# 第 23070 題：高階導數 [返回所在分頁 116](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/116/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261111-r02-higher-order-derivative-foundations/#q-20261014-advance-20261111-r02-higher-order-derivative-0045) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0045-23070 · q-20261014-advance-20261111-r02-higher-order-derivative-0045 ## 原題與已知條件 f^(0)=f且f^(n+1)=(f^n)'的逐階存在與n in natural including zero。操作=higher-polynomial-nth-derivative；資料={"coefficients":[20,40,60,80,100,120,140],"order":3,"point":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — f^(0)=f且f^(n+1)=(f^n)'的逐階存在與n in natural including zero。操作=higher-polynomial-nth-derivative；資料={"coefficients":[20,40,60,80,100,120,140],"order":3,"point":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-higher-order-derivative](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-higher-order-derivative/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=higher-polynomial-nth-derivative;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[coefficients, order, derivative_coefficients, point, value, certificate] 條件：無 原題快照保留歷史介面；此處直接列來源欄序，不依賴JavaScript。tag與No保聲稱範圍，固定來源排序不冒充數學證明。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 ORIGINAL low-to-high coefficients=[20, 40, 60, 80, 100, 120, 140];declared order=3 操作後 declared degree BOUND=6=ORIGINAL length-1;initialize derivative order0 with the UNTRIMMED original list 條件：無 長度減1是宣告上界，trailing zeros不先刪掉；order0就是原函數。單項式導數規則與有限和給多項式逐階存在，不是任意函數的無限外推。 步驟識別與依賴規則：higher_ORIGINAL_low_to_high_coefficients_degree_BOUND_order0 · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Higher derivative level1 ORIGINAL power1 coefficient product := mul(40, 1) 操作後 Higher derivative level1 ORIGINAL power1 coefficient product = 40 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Higher derivative level1 ORIGINAL power2 coefficient product := mul(60, 2) 操作後 Higher derivative level1 ORIGINAL power2 coefficient product = 120 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Higher derivative level1 ORIGINAL power3 coefficient product := mul(80, 3) 操作後 Higher derivative level1 ORIGINAL power3 coefficient product = 240 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Higher derivative level1 ORIGINAL power4 coefficient product := mul(100, 4) 操作後 Higher derivative level1 ORIGINAL power4 coefficient product = 400 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Higher derivative level1 ORIGINAL power5 coefficient product := mul(120, 5) 操作後 Higher derivative level1 ORIGINAL power5 coefficient product = 600 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Higher derivative level1 ORIGINAL power6 coefficient product := mul(140, 6) 操作後 Higher derivative level1 ORIGINAL power6 coefficient product = 840 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 previous derivative order=0;actual low-to-high list=[20, 40, 60, 80, 100, 120, 140];drop ONLY its constant term 操作後 ALL [old_power,old_coefficient,multiplier,new_coefficient] rows=[[1, 40, 1, 40], [2, 60, 2, 120], [3, 80, 3, 240], [4, 100, 4, 400], [5, 120, 5, 600], [6, 140, 6, 840]];next raw list=[40, 120, 240, 400, 600, 840];all intermediate products SAFE 條件：無 每一層把舊power k乘原係數，再按低到高放到power k−1；原raw list耗盡後維持空，最後才以[0]表示零導數。英文來源要求所有中間乘積安全，不只最後結果。 步驟識別與依賴規則：higher_EVERY_recursive_derivative_level_not_reordered · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Higher derivative level2 ORIGINAL power1 coefficient product := mul(120, 1) 操作後 Higher derivative level2 ORIGINAL power1 coefficient product = 120 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Higher derivative level2 ORIGINAL power2 coefficient product := mul(240, 2) 操作後 Higher derivative level2 ORIGINAL power2 coefficient product = 480 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Higher derivative level2 ORIGINAL power3 coefficient product := mul(400, 3) 操作後 Higher derivative level2 ORIGINAL power3 coefficient product = 1200 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Higher derivative level2 ORIGINAL power4 coefficient product := mul(600, 4) 操作後 Higher derivative level2 ORIGINAL power4 coefficient product = 2400 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Higher derivative level2 ORIGINAL power5 coefficient product := mul(840, 5) 操作後 Higher derivative level2 ORIGINAL power5 coefficient product = 4200 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 previous derivative order=1;actual low-to-high list=[40, 120, 240, 400, 600, 840];drop ONLY its constant term 操作後 ALL [old_power,old_coefficient,multiplier,new_coefficient] rows=[[1, 120, 1, 120], [2, 240, 2, 480], [3, 400, 3, 1200], [4, 600, 4, 2400], [5, 840, 5, 4200]];next raw list=[120, 480, 1200, 2400, 4200];all intermediate products SAFE 條件：無 每一層把舊power k乘原係數，再按低到高放到power k−1；原raw list耗盡後維持空，最後才以[0]表示零導數。英文來源要求所有中間乘積安全，不只最後結果。 步驟識別與依賴規則：higher_EVERY_recursive_derivative_level_not_reordered · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Higher derivative level3 ORIGINAL power1 coefficient product := mul(480, 1) 操作後 Higher derivative level3 ORIGINAL power1 coefficient product = 480 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Higher derivative level3 ORIGINAL power2 coefficient product := mul(1200, 2) 操作後 Higher derivative level3 ORIGINAL power2 coefficient product = 2400 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Higher derivative level3 ORIGINAL power3 coefficient product := mul(2400, 3) 操作後 Higher derivative level3 ORIGINAL power3 coefficient product = 7200 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Higher derivative level3 ORIGINAL power4 coefficient product := mul(4200, 4) 操作後 Higher derivative level3 ORIGINAL power4 coefficient product = 16800 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 previous derivative order=2;actual low-to-high list=[120, 480, 1200, 2400, 4200];drop ONLY its constant term 操作後 ALL [old_power,old_coefficient,multiplier,new_coefficient] rows=[[1, 480, 1, 480], [2, 1200, 2, 2400], [3, 2400, 3, 7200], [4, 4200, 4, 16800]];next raw list=[480, 2400, 7200, 16800];all intermediate products SAFE 條件：無 每一層把舊power k乘原係數，再按低到高放到power k−1；原raw list耗盡後維持空，最後才以[0]表示零導數。英文來源要求所有中間乘積安全，不只最後結果。 步驟識別與依賴規則：higher_EVERY_recursive_derivative_level_not_reordered · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 ORIGINAL coefficients=[20, 40, 60, 80, 100, 120, 140];order=3;declared degree bound=6 操作後 final derivative coefficients=[480, 2400, 7200, 16800];for each original power k>=order multiplier=k*(k-1)*...*(k-order+1);lower powers vanish 條件：無 反覆微分給falling factorial，與原係數序一致；order超過宣告bound時必為0。這不聲稱一般可微函數analytic，也不把trailing-zero上界冒充最小degree。 步驟識別與依賴規則：higher_falling_factorial_rule_all_orders_polynomial_only · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Higher derivative Horner power3 previous value times ORIGINAL point := mul(0, 2) 操作後 Higher derivative Horner power3 previous value times ORIGINAL point = 0 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Higher derivative Horner power3 plus ORIGINAL derivative coefficient := sum(0, 16800) 操作後 Higher derivative Horner power3 plus ORIGINAL derivative coefficient = 16800 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Higher derivative Horner power2 previous value times ORIGINAL point := mul(16800, 2) 操作後 Higher derivative Horner power2 previous value times ORIGINAL point = 33600 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Higher derivative Horner power2 plus ORIGINAL derivative coefficient := sum(33600, 7200) 操作後 Higher derivative Horner power2 plus ORIGINAL derivative coefficient = 40800 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Higher derivative Horner power1 previous value times ORIGINAL point := mul(40800, 2) 操作後 Higher derivative Horner power1 previous value times ORIGINAL point = 81600 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Higher derivative Horner power1 plus ORIGINAL derivative coefficient := sum(81600, 2400) 操作後 Higher derivative Horner power1 plus ORIGINAL derivative coefficient = 84000 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Higher derivative Horner power0 previous value times ORIGINAL point := mul(84000, 2) 操作後 Higher derivative Horner power0 previous value times ORIGINAL point = 168000 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Higher derivative Horner power0 plus ORIGINAL derivative coefficient := sum(168000, 480) 操作後 Higher derivative Horner power0 plus ORIGINAL derivative coefficient = 168480 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 ## 逐步反向核對 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Higher derivative Horner power0 plus ORIGINAL derivative coefficient，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Higher derivative Horner power0 previous value times ORIGINAL point，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Higher derivative Horner power1 plus ORIGINAL derivative coefficient，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Higher derivative Horner power1 previous value times ORIGINAL point，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Higher derivative Horner power2 plus ORIGINAL derivative coefficient，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Higher derivative Horner power2 previous value times ORIGINAL point，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Higher derivative Horner power3 plus ORIGINAL derivative coefficient，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Higher derivative Horner power3 previous value times ORIGINAL point，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Higher derivative level3 ORIGINAL power4 coefficient product，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Higher derivative level3 ORIGINAL power3 coefficient product，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Higher derivative level3 ORIGINAL power2 coefficient product，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Higher derivative level3 ORIGINAL power1 coefficient product，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Higher derivative level2 ORIGINAL power5 coefficient product，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Higher derivative level2 ORIGINAL power4 coefficient product，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Higher derivative level2 ORIGINAL power3 coefficient product，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Higher derivative level2 ORIGINAL power2 coefficient product，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Higher derivative level2 ORIGINAL power1 coefficient product，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Higher derivative level1 ORIGINAL power6 coefficient product，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Higher derivative level1 ORIGINAL power5 coefficient product，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Higher derivative level1 ORIGINAL power4 coefficient product，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Higher derivative level1 ORIGINAL power3 coefficient product，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Higher derivative level1 ORIGINAL power2 coefficient product，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Higher derivative level1 ORIGINAL power1 coefficient product，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([20, 40, 60, 80, 100, 120, 140], 3, [480, 2400, 7200, 16800], 2, 168480, falling_factorial_coefficients_exact) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 35a2730433950dd1dee1ebe144fa8762fc29987d2666e5a2bfcd0274af079991 - candidate record SHA-256: 99931e118cf7e066ddca7e3dbe4cc644db289a3a4c50463ec45b18e610aea0d4 - semantic review receipt SHA-256: 357d7ad7a6726b2a757558d3b9586a408ade06526cc023da093719c292704438 - question-first witness SHA-256: 99cefe17e98c7a74321801cf72df6d02fc95b6a6b78aa335accb7e11ed467b2a - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261111-r02-higher-order-derivative-0045.json)