# 第 22737 題：Catalan數

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0044-22737 · q-20261014-advance-20261111-r05-catalan-numbers-0087



## 原題與已知條件

C_0=1且C_(n+1)=sum_i C_i*C_(n-i)的zero-based indexing。操作=catalan-negative-index-boundary；資料={"n":-12}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — C_0=1且C_(n+1)=sum_i C_i*C_(n-i)的zero-based indexing。操作=catalan-negative-index-boundary；資料={"n":-12}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-catalan-numbers](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-catalan-numbers/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source operation=catalan-negative-index-boundary;original snapshot and mathematics retained

操作後

explicit ordered source output fields=[n, in_domain, value_or_null, boundary]

條件：無

保留原題歷史介面標記，直接列來源欄序，不需JavaScript。tag不是額外證據，固定No依原聲稱範圍解讀；排序輔助只處理協定，不是數學oracle。

步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001





S002 · implies操作前

ORIGINAL negative n=-12

操作後

in_domain=否;value_or_null=null;this declared sequence startsC0=1,not a negative-index extension

條件：無

本序列從自然數0起，負索引保null；不擅自採用其他延伸，也不把C0改成C1。

步驟識別與依賴規則：catalan_negative_outside_zero_based_natural_domain · 依賴：G001, S001









## 逐步反向核對


- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(-12, 否, null, Catalan_domain_is_natural_numbers_including_zero)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 8a320d87b9406f6f6cfff6f65394018ef74e29ea5b440a12bd08b2cf9d01020e
- candidate record SHA-256: d5f914ce3f8362bee291e2537227f12cff13991c429c4ba0546437ac8a95e757
- semantic review receipt SHA-256: 89b8e810eced1a69dbfef28d4b112e829edf156c7905a86e39a3f4958cd75e81
- question-first witness SHA-256: b2e8b769c463242f05172564ae96e310403eae151e1ec30bcb50be3ffe12cfc7
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261111-r05-catalan-numbers-0087.json)