# 第 22762 題：Catalan數 [返回所在分頁 114](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/114/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261111-r05-catalan-numbers-foundations/#q-20261014-advance-20261111-r05-catalan-numbers-0062) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0044-22762 · q-20261014-advance-20261111-r05-catalan-numbers-0062 ## 原題與已知條件 C_0=1且C_(n+1)=sum_i C_i*C_(n-i)的zero-based indexing。操作=catalan-recurrence-closed-cross-check；資料={"n":11}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — C_0=1且C_(n+1)=sum_i C_i*C_(n-i)的zero-based indexing。操作=catalan-recurrence-closed-cross-check；資料={"n":11}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-catalan-numbers](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-catalan-numbers/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=catalan-recurrence-closed-cross-check;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[n, recurrence_value, closed_value, difference_value, all_equal, certificate] 條件：無 保留原題歷史介面標記，直接列來源欄序，不需JavaScript。tag不是額外證據，固定No依原聲稱範圍解讀；排序輔助只處理協定，不是數學oracle。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 ORIGINAL requested natural index n=11 操作後 initialize C_0=1;recurrence C_(j+1)=sum_i=0..j C_i*C_(j-i),including ALL splits 條件：無 空物件只有一種所以C0=1；第j+1項必含i0到j全部split，不採C1起算的位移慣例。 步驟識別與依賴規則：catalan_base_case_empty_object_C0_one · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_1 := sum(1) 操作後 Catalan complete convolution for C_1 = 1 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 ORIGINAL index j=0;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 1, 1]] 操作後 C_1=1;ALL earlier values used from the established prefix=[1] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_2 := sum(1, 1) 操作後 Catalan complete convolution for C_2 = 2 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 ORIGINAL index j=1;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1]] 操作後 C_2=2;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_3 := sum(2, 1, 2) 操作後 Catalan complete convolution for C_3 = 5 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 ORIGINAL index j=2;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 2, 2], [1, 1, 1, 1], [2, 2, 1, 2]] 操作後 C_3=5;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_4 := sum(5, 2, 2, 5) 操作後 Catalan complete convolution for C_4 = 14 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 ORIGINAL index j=3;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 5, 5], [1, 1, 2, 2], [2, 2, 1, 2], [3, 5, 1, 5]] 操作後 C_4=14;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_5 := sum(14, 5, 4, 5, 14) 操作後 Catalan complete convolution for C_5 = 42 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 ORIGINAL index j=4;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 14, 14], [1, 1, 5, 5], [2, 2, 2, 4], [3, 5, 1, 5], [4, 14, 1, 14]] 操作後 C_5=42;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_6 := sum(42, 14, 10, 10, 14, 42) 操作後 Catalan complete convolution for C_6 = 132 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 ORIGINAL index j=5;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 42, 42], [1, 1, 14, 14], [2, 2, 5, 10], [3, 5, 2, 10], [4, 14, 1, 14], [5, 42, 1, 42]] 操作後 C_6=132;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_7 := sum(132, 42, 28, 25, 28, 42, 132) 操作後 Catalan complete convolution for C_7 = 429 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 ORIGINAL index j=6;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 132, 132], [1, 1, 42, 42], [2, 2, 14, 28], [3, 5, 5, 25], [4, 14, 2, 28], [5, 42, 1, 42], [6, 132, 1, 132]] 操作後 C_7=429;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_8 := sum(429, 132, 84, 70, 70, 84, 132, 429) 操作後 Catalan complete convolution for C_8 = 1430 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 ORIGINAL index j=7;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 429, 429], [1, 1, 132, 132], [2, 2, 42, 84], [3, 5, 14, 70], [4, 14, 5, 70], [5, 42, 2, 84], [6, 132, 1, 132], [7, 429, 1, 429]] 操作後 C_8=1430;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_9 := sum(1430, 429, 264, 210, 196, 210, 264, 429, 1430) 操作後 Catalan complete convolution for C_9 = 4862 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 ORIGINAL index j=8;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 1430, 1430], [1, 1, 429, 429], [2, 2, 132, 264], [3, 5, 42, 210], [4, 14, 14, 196], [5, 42, 5, 210], [6, 132, 2, 264], [7, 429, 1, 429], [8, 1430, 1, 1430]] 操作後 C_9=4862;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_10 := sum(4862, 1430, 858, 660, 588, 588, 660, 858, 1430, 4862) 操作後 Catalan complete convolution for C_10 = 16796 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 ORIGINAL index j=9;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 4862, 4862], [1, 1, 1430, 1430], [2, 2, 429, 858], [3, 5, 132, 660], [4, 14, 42, 588], [5, 42, 14, 588], [6, 132, 5, 660], [7, 429, 2, 858], [8, 1430, 1, 1430], [9, 4862, 1, 4862]] 操作後 C_10=16796;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Catalan complete convolution for C_11 := sum(16796, 4862, 2860, 2145, 1848, 1764, 1848, 2145, 2860, 4862, 16796) 操作後 Catalan complete convolution for C_11 = 58786 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 ORIGINAL index j=10;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 16796, 16796], [1, 1, 4862, 4862], [2, 2, 1430, 2860], [3, 5, 429, 2145], [4, 14, 132, 1848], [5, 42, 42, 1764], [6, 132, 14, 1848], [7, 429, 5, 2145], [8, 1430, 2, 2860], [9, 4862, 1, 4862], [10, 16796, 1, 16796]] 操作後 C_11=58786;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796] 條件：無 逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。 步驟識別與依賴規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 Catalan central:ORIGINAL binomial N=22,K=11 操作後 use k=min(K,N-K)=11;initialize exact product1;empty product for k0 is1 條件：無 以組合數對稱取較短乘積，保原N/K角色；每步先乘整數再做精確整除，不用浮點factorial近似。 步驟識別與依賴規則：catalan_exact_binomial_product_initial_and_symmetry · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=1 := mul(1, 12) 操作後 Catalan central binomial product at i=1 = 12 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=1 := div(12, 1) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=1 = 12 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=2 := mul(12, 13) 操作後 Catalan central binomial product at i=2 = 156 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=2 := div(156, 2) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=2 = 78 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=3 := mul(78, 14) 操作後 Catalan central binomial product at i=3 = 1092 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=3 := div(1092, 3) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=3 = 364 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=4 := mul(364, 15) 操作後 Catalan central binomial product at i=4 = 5460 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=4 := div(5460, 4) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=4 = 1365 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=5 := mul(1365, 16) 操作後 Catalan central binomial product at i=5 = 21840 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=5 := div(21840, 5) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=5 = 4368 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=6 := mul(4368, 17) 操作後 Catalan central binomial product at i=6 = 74256 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=6 := div(74256, 6) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=6 = 12376 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=7 := mul(12376, 18) 操作後 Catalan central binomial product at i=7 = 222768 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=7 := div(222768, 7) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=7 = 31824 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=8 := mul(31824, 19) 操作後 Catalan central binomial product at i=8 = 604656 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=8 := div(604656, 8) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=8 = 75582 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=9 := mul(75582, 20) 操作後 Catalan central binomial product at i=9 = 1511640 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=9 := div(1511640, 9) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=9 = 167960 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=10 := mul(167960, 21) 操作後 Catalan central binomial product at i=10 = 3527160 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=10 := div(3527160, 10) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=10 = 352716 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 Catalan central binomial product at i=11 := mul(352716, 22) 操作後 Catalan central binomial product at i=11 = 7759752 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 Catalan central exact binomial division by i=11 := div(7759752, 11) 操作後 Catalan central exact binomial division by i=11 = 705432 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 Catalan ORIGINAL denominator n plus1 := sum(11, 1) 操作後 Catalan ORIGINAL denominator n plus1 = 12 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · implies操作前 ORIGINAL n=11;central binomial=705432;positive denominator n+1=12 操作後 Euclidean quotient=58786,remainder=0;check remainder0 BEFORE treating quotient as Catalan integer 條件：無 先查餘數0才可作精確整數商，不以整數截斷掩蓋分母問題。n0時分母1與central1照樣保留。 步驟識別與依賴規則：catalan_remainder_BEFORE_exact_closed_division · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 Catalan exact closed quotient after remainder0 := div(705432, 12) 操作後 Catalan exact closed quotient after remainder0 = 58786 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · implies操作前 Catalan adjacent:ORIGINAL binomial N=22,K=12 操作後 use k=min(K,N-K)=10;initialize exact product1;empty product for k0 is1 條件：無 以組合數對稱取較短乘積，保原N/K角色；每步先乘整數再做精確整除，不用浮點factorial近似。 步驟識別與依賴規則：catalan_exact_binomial_product_initial_and_symmetry · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=1 := mul(1, 13) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=1 = 13 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=1 := div(13, 1) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=1 = 13 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=2 := mul(13, 14) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=2 = 182 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=2 := div(182, 2) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=2 = 91 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=3 := mul(91, 15) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=3 = 1365 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=3 := div(1365, 3) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=3 = 455 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=4 := mul(455, 16) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=4 = 7280 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=4 := div(7280, 4) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=4 = 1820 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058 S060 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=5 := mul(1820, 17) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=5 = 30940 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=5 := div(30940, 5) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=5 = 6188 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=6 := mul(6188, 18) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=6 = 111384 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=6 := div(111384, 6) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=6 = 18564 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=7 := mul(18564, 19) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=7 = 352716 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063 S065 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=7 := div(352716, 7) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=7 = 50388 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064 S066 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=8 := mul(50388, 20) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=8 = 1007760 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=8 := div(1007760, 8) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=8 = 125970 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=9 := mul(125970, 21) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=9 = 2645370 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067 S069 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=9 := div(2645370, 9) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=9 = 293930 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068 S070 · calculation操作前 Catalan adjacent binomial product at i=10 := mul(293930, 22) 操作後 Catalan adjacent binomial product at i=10 = 6466460 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S069 S071 · calculation操作前 Catalan adjacent exact binomial division by i=10 := div(6466460, 10) 操作後 Catalan adjacent exact binomial division by i=10 = 646646 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070 S072 · calculation操作前 Catalan central minus adjacent binomial := sub(705432, 646646) 操作後 Catalan central minus adjacent binomial = 58786 條件：無 依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071 S073 · implies操作前 ORIGINAL n=11;recurrence value=58786;central=705432,adjacent=646646,denominator=12 操作後 closed quotient=58786;binomial difference=58786;ALL THREE agree;balanced paths counted by choose(2n,n),bad paths first-crossing reflection counted by choose(2n,n+1) 條件：無 Dyck path首次跌到−1的prefix反射，與n+1個up／n−1個down路徑雙射；good數是兩binomial之差。首次返回分解U P D Q給C_(j+1)=ΣC_i C_(j−i)，空path給C0=1，所以同一遞迴唯一決定此數；adjacent比率再化差為central/(n+1)。不是只由有限數值猜一般恆等。 步驟識別與依賴規則：catalan_general_Dyck_reflection_and_first_return_recurrence · 依賴：G001, S072 ## 逐步反向核對 - S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central minus adjacent binomial，不以小數近似替代。 - S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=10，不以小數近似替代。 - S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=10，不以小數近似替代。 - S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=9，不以小數近似替代。 - S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=9，不以小數近似替代。 - S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=8，不以小數近似替代。 - S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=8，不以小數近似替代。 - S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=7，不以小數近似替代。 - S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=7，不以小數近似替代。 - S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=6，不以小數近似替代。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=6，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=5，不以小數近似替代。 - S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=5，不以小數近似替代。 - S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=4，不以小數近似替代。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=4，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=3，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=3，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=2，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=2，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=1，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=1，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan exact closed quotient after remainder0，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan ORIGINAL denominator n plus1，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=11，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=11，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=10，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=10，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=9，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=9，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=8，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=8，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=7，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=7，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=6，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=6，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=5，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=5，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=4，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=4，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=3，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=3，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=2，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=2，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=1，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=1，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_11，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_10，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_9，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_8，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_7，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_6，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_5，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_4，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_3，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_2，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (11, 58786, 58786, 58786, 是, C_zero_index_convention_preserved) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 8d032fdd82c11d5e568f67753a36b893d4fd63f29e99cfaf91fff08069625385 - candidate record SHA-256: 198566db1ce078ebb80e3504365dd00b055654d3987c7abd6427e9a3e2546a82 - semantic review receipt SHA-256: 89b8e810eced1a69dbfef28d4b112e829edf156c7905a86e39a3f4958cd75e81 - question-first witness SHA-256: b2e8b769c463242f05172564ae96e310403eae151e1ec30bcb50be3ffe12cfc7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261111-r05-catalan-numbers-0062.json)