# 第 22795 題：Catalan數 [返回所在分頁 114](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/114/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261111-r05-catalan-numbers-foundations/#q-20261014-advance-20261111-r05-catalan-numbers-0020) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0044-22795 · q-20261014-advance-20261111-r05-catalan-numbers-0020 ## 原題與已知條件 C_0=1且C_(n+1)=sum_i C_i*C_(n-i)的zero-based indexing。操作=catalan-recurrence-generation；資料={"n":19}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — C_0=1且C_(n+1)=sum_i C_i*C_(n-i)的zero-based indexing。操作=catalan-recurrence-generation；資料={"n":19}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-catalan-numbers](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-catalan-numbers/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=catalan-recurrence-generation;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[n, prefix, C_n, index_convention] 條件：無 保留原題歷史介面標記，直接列來源欄序，不需JavaScript。tag不是額外證據，固定No依原聲稱範圍解讀；排序輔助只處理協定，不是數學oracle。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 ORIGINAL requested natural index n=19 操作後 initialize C_0=1;recurrence C_(j+1)=sum_i=0..j C_i*C_(j-i),including ALL splits 條件：無 空物件只有一種所以C0=1；第j+1項必含i0到j全部split，不採C1起算的位移慣例。 步驟識別與依賴規則：catalan_base_case_empty_object_C0_one · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_1 := sum(1) 操作後 Catalan complete convolution for C_1 = 1 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 ORIGINAL index j=0;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 1, 1]] 操作後 C_1=1;ALL earlier values used from the established prefix=[1] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_2 := sum(1, 1) 操作後 Catalan complete convolution for C_2 = 2 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 ORIGINAL index j=1;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1]] 操作後 C_2=2;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_3 := sum(2, 1, 2) 操作後 Catalan complete convolution for C_3 = 5 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 ORIGINAL index j=2;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 2, 2], [1, 1, 1, 1], [2, 2, 1, 2]] 操作後 C_3=5;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_4 := sum(5, 2, 2, 5) 操作後 Catalan complete convolution for C_4 = 14 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 ORIGINAL index j=3;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 5, 5], [1, 1, 2, 2], [2, 2, 1, 2], [3, 5, 1, 5]] 操作後 C_4=14;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_5 := sum(14, 5, 4, 5, 14) 操作後 Catalan complete convolution for C_5 = 42 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 ORIGINAL index j=4;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 14, 14], [1, 1, 5, 5], [2, 2, 2, 4], [3, 5, 1, 5], [4, 14, 1, 14]] 操作後 C_5=42;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_6 := sum(42, 14, 10, 10, 14, 42) 操作後 Catalan complete convolution for C_6 = 132 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 ORIGINAL index j=5;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 42, 42], [1, 1, 14, 14], [2, 2, 5, 10], [3, 5, 2, 10], [4, 14, 1, 14], [5, 42, 1, 42]] 操作後 C_6=132;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_7 := sum(132, 42, 28, 25, 28, 42, 132) 操作後 Catalan complete convolution for C_7 = 429 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 ORIGINAL index j=6;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 132, 132], [1, 1, 42, 42], [2, 2, 14, 28], [3, 5, 5, 25], [4, 14, 2, 28], [5, 42, 1, 42], [6, 132, 1, 132]] 操作後 C_7=429;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_8 := sum(429, 132, 84, 70, 70, 84, 132, 429) 操作後 Catalan complete convolution for C_8 = 1430 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 ORIGINAL index j=7;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 429, 429], [1, 1, 132, 132], [2, 2, 42, 84], [3, 5, 14, 70], [4, 14, 5, 70], [5, 42, 2, 84], [6, 132, 1, 132], [7, 429, 1, 429]] 操作後 C_8=1430;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_9 := sum(1430, 429, 264, 210, 196, 210, 264, 429, 1430) 操作後 Catalan complete convolution for C_9 = 4862 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 ORIGINAL index j=8;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 1430, 1430], [1, 1, 429, 429], [2, 2, 132, 264], [3, 5, 42, 210], [4, 14, 14, 196], [5, 42, 5, 210], [6, 132, 2, 264], [7, 429, 1, 429], [8, 1430, 1, 1430]] 操作後 C_9=4862;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_10 := sum(4862, 1430, 858, 660, 588, 588, 660, 858, 1430, 4862) 操作後 Catalan complete convolution for C_10 = 16796 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 ORIGINAL index j=9;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 4862, 4862], [1, 1, 1430, 1430], [2, 2, 429, 858], [3, 5, 132, 660], [4, 14, 42, 588], [5, 42, 14, 588], [6, 132, 5, 660], [7, 429, 2, 858], [8, 1430, 1, 1430], [9, 4862, 1, 4862]] 操作後 C_10=16796;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_11 := sum(16796, 4862, 2860, 2145, 1848, 1764, 1848, 2145, 2860, 4862, 16796) 操作後 Catalan complete convolution for C_11 = 58786 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 ORIGINAL index j=10;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 16796, 16796], [1, 1, 4862, 4862], [2, 2, 1430, 2860], [3, 5, 429, 2145], [4, 14, 132, 1848], [5, 42, 42, 1764], [6, 132, 14, 1848], [7, 429, 5, 2145], [8, 1430, 2, 2860], [9, 4862, 1, 4862], [10, 16796, 1, 16796]] 操作後 C_11=58786;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_12 := sum(58786, 16796, 9724, 7150, 6006, 5544, 5544, 6006, 7150, 9724, 16796, 58786) 操作後 Catalan complete convolution for C_12 = 208012 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 ORIGINAL index j=11;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 58786, 58786], [1, 1, 16796, 16796], [2, 2, 4862, 9724], [3, 5, 1430, 7150], [4, 14, 429, 6006], [5, 42, 132, 5544], [6, 132, 42, 5544], [7, 429, 14, 6006], [8, 1430, 5, 7150], [9, 4862, 2, 9724], [10, 16796, 1, 16796], [11, 58786, 1, 58786]] 操作後 C_12=208012;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_13 := sum(208012, 58786, 33592, 24310, 20020, 18018, 17424, 18018, 20020, 24310, 33592, 58786, 208012) 操作後 Catalan complete convolution for C_13 = 742900 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 ORIGINAL index j=12;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 208012, 208012], [1, 1, 58786, 58786], [2, 2, 16796, 33592], [3, 5, 4862, 24310], [4, 14, 1430, 20020], [5, 42, 429, 18018], [6, 132, 132, 17424], [7, 429, 42, 18018], [8, 1430, 14, 20020], [9, 4862, 5, 24310], [10, 16796, 2, 33592], [11, 58786, 1, 58786], [12, 208012, 1, 208012]] 操作後 C_13=742900;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_14 := sum(742900, 208012, 117572, 83980, 68068, 60060, 56628, 56628, 60060, 68068, 83980, 117572, 208012, 742900) 操作後 Catalan complete convolution for C_14 = 2674440 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 ORIGINAL index j=13;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 742900, 742900], [1, 1, 208012, 208012], [2, 2, 58786, 117572], [3, 5, 16796, 83980], [4, 14, 4862, 68068], [5, 42, 1430, 60060], [6, 132, 429, 56628], [7, 429, 132, 56628], [8, 1430, 42, 60060], [9, 4862, 14, 68068], [10, 16796, 5, 83980], [11, 58786, 2, 117572], [12, 208012, 1, 208012], [13, 742900, 1, 742900]] 操作後 C_14=2674440;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_15 := sum(2674440, 742900, 416024, 293930, 235144, 204204, 188760, 184041, 188760, 204204, 235144, 293930, 416024, 742900, 2674440) 操作後 Catalan complete convolution for C_15 = 9694845 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 ORIGINAL index j=14;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 2674440, 2674440], [1, 1, 742900, 742900], [2, 2, 208012, 416024], [3, 5, 58786, 293930], [4, 14, 16796, 235144], [5, 42, 4862, 204204], [6, 132, 1430, 188760], [7, 429, 429, 184041], [8, 1430, 132, 188760], [9, 4862, 42, 204204], [10, 16796, 14, 235144], [11, 58786, 5, 293930], [12, 208012, 2, 416024], [13, 742900, 1, 742900], [14, 2674440, 1, 2674440]] 操作後 C_15=9694845;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_16 := sum(9694845, 2674440, 1485800, 1040060, 823004, 705432, 641784, 613470, 613470, 641784, 705432, 823004, 1040060, 1485800, 2674440, 9694845) 操作後 Catalan complete convolution for C_16 = 35357670 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 ORIGINAL index j=15;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 9694845, 9694845], [1, 1, 2674440, 2674440], [2, 2, 742900, 1485800], [3, 5, 208012, 1040060], [4, 14, 58786, 823004], [5, 42, 16796, 705432], [6, 132, 4862, 641784], [7, 429, 1430, 613470], [8, 1430, 429, 613470], [9, 4862, 132, 641784], [10, 16796, 42, 705432], [11, 58786, 14, 823004], [12, 208012, 5, 1040060], [13, 742900, 2, 1485800], [14, 2674440, 1, 2674440], [15, 9694845, 1, 9694845]] 操作後 C_16=35357670;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_17 := sum(35357670, 9694845, 5348880, 3714500, 2912168, 2469012, 2217072, 2085798, 2044900, 2085798, 2217072, 2469012, 2912168, 3714500, 5348880, 9694845, 35357670) 操作後 Catalan complete convolution for C_17 = 129644790 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · implies操作前 ORIGINAL index j=16;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 35357670, 35357670], [1, 1, 9694845, 9694845], [2, 2, 2674440, 5348880], [3, 5, 742900, 3714500], [4, 14, 208012, 2912168], [5, 42, 58786, 2469012], [6, 132, 16796, 2217072], [7, 429, 4862, 2085798], [8, 1430, 1430, 2044900], [9, 4862, 429, 2085798], [10, 16796, 132, 2217072], [11, 58786, 42, 2469012], [12, 208012, 14, 2912168], [13, 742900, 5, 3714500], [14, 2674440, 2, 5348880], [15, 9694845, 1, 9694845], [16, 35357670, 1, 35357670]] 操作後 C_17=129644790;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_18 := sum(129644790, 35357670, 19389690, 13372200, 10400600, 8736504, 7759752, 7205484, 6952660, 6952660, 7205484, 7759752, 8736504, 10400600, 13372200, 19389690, 35357670, 129644790) 操作後 Catalan complete convolution for C_18 = 477638700 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 ORIGINAL index j=17;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 129644790, 129644790], [1, 1, 35357670, 35357670], [2, 2, 9694845, 19389690], [3, 5, 2674440, 13372200], [4, 14, 742900, 10400600], [5, 42, 208012, 8736504], [6, 132, 58786, 7759752], [7, 429, 16796, 7205484], [8, 1430, 4862, 6952660], [9, 4862, 1430, 6952660], [10, 16796, 429, 7205484], [11, 58786, 132, 7759752], [12, 208012, 42, 8736504], [13, 742900, 14, 10400600], [14, 2674440, 5, 13372200], [15, 9694845, 2, 19389690], [16, 35357670, 1, 35357670], [17, 129644790, 1, 129644790]] 操作後 C_18=477638700;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_19 := sum(477638700, 129644790, 70715340, 48474225, 37442160, 31201800, 27457584, 25219194, 24018280, 23639044, 24018280, 25219194, 27457584, 31201800, 37442160, 48474225, 70715340, 129644790, 477638700) 操作後 Catalan complete convolution for C_19 = 1767263190 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · implies操作前 ORIGINAL index j=18;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 477638700, 477638700], [1, 1, 129644790, 129644790], [2, 2, 35357670, 70715340], [3, 5, 9694845, 48474225], [4, 14, 2674440, 37442160], [5, 42, 742900, 31201800], [6, 132, 208012, 27457584], [7, 429, 58786, 25219194], [8, 1430, 16796, 24018280], [9, 4862, 4862, 23639044], [10, 16796, 1430, 24018280], [11, 58786, 429, 25219194], [12, 208012, 132, 27457584], [13, 742900, 42, 31201800], [14, 2674440, 14, 37442160], [15, 9694845, 5, 48474225], [16, 35357670, 2, 70715340], [17, 129644790, 1, 129644790], [18, 477638700, 1, 477638700]] 操作後 C_19=1767263190;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S039 S041 · implies操作前 Catalan central:ORIGINAL binomial N=38,K=19 操作後 use k=min(K,N-K)=19;initialize exact product1;empty product for k0 is1 條件：無 以組合數對稱取較短乘積，保原N/K角色；每步先乘整數再做精確整除，不用浮點factorial近似。 步驟識別與依賴規則：catalan_exact_binomial_product_initial_and_symmetry · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=1 := mul(1, 20) 操作後 Catalan central binomial product at i=1 = 20 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=1 := div(20, 1) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=1 = 20 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=2 := mul(20, 21) 操作後 Catalan central binomial product at i=2 = 420 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=2 := div(420, 2) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=2 = 210 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=3 := mul(210, 22) 操作後 Catalan central binomial product at i=3 = 4620 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=3 := div(4620, 3) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=3 = 1540 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=4 := mul(1540, 23) 操作後 Catalan central binomial product at i=4 = 35420 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=4 := div(35420, 4) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=4 = 8855 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=5 := mul(8855, 24) 操作後 Catalan central binomial product at i=5 = 212520 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=5 := div(212520, 5) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=5 = 42504 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=6 := mul(42504, 25) 操作後 Catalan central binomial product at i=6 = 1062600 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=6 := div(1062600, 6) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=6 = 177100 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=7 := mul(177100, 26) 操作後 Catalan central binomial product at i=7 = 4604600 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=7 := div(4604600, 7) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=7 = 657800 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=8 := mul(657800, 27) 操作後 Catalan central binomial product at i=8 = 17760600 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=8 := div(17760600, 8) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=8 = 2220075 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=9 := mul(2220075, 28) 操作後 Catalan central binomial product at i=9 = 62162100 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=9 := div(62162100, 9) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=9 = 6906900 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058 S060 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=10 := mul(6906900, 29) 操作後 Catalan central binomial product at i=10 = 200300100 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=10 := div(200300100, 10) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=10 = 20030010 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=11 := mul(20030010, 30) 操作後 Catalan central binomial product at i=11 = 600900300 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=11 := div(600900300, 11) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=11 = 54627300 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=12 := mul(54627300, 31) 操作後 Catalan central binomial product at i=12 = 1693446300 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063 S065 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=12 := div(1693446300, 12) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=12 = 141120525 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064 S066 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=13 := mul(141120525, 32) 操作後 Catalan central binomial product at i=13 = 4515856800 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=13 := div(4515856800, 13) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=13 = 347373600 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=14 := mul(347373600, 33) 操作後 Catalan central binomial product at i=14 = 11463328800 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067 S069 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=14 := div(11463328800, 14) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=14 = 818809200 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068 S070 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=15 := mul(818809200, 34) 操作後 Catalan central binomial product at i=15 = 27839512800 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S069 S071 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=15 := div(27839512800, 15) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=15 = 1855967520 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070 S072 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=16 := mul(1855967520, 35) 操作後 Catalan central binomial product at i=16 = 64958863200 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071 S073 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=16 := div(64958863200, 16) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=16 = 4059928950 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S072 S074 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=17 := mul(4059928950, 36) 操作後 Catalan central binomial product at i=17 = 146157442200 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S073 S075 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=17 := div(146157442200, 17) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=17 = 8597496600 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S074 S076 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=18 := mul(8597496600, 37) 操作後 Catalan central binomial product at i=18 = 318107374200 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S075 S077 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=18 := div(318107374200, 18) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=18 = 17672631900 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S076 S078 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=19 := mul(17672631900, 38) 操作後 Catalan central binomial product at i=19 = 671560012200 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S077 S079 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=19 := div(671560012200, 19) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=19 = 35345263800 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S078 S080 · calculation操作前 Catalan ORIGINAL denominator n plus1 := sum(19, 1) 操作後 Catalan ORIGINAL denominator n plus1 = 20 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S079 S081 · implies操作前 ORIGINAL n=19;central binomial=35345263800;positive denominator n+1=20 操作後 Euclidean quotient=1767263190,remainder=0;check remainder0 BEFORE treating quotient as Catalan integer 條件：無 先查餘數0才可作精確整數商，不以整數截斷掩蓋分母問題。n0時分母1與central1照樣保留。 步驟識別與依賴規則：catalan_remainder_BEFORE_exact_closed_division · 依賴：G001, S080 S082 · calculation操作前 Catalan exact closed quotient after remainder0 := div(35345263800, 20) 操作後 Catalan exact closed quotient after remainder0 = 1767263190 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S081 S083 · implies操作前 Catalan adjacent:ORIGINAL binomial N=38,K=20 操作後 use k=min(K,N-K)=18;initialize exact product1;empty product for k0 is1 條件：無 以組合數對稱取較短乘積，保原N/K角色；每步先乘整數再做精確整除，不用浮點factorial近似。 步驟識別與依賴規則：catalan_exact_binomial_product_initial_and_symmetry · 依賴：G001, S082 S084 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=1 := mul(1, 21) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=1 = 21 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S083 S085 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=1 := div(21, 1) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=1 = 21 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S084 S086 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=2 := mul(21, 22) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=2 = 462 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S085 S087 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=2 := div(462, 2) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=2 = 231 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S086 S088 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=3 := mul(231, 23) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=3 = 5313 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S087 S089 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=3 := div(5313, 3) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=3 = 1771 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S088 S090 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=4 := mul(1771, 24) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=4 = 42504 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S089 S091 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=4 := div(42504, 4) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=4 = 10626 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S090 S092 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=5 := mul(10626, 25) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=5 = 265650 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S091 S093 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=5 := div(265650, 5) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=5 = 53130 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S092 S094 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=6 := mul(53130, 26) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=6 = 1381380 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S093 S095 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=6 := div(1381380, 6) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=6 = 230230 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S094 S096 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=7 := mul(230230, 27) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=7 = 6216210 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S095 S097 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=7 := div(6216210, 7) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=7 = 888030 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S096 S098 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=8 := mul(888030, 28) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=8 = 24864840 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S097 S099 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=8 := div(24864840, 8) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=8 = 3108105 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S098 S100 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=9 := mul(3108105, 29) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=9 = 90135045 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S099 S101 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=9 := div(90135045, 9) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=9 = 10015005 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S100 S102 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=10 := mul(10015005, 30) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=10 = 300450150 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S101 S103 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=10 := div(300450150, 10) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=10 = 30045015 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S102 S104 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=11 := mul(30045015, 31) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=11 = 931395465 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S103 S105 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=11 := div(931395465, 11) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=11 = 84672315 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S104 S106 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=12 := mul(84672315, 32) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=12 = 2709514080 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S105 S107 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=12 := div(2709514080, 12) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=12 = 225792840 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S106 S108 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=13 := mul(225792840, 33) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=13 = 7451163720 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S107 S109 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=13 := div(7451163720, 13) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=13 = 573166440 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S108 S110 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=14 := mul(573166440, 34) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=14 = 19487658960 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S109 S111 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=14 := div(19487658960, 14) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=14 = 1391975640 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S110 S112 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=15 := mul(1391975640, 35) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=15 = 48719147400 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S111 S113 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=15 := div(48719147400, 15) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=15 = 3247943160 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S112 S114 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=16 := mul(3247943160, 36) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=16 = 116925953760 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S113 S115 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=16 := div(116925953760, 16) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=16 = 7307872110 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S114 S116 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=17 := mul(7307872110, 37) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=17 = 270391268070 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S115 S117 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=17 := div(270391268070, 17) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=17 = 15905368710 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S116 S118 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=18 := mul(15905368710, 38) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=18 = 604404010980 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S117 S119 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=18 := div(604404010980, 18) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=18 = 33578000610 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S118 S120 · calculation操作前 Catalan central minus adjacent binomial := sub(35345263800, 33578000610) 操作後 Catalan central minus adjacent binomial = 1767263190 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S119 S121 · implies操作前 ORIGINAL n=19;recurrence value=1767263190;central=35345263800,adjacent=33578000610,denominator=20 操作後 closed quotient=1767263190;binomial difference=1767263190;ALL THREE agree;balanced paths counted by choose(2n,n),bad paths first-crossing reflection counted by choose(2n,n+1) 條件：無 Dyck path首次跌到−1的prefix反射，與n+1個up／n−1個down路徑雙射；good數是兩binomial之差。首次返回分解U P D Q給C_(j+1)=ΣC_i C_(j−i)，空path給C0=1，所以同一遞迴唯一決定此數；adjacent比率再化差為central/(n+1)。不是只由有限數值猜一般恆等。 步驟識別與依賴規則：catalan_general_Dyck_reflection_and_first_return_recurrence · 依賴：G001, S120 ## 逐步反向核對 - S121 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S120 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central minus adjacent binomial，不以小數近似替代。 - S119 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=18，不以小數近似替代。 - S118 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=18，不以小數近似替代。 - S117 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=17，不以小數近似替代。 - S116 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=17，不以小數近似替代。 - S115 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=16，不以小數近似替代。 - S114 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=16，不以小數近似替代。 - S113 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=15，不以小數近似替代。 - S112 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=15，不以小數近似替代。 - S111 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=14，不以小數近似替代。 - S110 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=14，不以小數近似替代。 - S109 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=13，不以小數近似替代。 - S108 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=13，不以小數近似替代。 - S107 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=12，不以小數近似替代。 - S106 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=12，不以小數近似替代。 - S105 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=11，不以小數近似替代。 - S104 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=11，不以小數近似替代。 - S103 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=10，不以小數近似替代。 - S102 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=10，不以小數近似替代。 - S101 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=9，不以小數近似替代。 - S100 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=9，不以小數近似替代。 - S099 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=8，不以小數近似替代。 - S098 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=8，不以小數近似替代。 - S097 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=7，不以小數近似替代。 - S096 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=7，不以小數近似替代。 - S095 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=6，不以小數近似替代。 - S094 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=6，不以小數近似替代。 - S093 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=5，不以小數近似替代。 - S092 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=5，不以小數近似替代。 - S091 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=4，不以小數近似替代。 - S090 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=4，不以小數近似替代。 - S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=3，不以小數近似替代。 - S088 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=3，不以小數近似替代。 - S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=2，不以小數近似替代。 - S086 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=2，不以小數近似替代。 - S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=1，不以小數近似替代。 - S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=1，不以小數近似替代。 - S083 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S082 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan exact closed quotient after remainder0，不以小數近似替代。 - S081 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S080 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan ORIGINAL denominator n plus1，不以小數近似替代。 - S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=19，不以小數近似替代。 - S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=19，不以小數近似替代。 - S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=18，不以小數近似替代。 - S076 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=18，不以小數近似替代。 - S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=17，不以小數近似替代。 - S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=17，不以小數近似替代。 - S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=16，不以小數近似替代。 - S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=16，不以小數近似替代。 - S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=15，不以小數近似替代。 - S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=15，不以小數近似替代。 - S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=14，不以小數近似替代。 - S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=14，不以小數近似替代。 - S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=13，不以小數近似替代。 - S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=13，不以小數近似替代。 - S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=12，不以小數近似替代。 - S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=12，不以小數近似替代。 - S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=11，不以小數近似替代。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=11，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=10，不以小數近似替代。 - S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=10，不以小數近似替代。 - S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=9，不以小數近似替代。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=9，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=8，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=8，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=7，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=7，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=6，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=6，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=5，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=5，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=4，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=4，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=3，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=3，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=2，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=2，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=1，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=1，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_19，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_18，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_17，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_16，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_15，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_14，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_13，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_12，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_11，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_10，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_9，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_8，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_7，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_6，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_5，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_4，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_3，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_2，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (19, [1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190], 1767263190, C_next_sum_i_zero_to_n_minus_one) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 4da53987c0d6a2b4da7f1983c0f41943abae89f285d8adeb6d53b576fb69799d - candidate record SHA-256: 4f9e435887b28f0ad50fb5d84566c6f5187be9c37d893a48fde9ef3d4910e6fd - semantic review receipt SHA-256: 89b8e810eced1a69dbfef28d4b112e829edf156c7905a86e39a3f4958cd75e81 - question-first witness SHA-256: b2e8b769c463242f05172564ae96e310403eae151e1ec30bcb50be3ffe12cfc7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261111-r05-catalan-numbers-0020.json)