# 第 22779 題：Catalan數 [返回所在分頁 114](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/114/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261111-r05-catalan-numbers-foundations/#q-20261014-advance-20261111-r05-catalan-numbers-0004) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0044-22779 · q-20261014-advance-20261111-r05-catalan-numbers-0004 ## 原題與已知條件 C_0=1且C_(n+1)=sum_i C_i*C_(n-i)的zero-based indexing。操作=catalan-recurrence-generation；資料={"n":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — C_0=1且C_(n+1)=sum_i C_i*C_(n-i)的zero-based indexing。操作=catalan-recurrence-generation；資料={"n":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-catalan-numbers](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-catalan-numbers/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=catalan-recurrence-generation;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[n, prefix, C_n, index_convention] 條件：無 保留原題歷史介面標記，直接列來源欄序，不需JavaScript。tag不是額外證據，固定No依原聲稱範圍解讀；排序輔助只處理協定，不是數學oracle。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 ORIGINAL requested natural index n=3 操作後 initialize C_0=1;recurrence C_(j+1)=sum_i=0..j C_i*C_(j-i),including ALL splits 條件：無 空物件只有一種所以C0=1；第j+1項必含i0到j全部split，不採C1起算的位移慣例。 步驟識別與依賴規則：catalan_base_case_empty_object_C0_one · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_1 := sum(1) 操作後 Catalan complete convolution for C_1 = 1 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 ORIGINAL index j=0;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 1, 1]] 操作後 C_1=1;ALL earlier values used from the established prefix=[1] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_2 := sum(1, 1) 操作後 Catalan complete convolution for C_2 = 2 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 ORIGINAL index j=1;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1]] 操作後 C_2=2;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_3 := sum(2, 1, 2) 操作後 Catalan complete convolution for C_3 = 5 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 ORIGINAL index j=2;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 2, 2], [1, 1, 1, 1], [2, 2, 1, 2]] 操作後 C_3=5;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 Catalan central:ORIGINAL binomial N=6,K=3 操作後 use k=min(K,N-K)=3;initialize exact product1;empty product for k0 is1 條件：無 以組合數對稱取較短乘積，保原N/K角色；每步先乘整數再做精確整除，不用浮點factorial近似。 步驟識別與依賴規則：catalan_exact_binomial_product_initial_and_symmetry · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=1 := mul(1, 4) 操作後 Catalan central binomial product at i=1 = 4 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=1 := div(4, 1) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=1 = 4 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=2 := mul(4, 5) 操作後 Catalan central binomial product at i=2 = 20 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=2 := div(20, 2) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=2 = 10 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=3 := mul(10, 6) 操作後 Catalan central binomial product at i=3 = 60 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=3 := div(60, 3) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=3 = 20 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Catalan ORIGINAL denominator n plus1 := sum(3, 1) 操作後 Catalan ORIGINAL denominator n plus1 = 4 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 ORIGINAL n=3;central binomial=20;positive denominator n+1=4 操作後 Euclidean quotient=5,remainder=0;check remainder0 BEFORE treating quotient as Catalan integer 條件：無 先查餘數0才可作精確整數商，不以整數截斷掩蓋分母問題。n0時分母1與central1照樣保留。 步驟識別與依賴規則：catalan_remainder_BEFORE_exact_closed_division · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Catalan exact closed quotient after remainder0 := div(20, 4) 操作後 Catalan exact closed quotient after remainder0 = 5 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 Catalan adjacent:ORIGINAL binomial N=6,K=4 操作後 use k=min(K,N-K)=2;initialize exact product1;empty product for k0 is1 條件：無 以組合數對稱取較短乘積，保原N/K角色；每步先乘整數再做精確整除，不用浮點factorial近似。 步驟識別與依賴規則：catalan_exact_binomial_product_initial_and_symmetry · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=1 := mul(1, 5) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=1 = 5 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=1 := div(5, 1) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=1 = 5 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=2 := mul(5, 6) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=2 = 30 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=2 := div(30, 2) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=2 = 15 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Catalan central minus adjacent binomial := sub(20, 15) 操作後 Catalan central minus adjacent binomial = 5 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 ORIGINAL n=3;recurrence value=5;central=20,adjacent=15,denominator=4 操作後 closed quotient=5;binomial difference=5;ALL THREE agree;balanced paths counted by choose(2n,n),bad paths first-crossing reflection counted by choose(2n,n+1) 條件：無 Dyck path首次跌到−1的prefix反射，與n+1個up／n−1個down路徑雙射；good數是兩binomial之差。首次返回分解U P D Q給C_(j+1)=ΣC_i C_(j−i)，空path給C0=1，所以同一遞迴唯一決定此數；adjacent比率再化差為central/(n+1)。不是只由有限數值猜一般恆等。 步驟識別與依賴規則：catalan_general_Dyck_reflection_and_first_return_recurrence · 依賴：G001, S024 ## 逐步反向核對 - S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central minus adjacent binomial，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=2，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=2，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=1，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=1，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan exact closed quotient after remainder0，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan ORIGINAL denominator n plus1，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=3，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=3，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=2，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=2，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=1，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=1，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_3，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_2，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (3, [1, 1, 2, 5], 5, C_next_sum_i_zero_to_n_minus_one) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 8de45a723afa432d166dbf74120624a53cbffe2a58c4eca2f240b31a0605e32f - candidate record SHA-256: d7eefab2f86c95065fb041566942818ba9ad94b4fb27241db132ccbb46207880 - semantic review receipt SHA-256: 89b8e810eced1a69dbfef28d4b112e829edf156c7905a86e39a3f4958cd75e81 - question-first witness SHA-256: b2e8b769c463242f05172564ae96e310403eae151e1ec30bcb50be3ffe12cfc7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261111-r05-catalan-numbers-0004.json)