf extract divisor5 occurrence2 = 7 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S597 S599 · implies操作前 next divisor=5;previous remaining=35;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=7;remaining modulo5=2;extracted multiset=[2, 2, 5] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S598 S600 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S599 S601 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S600 S602 · calculation操作前 upf canonical complete product factor2 := mul(4, 5) 操作後 upf canonical complete product factor2 = 20 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S601 S603 · calculation操作前 upf canonical complete product factor3 := mul(20, 7) 操作後 upf canonical complete product factor3 = 140 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S602 S604 · implies操作前 exhausted trial divisors below6;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=140 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 2, 5, 7];full product=140;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S603 S605 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor140:input=140;COMPLETE prime multiset=[2, 2, 5, 7];distinct primes=[2, 5, 7] 操作後 mu=0;empty product case=否;repeated prime=是 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S604 S606 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor140 := div(420, 140) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor140 = 3 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S605 S607 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/140):actual positive input=3;check complete integer range1..3 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 3];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S606 S608 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/140) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/140) f(1) ORIGINAL a times divisor = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S607 S609 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/140) f(1) plus ORIGINAL b := sum(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/140) f(1) plus ORIGINAL b = 20 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S608 S610 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/140) f(3) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 3) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/140) f(3) ORIGINAL a times divisor = 57 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S609 S611 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/140) f(3) plus ORIGINAL b := sum(57, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/140) f(3) plus ORIGINAL b = 58 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S610 S612 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/140) full forward divisor sum := sum(20, 58) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/140) full forward divisor sum = 78 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S611 S613 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(140) times SAME F(n/140) := mul(0, 78) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(140) times SAME F(n/140) = 0 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S612 S614 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor210:actual positive input for mu=210 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S613 S615 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=210>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S614 S616 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(210, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 105 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S615 S617 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=210;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=105;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S616 S618 · calculation操作前 upf extract divisor3 occurrence1 := div(105, 3) 操作後 upf extract divisor3 occurrence1 = 35 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S617 S619 · implies操作前 next divisor=3;previous remaining=105;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=35;remaining modulo3=2;extracted multiset=[2, 3] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S618 S620 · implies操作前 next divisor=4;previous remaining=35;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=35;remaining modulo4=3;extracted multiset=[2, 3] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S619 S621 · calculation操作前 upf extract divisor5 occurrence2 := div(35, 5) 操作後 upf extract divisor5 occurrence2 = 7 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S620 S622 · implies操作前 next divisor=5;previous remaining=35;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=7;remaining modulo5=2;extracted multiset=[2, 3, 5] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S621 S623 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S622 S624 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 3) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 6 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S623 S625 · calculation操作前 upf canonical complete product factor2 := mul(6, 5) 操作後 upf canonical complete product factor2 = 30 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S624 S626 · calculation操作前 upf canonical complete product factor3 := mul(30, 7) 操作後 upf canonical complete product factor3 = 210 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S625 S627 · implies操作前 exhausted trial divisors below6;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=210 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 3, 5, 7];full product=210;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S626 S628 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor210:input=210;COMPLETE prime multiset=[2, 3, 5, 7];distinct primes=[2, 3, 5, 7] 操作後 mu=1;empty product case=否;repeated prime=否 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S627 S629 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor210 := div(420, 210) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor210 = 2 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S628 S630 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/210):actual positive input=2;check complete integer range1..2 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1, 2];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S629 S631 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/210) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/210) f(1) ORIGINAL a times divisor = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S630 S632 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/210) f(1) plus ORIGINAL b := sum(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/210) f(1) plus ORIGINAL b = 20 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S631 S633 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/210) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 2) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/210) f(2) ORIGINAL a times divisor = 38 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S632 S634 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/210) f(2) plus ORIGINAL b := sum(38, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/210) f(2) plus ORIGINAL b = 39 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S633 S635 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/210) full forward divisor sum := sum(20, 39) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/210) full forward divisor sum = 59 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S634 S636 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(210) times SAME F(n/210) := mul(1, 59) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(210) times SAME F(n/210) = 59 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S635 S637 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor420:actual positive input for mu=420 操作後 complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search 條件：無 先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。 步驟識別與依賴規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S636 S638 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=420>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S637 S639 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(420, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 210 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S638 S640 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence1 := div(210, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence1 = 105 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S639 S641 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=420;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=2;next remaining=105;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2, 2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S640 S642 · calculation操作前 upf extract divisor3 occurrence2 := div(105, 3) 操作後 upf extract divisor3 occurrence2 = 35 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S641 S643 · implies操作前 next divisor=3;previous remaining=105;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=35;remaining modulo3=2;extracted multiset=[2, 2, 3] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S642 S644 · implies操作前 next divisor=4;previous remaining=35;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=35;remaining modulo4=3;extracted multiset=[2, 2, 3] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S643 S645 · calculation操作前 upf extract divisor5 occurrence3 := div(35, 5) 操作後 upf extract divisor5 occurrence3 = 7 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S644 S646 · implies操作前 next divisor=5;previous remaining=35;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=7;remaining modulo5=2;extracted multiset=[2, 2, 3, 5] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S645 S647 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S646 S648 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 2) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S647 S649 · calculation操作前 upf canonical complete product factor2 := mul(4, 3) 操作後 upf canonical complete product factor2 = 12 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S648 S650 · calculation操作前 upf canonical complete product factor3 := mul(12, 5) 操作後 upf canonical complete product factor3 = 60 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S649 S651 · calculation操作前 upf canonical complete product factor4 := mul(60, 7) 操作後 upf canonical complete product factor4 = 420 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S650 S652 · implies操作前 exhausted trial divisors below6;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=420 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 2, 3, 5, 7];full product=420;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S651 S653 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse Mobius at ORIGINAL divisor420:input=420;COMPLETE prime multiset=[2, 2, 3, 5, 7];distinct primes=[2, 3, 5, 7] 操作後 mu=0;empty product case=否;repeated prime=是 條件：無 1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。 步驟識別與依賴規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S652 S654 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor420 := div(420, 420) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor420 = 1 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S653 S655 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/420):actual positive input=1;check complete integer range1..1 操作後 ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n 條件：無 逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。 步驟識別與依賴規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S654 S656 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/420) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/420) f(1) ORIGINAL a times divisor = 19 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S655 S657 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/420) f(1) plus ORIGINAL b := sum(19, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/420) f(1) plus ORIGINAL b = 20 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S656 S658 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/420) full forward divisor sum := sum(20) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/420) full forward divisor sum = 20 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S657 S659 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(420) times SAME F(n/420) := mul(0, 20) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(420) times SAME F(n/420) = 0 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S658 S660 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse complete inverse-term sum := sum(25560, -10960, -6396, 0, -4268, 2744, -3204, 1832, 0, 1376, 1070, 0, 804, 0, -460, 538, -346, 0, -232, 0, -136, 0, 59, 0) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse complete inverse-term sum = 7981 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S659 S661 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse direct ORIGINAL a times n := mul(19, 420) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse direct ORIGINAL a times n = 7980 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S660 S662 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse direct plus ORIGINAL b := sum(7980, 1) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL inverse direct plus ORIGINAL b = 7981 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S661 S663 · implies操作前 Mobius inversion ORIGINAL inverse:actual n=420;ALL [d,mu(d),n/d,F(n/d),mu(d)*F(n/d)] rows=[[1, 1, 420, 25560, 25560], [2, -1, 210, 10960, -10960], [3, -1, 140, 6396, -6396], [4, 0, 105, 3656, 0], [5, -1, 84, 4268, -4268], [6, 1, 70, 2744, 2744], [7, -1, 60, 3204, -3204], [10, 1, 42, 1832, 1832], [12, 0, 35, 916, 0], [14, 1, 30, 1376, 1376], [15, 1, 28, 1070, 1070], [20, 0, 21, 612, 0], [21, 1, 20, 804, 804], [28, 0, 15, 460, 0], [30, -1, 14, 460, -460], [35, 1, 12, 538, 538], [42, -1, 10, 346, -346], [60, 0, 7, 154, 0], [70, -1, 6, 232, -232], [84, 0, 5, 116, 0], [105, -1, 4, 136, -136], [140, 0, 3, 78, 0], [210, 1, 2, 59, 59], [420, 0, 1, 20, 0]] 操作後 complete reconstructed=7981;direct f(n)=7981;sum_d mu(d)sum_e|n/d f(e)=sum_e|n f(e)sum_d|n/e mu(d)=f(n) 條件：無 有限雙和可換序，d*e|n；內層mu和在n/e=1時為1，否則由不同prime子集合正負配對為0，故只留e=n。n=1也有d=1、mu1=1，不混另一等價公式的index。 步驟識別與依賴規則：mobinv_general_finite_double_sum_and_Mobius_cancellation · 依賴：G001, S662 S664 · calculation操作前 Mobius inversion ORIGINAL omitted-divisor partial sum := sum(-10960, -6396, 0, -4268, 2744, -3204, 1832, 0, 1376, 1070, 0, 804, 0, -460, 538, -346, 0, -232, 0, -136, 0, 59, 0) 操作後 Mobius inversion ORIGINAL omitted-divisor partial sum = -17579 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S663 S665 · calculation操作前 Mobius inversion complete minus partial := sub(7981, -17579) 操作後 Mobius inversion complete minus partial = 25560 條件：無 依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S664 S666 · implies操作前 ORIGINAL full divisors=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 28, 30, 35, 42, 60, 70, 84, 105, 140, 210, 420];actual omitted divisor=1;remaining ORIGINAL-order divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 28, 30, 35, 42, 60, 70, 84, 105, 140, 210, 420] 操作後 complete=7981=f(n)=7981;partial=-17579;lost term=25560!=0;incomplete_certificate fixed No 條件：無 必須真漏一個divisor且其貢獻非零，使部分結果與目標不同；漏零項而恰巧相等不給本boundary證書。No拒絕不完整證書，不否認完整反演正確。 步驟識別與依賴規則：mobinv_omission_actual_nonzero_discriminative_term · 依賴：G001, S665 ## 逐步反向核對 - S666 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S665 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion complete minus partial，不以小數近似替代。 - S664 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL omitted-divisor partial sum，不以小數近似替代。 - S663 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S662 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse direct plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S661 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse direct ORIGINAL a times n，不以小數近似替代。 - S660 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse complete inverse-term sum，不以小數近似替代。 - S659 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(420) times SAME F(n/420)，不以小數近似替代。 - S658 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/420) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S657 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/420) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S656 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/420) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S655 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S654 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor420，不以小數近似替代。 - S653 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S652 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S651 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor4，不以小數近似替代。 - S650 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor3，不以小數近似替代。 - S649 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。 - S648 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S647 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S646 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S645 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor5 occurrence3，不以小數近似替代。 - S644 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S643 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S642 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor3 occurrence2，不以小數近似替代。 - S641 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S640 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。 - S639 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S638 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S637 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S636 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(210) times SAME F(n/210)，不以小數近似替代。 - S635 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/210) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S634 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/210) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S633 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/210) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S632 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/210) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S631 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/210) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S630 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S629 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor210，不以小數近似替代。 - S628 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S627 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S626 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor3，不以小數近似替代。 - S625 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。 - S624 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S623 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S622 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S621 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor5 occurrence2，不以小數近似替代。 - S620 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S619 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S618 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor3 occurrence1，不以小數近似替代。 - S617 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S616 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S615 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S614 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S613 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(140) times SAME F(n/140)，不以小數近似替代。 - S612 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/140) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S611 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/140) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S610 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/140) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S609 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/140) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S608 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/140) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S607 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S606 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor140，不以小數近似替代。 - S605 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S604 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S603 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor3，不以小數近似替代。 - S602 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。 - S601 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S600 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S599 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S598 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor5 occurrence2，不以小數近似替代。 - S597 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S596 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S595 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S594 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。 - S593 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S592 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S591 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S590 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(105) times SAME F(n/105)，不以小數近似替代。 - S589 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S588 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S587 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S586 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S585 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S584 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S583 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/105) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S582 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S581 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor105，不以小數近似替代。 - S580 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S579 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S578 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。 - S577 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S576 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S575 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S574 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor5 occurrence1，不以小數近似替代。 - S573 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S572 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S571 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor3 occurrence0，不以小數近似替代。 - S570 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S569 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S568 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S567 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(84) times SAME F(n/84)，不以小數近似替代。 - S566 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/84) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S565 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/84) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S564 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/84) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S563 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/84) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S562 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/84) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S561 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S560 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor84，不以小數近似替代。 - S559 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S558 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S557 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor3，不以小數近似替代。 - S556 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。 - S555 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S554 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S553 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S552 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor3 occurrence2，不以小數近似替代。 - S551 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S550 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。 - S549 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S548 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S547 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S546 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(70) times SAME F(n/70)，不以小數近似替代。 - S545 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S544 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S543 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S542 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S541 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S540 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S539 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S538 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S537 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/70) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S536 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S535 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor70，不以小數近似替代。 - S534 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S533 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S532 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。 - S531 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S530 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S529 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S528 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor5 occurrence1，不以小數近似替代。 - S527 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S526 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S525 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S524 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S523 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S522 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S521 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(60) times SAME F(n/60)，不以小數近似替代。 - S520 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S519 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S518 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S517 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S516 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/60) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S515 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S514 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor60，不以小數近似替代。 - S513 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S512 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S511 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor3，不以小數近似替代。 - S510 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。 - S509 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S508 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S507 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S506 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor3 occurrence2，不以小數近似替代。 - S505 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S504 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。 - S503 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S502 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S501 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S500 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(42) times SAME F(n/42)，不以小數近似替代。 - S499 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S498 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(10) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S497 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(10) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S496 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S495 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S494 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S493 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S492 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S491 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/42) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S490 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S489 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor42，不以小數近似替代。 - S488 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S487 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S486 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。 - S485 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S484 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S483 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S482 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor3 occurrence1，不以小數近似替代。 - S481 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S480 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S479 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S478 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S477 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(35) times SAME F(n/35)，不以小數近似替代。 - S476 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S475 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(12) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S474 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(12) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S473 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S472 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S471 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S470 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S469 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S468 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S467 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S466 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S465 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S464 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/35) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S463 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S462 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor35，不以小數近似替代。 - S461 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S460 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S459 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S458 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S457 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S456 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor5 occurrence0，不以小數近似替代。 - S455 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S454 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S453 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S452 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S451 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S450 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(30) times SAME F(n/30)，不以小數近似替代。 - S449 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S448 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(14) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S447 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(14) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S446 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S445 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S444 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S443 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S442 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S441 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/30) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S440 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S439 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor30，不以小數近似替代。 - S438 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S437 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S436 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。 - S435 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S434 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S433 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S432 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor3 occurrence1，不以小數近似替代。 - S431 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S430 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S429 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S428 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S427 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(28) times SAME F(n/28)，不以小數近似替代。 - S426 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S425 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28) f(15) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S424 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28) f(15) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S423 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S422 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S421 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S420 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S419 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S418 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/28) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S417 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S416 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor28，不以小數近似替代。 - S415 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S414 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S413 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。 - S412 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S411 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S410 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S409 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。 - S408 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S407 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S406 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S405 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(21) times SAME F(n/21)，不以小數近似替代。 - S404 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S403 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(20) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S402 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(20) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S401 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(10) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S400 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(10) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S399 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S398 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S397 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S396 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S395 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S394 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S393 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S392 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/21) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S391 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S390 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor21，不以小數近似替代。 - S389 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S388 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S387 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S386 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S385 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S384 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor3 occurrence0，不以小數近似替代。 - S383 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S382 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S381 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S380 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(20) times SAME F(n/20)，不以小數近似替代。 - S379 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S378 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(21) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S377 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(21) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S376 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S375 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S374 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S373 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S372 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S371 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/20) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S370 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S369 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor20，不以小數近似替代。 - S368 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S367 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S366 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。 - S365 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S364 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S363 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S362 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。 - S361 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S360 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S359 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S358 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(15) times SAME F(n/15)，不以小數近似替代。 - S357 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S356 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(28) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S355 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(28) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S354 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(14) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S353 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(14) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S352 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S351 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S350 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S349 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S348 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S347 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S346 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S345 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/15) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S344 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S343 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor15，不以小數近似替代。 - S342 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S341 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S340 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S339 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S338 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S337 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor3 occurrence0，不以小數近似替代。 - S336 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S335 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S334 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S333 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(14) times SAME F(n/14)，不以小數近似替代。 - S332 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S331 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(30) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S330 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(30) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S329 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(15) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S328 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(15) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S327 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(10) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S326 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(10) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S325 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S324 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S323 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S322 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S321 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S320 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S319 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S318 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S317 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S316 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/14) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S315 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S314 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor14，不以小數近似替代。 - S313 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S312 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S311 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S310 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S309 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S308 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S307 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S306 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S305 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(12) times SAME F(n/12)，不以小數近似替代。 - S304 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S303 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(35) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S302 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(35) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S301 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S300 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S299 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S298 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S297 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S296 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/12) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S295 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S294 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor12，不以小數近似替代。 - S293 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S292 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S291 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。 - S290 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S289 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S288 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S287 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。 - S286 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S285 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S284 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S283 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(10) times SAME F(n/10)，不以小數近似替代。 - S282 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S281 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(42) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S280 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(42) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S279 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(21) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S278 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(21) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S277 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(14) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S276 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(14) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S275 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S274 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S273 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S272 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S271 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S270 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S269 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S268 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S267 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S266 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/10) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S265 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S264 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor10，不以小數近似替代。 - S263 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S262 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S261 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S260 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S259 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S258 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S257 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S256 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S255 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(7) times SAME F(n/7)，不以小數近似替代。 - S254 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S253 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(60) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S252 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(60) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S251 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(30) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S250 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(30) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S249 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(20) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S248 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(20) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S247 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(15) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S246 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(15) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S245 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(12) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S244 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(12) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S243 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(10) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S242 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(10) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S241 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S240 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S239 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S238 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S237 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S236 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S235 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S234 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S233 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S232 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S231 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S230 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/7) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S229 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S228 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor7，不以小數近似替代。 - S227 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S226 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S225 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S224 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S223 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S222 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S221 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(6) times SAME F(n/6)，不以小數近似替代。 - S220 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S219 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(70) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S218 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(70) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S217 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(35) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S216 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(35) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S215 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(14) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S214 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(14) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S213 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(10) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S212 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(10) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S211 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S210 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S209 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S208 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S207 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S206 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S205 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S204 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/6) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S203 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S202 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor6，不以小數近似替代。 - S201 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S200 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S199 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S198 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S197 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S196 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S195 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S194 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S193 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(5) times SAME F(n/5)，不以小數近似替代。 - S192 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S191 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(84) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S190 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(84) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S189 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(42) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S188 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(42) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S187 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(28) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S186 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(28) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S185 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(21) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S184 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(21) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S183 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(14) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S182 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(14) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S181 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(12) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S180 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(12) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S179 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S178 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S177 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S176 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S175 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S174 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S173 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S172 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S171 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S170 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S169 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S168 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/5) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S167 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S166 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor5，不以小數近似替代。 - S165 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S164 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S163 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S162 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S161 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S160 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S159 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(4) times SAME F(n/4)，不以小數近似替代。 - S158 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S157 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(105) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S156 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(105) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S155 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(35) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S154 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(35) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S153 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(21) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S152 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(21) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S151 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(15) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S150 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(15) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S149 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S148 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S147 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S146 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S145 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S144 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S143 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S142 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/4) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S141 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S140 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor4，不以小數近似替代。 - S139 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S138 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S137 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S136 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S135 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S134 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence1，不以小數近似替代。 - S133 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S132 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S131 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S130 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(3) times SAME F(n/3)，不以小數近似替代。 - S129 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S128 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(140) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S127 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(140) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S126 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(70) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S125 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(70) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S124 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(35) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S123 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(35) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S122 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(28) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S121 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(28) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S120 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(20) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S119 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(20) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S118 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(14) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S117 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(14) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S116 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(10) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S115 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(10) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S114 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S113 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S112 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S111 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S110 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S109 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S108 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S107 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S106 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S105 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/3) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S104 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S103 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor3，不以小數近似替代。 - S102 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S101 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S100 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S099 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S098 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S097 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(2) times SAME F(n/2)，不以小數近似替代。 - S096 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S095 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(210) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S094 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(210) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S093 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(105) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S092 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(105) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S091 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(70) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S090 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(70) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(42) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S088 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(42) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(35) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S086 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(35) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(30) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(30) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(21) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S082 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(21) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(15) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S080 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(15) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(14) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(14) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(10) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S076 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(10) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor2，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse mu(1) times SAME F(n/1)，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) full forward divisor sum，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(420) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(420) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(210) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(210) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(140) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(140) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(105) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(105) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(84) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(84) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(70) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(70) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(60) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(60) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(42) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(42) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(35) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(35) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(30) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(30) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(28) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(28) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(21) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(21) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(20) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(20) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(15) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(15) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(14) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(14) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(12) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(12) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(10) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(10) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(6) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(6) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(5) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(5) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(4) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(4) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(3) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(3) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius inversion ORIGINAL inverse n divided by ORIGINAL divisor1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (420, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 28, 30, 35, 42, 60, 70, 84, 105, 140, 210, 420], 1, [2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 28, 30, 35, 42, 60, 70, 84, 105, 140, 210, 420], 7981, -17579, 7981, 否, all_positive_divisors_and_consistent_d_to_n_over_d_indexing_required) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 7806e4ff3d8277bd94ac33a0f0e8730891b188bfb72572ca8aafed07af72349e - candidate record SHA-256: 946c79b18fc168292d79eea689bbb5d3f12350e923c73cf96dc22efa7aa05921 - semantic review receipt SHA-256: 49cf6ec60211c92d1c0c302663af4d44479635dc8181fb61a20c3374288e21c5 - question-first witness SHA-256: 10fd25b4643e5ff12753daceaa61f9f2499bf381f65ef96e9d21185c7c0d0c5e - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-0094.json)