# 第 23387 題：二次剩餘 [返回所在分頁 117](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/117/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261111-r06-quadratic-residue-foundations/#q-20261014-advance-20261111-r06-quadratic-residue-0012) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0045-23387 · q-20261014-advance-20261111-r06-quadratic-residue-0012 ## 原題與已知條件 odd prime p上的nonzero quadratic-residue convention與complete nonzero square table。操作=quadratic-square-table；資料={"p":41}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — odd prime p上的nonzero quadratic-residue convention與complete nonzero square table。操作=quadratic-square-table；資料={"p":41}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-quadratic-residue](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quadratic-residue/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=quadratic-square-table;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[p, nonzero_square_rows, nonzero_residues, residue_count, half_nonzero_count, equal] 條件：無 原題快照保留歷史介面；此處直接列來源欄序，不依賴JavaScript。tag與No保聲稱範圍，固定來源排序不冒充數學證明。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 Quadratic ORIGINAL modulus:ORIGINAL integer=41;complete possible trial divisors=[2, 3, 4, 5, 6] 操作後 ALL [divisor,remainder] rows=[[2, 1], [3, 2], [4, 1], [5, 1], [6, 5]];prime=是;a composite>1 has a factor at most its square root 條件：無 逐完整平方根範圍核整除；prime2的範圍為空而通過，0/1不通過。不能由少數取樣、平方表或Euler判準代替此資格。 步驟識別與依賴規則：finite_prime_ALL_trial_divisors_through_square_root · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root1 square := mul(1, 1) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root1 square = 1 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=1 in1..40;actual square=1 操作後 Euclidean square=0*41+1;nonzero square class=1;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root2 square := mul(2, 2) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root2 square = 4 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=2 in1..40;actual square=4 操作後 Euclidean square=0*41+4;nonzero square class=4;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root3 square := mul(3, 3) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root3 square = 9 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=3 in1..40;actual square=9 操作後 Euclidean square=0*41+9;nonzero square class=9;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root4 square := mul(4, 4) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root4 square = 16 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=4 in1..40;actual square=16 操作後 Euclidean square=0*41+16;nonzero square class=16;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root5 square := mul(5, 5) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root5 square = 25 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=5 in1..40;actual square=25 操作後 Euclidean square=0*41+25;nonzero square class=25;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root6 square := mul(6, 6) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root6 square = 36 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=6 in1..40;actual square=36 操作後 Euclidean square=0*41+36;nonzero square class=36;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root7 square := mul(7, 7) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root7 square = 49 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=7 in1..40;actual square=49 操作後 Euclidean square=1*41+8;nonzero square class=8;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root8 square := mul(8, 8) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root8 square = 64 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=8 in1..40;actual square=64 操作後 Euclidean square=1*41+23;nonzero square class=23;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root9 square := mul(9, 9) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root9 square = 81 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=9 in1..40;actual square=81 操作後 Euclidean square=1*41+40;nonzero square class=40;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root10 square := mul(10, 10) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root10 square = 100 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=10 in1..40;actual square=100 操作後 Euclidean square=2*41+18;nonzero square class=18;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root11 square := mul(11, 11) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root11 square = 121 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=11 in1..40;actual square=121 操作後 Euclidean square=2*41+39;nonzero square class=39;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root12 square := mul(12, 12) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root12 square = 144 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=12 in1..40;actual square=144 操作後 Euclidean square=3*41+21;nonzero square class=21;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root13 square := mul(13, 13) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root13 square = 169 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=13 in1..40;actual square=169 操作後 Euclidean square=4*41+5;nonzero square class=5;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root14 square := mul(14, 14) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root14 square = 196 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=14 in1..40;actual square=196 操作後 Euclidean square=4*41+32;nonzero square class=32;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root15 square := mul(15, 15) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root15 square = 225 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=15 in1..40;actual square=225 操作後 Euclidean square=5*41+20;nonzero square class=20;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root16 square := mul(16, 16) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root16 square = 256 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=16 in1..40;actual square=256 操作後 Euclidean square=6*41+10;nonzero square class=10;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root17 square := mul(17, 17) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root17 square = 289 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=17 in1..40;actual square=289 操作後 Euclidean square=7*41+2;nonzero square class=2;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root18 square := mul(18, 18) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root18 square = 324 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=18 in1..40;actual square=324 操作後 Euclidean square=7*41+37;nonzero square class=37;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root19 square := mul(19, 19) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root19 square = 361 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=19 in1..40;actual square=361 操作後 Euclidean square=8*41+33;nonzero square class=33;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root20 square := mul(20, 20) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root20 square = 400 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=20 in1..40;actual square=400 操作後 Euclidean square=9*41+31;nonzero square class=31;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root21 square := mul(21, 21) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root21 square = 441 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=21 in1..40;actual square=441 操作後 Euclidean square=10*41+31;nonzero square class=31;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root22 square := mul(22, 22) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root22 square = 484 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=22 in1..40;actual square=484 操作後 Euclidean square=11*41+33;nonzero square class=33;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root23 square := mul(23, 23) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root23 square = 529 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=23 in1..40;actual square=529 操作後 Euclidean square=12*41+37;nonzero square class=37;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root24 square := mul(24, 24) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root24 square = 576 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=24 in1..40;actual square=576 操作後 Euclidean square=14*41+2;nonzero square class=2;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root25 square := mul(25, 25) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root25 square = 625 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=25 in1..40;actual square=625 操作後 Euclidean square=15*41+10;nonzero square class=10;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root26 square := mul(26, 26) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root26 square = 676 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=26 in1..40;actual square=676 操作後 Euclidean square=16*41+20;nonzero square class=20;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root27 square := mul(27, 27) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root27 square = 729 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=27 in1..40;actual square=729 操作後 Euclidean square=17*41+32;nonzero square class=32;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root28 square := mul(28, 28) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root28 square = 784 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=28 in1..40;actual square=784 操作後 Euclidean square=19*41+5;nonzero square class=5;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S057 S059 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root29 square := mul(29, 29) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root29 square = 841 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058 S060 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=29 in1..40;actual square=841 操作後 Euclidean square=20*41+21;nonzero square class=21;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root30 square := mul(30, 30) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root30 square = 900 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=30 in1..40;actual square=900 操作後 Euclidean square=21*41+39;nonzero square class=39;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root31 square := mul(31, 31) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root31 square = 961 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=31 in1..40;actual square=961 操作後 Euclidean square=23*41+18;nonzero square class=18;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S063 S065 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root32 square := mul(32, 32) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root32 square = 1024 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064 S066 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=32 in1..40;actual square=1024 操作後 Euclidean square=24*41+40;nonzero square class=40;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root33 square := mul(33, 33) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root33 square = 1089 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=33 in1..40;actual square=1089 操作後 Euclidean square=26*41+23;nonzero square class=23;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S067 S069 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root34 square := mul(34, 34) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root34 square = 1156 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068 S070 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=34 in1..40;actual square=1156 操作後 Euclidean square=28*41+8;nonzero square class=8;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S069 S071 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root35 square := mul(35, 35) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root35 square = 1225 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070 S072 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=35 in1..40;actual square=1225 操作後 Euclidean square=29*41+36;nonzero square class=36;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S071 S073 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root36 square := mul(36, 36) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root36 square = 1296 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S072 S074 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=36 in1..40;actual square=1296 操作後 Euclidean square=31*41+25;nonzero square class=25;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S073 S075 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root37 square := mul(37, 37) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root37 square = 1369 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S074 S076 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=37 in1..40;actual square=1369 操作後 Euclidean square=33*41+16;nonzero square class=16;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S075 S077 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root38 square := mul(38, 38) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root38 square = 1444 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S076 S078 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=38 in1..40;actual square=1444 操作後 Euclidean square=35*41+9;nonzero square class=9;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S077 S079 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root39 square := mul(39, 39) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root39 square = 1521 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S078 S080 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=39 in1..40;actual square=1521 操作後 Euclidean square=37*41+4;nonzero square class=4;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S079 S081 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root40 square := mul(40, 40) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root40 square = 1600 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S080 S082 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=40 in1..40;actual square=1600 操作後 Euclidean square=39*41+1;nonzero square class=1;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S081 S083 · calculation操作前 Quadratic distinct nonzero residue count := sum(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) 操作後 Quadratic distinct nonzero residue count = 20 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S082 S084 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL modulus minus1 := sub(41, 1) 操作後 Quadratic ORIGINAL modulus minus1 = 40 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S083 S085 · calculation操作前 Quadratic half of all nonzero roots := div(40, 2) 操作後 Quadratic half of all nonzero roots = 20 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S084 S086 · implies操作前 ORIGINAL ODD PRIME p=41;complete nonzero square table=[[1, 1], [2, 4], [3, 9], [4, 16], [5, 25], [6, 36], [7, 8], [8, 23], [9, 40], [10, 18], [11, 39], [12, 21], [13, 5], [14, 32], [15, 20], [16, 10], [17, 2], [18, 37], [19, 33], [20, 31], [21, 31], [22, 33], [23, 37], [24, 2], [25, 10], [26, 20], [27, 32], [28, 5], [29, 21], [30, 39], [31, 18], [32, 40], [33, 23], [34, 8], [35, 36], [36, 25], [37, 16], [38, 9], [39, 4], [40, 1]];distinct classes=[1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 40] 操作後 x^2=y^2 implies p divides(x-y)(x+y),so x=y or x=-y modp;odd p and nonzero x make opposite roots DISTINCT;each image has2 roots,so residue count=20=(41-1)/2=20 條件：無 prime給無零因子的乘積消去，odd保2x不等0；±配對互不重疊覆蓋全部p−1非零root。這證計數與兩根性，不外推到zero、p2或composite。 步驟識別與依賴規則：quadratic_prime_field_opposite_root_pairs_exactly_two · 依賴：G001, S085 ## 逐步反向核對 - S086 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic half of all nonzero roots，不以小數近似替代。 - S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL modulus minus1，不以小數近似替代。 - S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic distinct nonzero residue count，不以小數近似替代。 - S082 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root40 square，不以小數近似替代。 - S080 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root39 square，不以小數近似替代。 - S078 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root38 square，不以小數近似替代。 - S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root37 square，不以小數近似替代。 - S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root36 square，不以小數近似替代。 - S072 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root35 square，不以小數近似替代。 - S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root34 square，不以小數近似替代。 - S068 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root33 square，不以小數近似替代。 - S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root32 square，不以小數近似替代。 - S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root31 square，不以小數近似替代。 - S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root30 square，不以小數近似替代。 - S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root29 square，不以小數近似替代。 - S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root28 square，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root27 square，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root26 square，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root25 square，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root24 square，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root23 square，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root22 square，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root21 square，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root20 square，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root19 square，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root18 square，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root17 square，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root16 square，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root15 square，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root14 square，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root13 square，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root12 square，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root11 square，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root10 square，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root9 square，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root8 square，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root7 square，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root6 square，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root5 square，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root4 square，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root3 square，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root2 square，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root1 square，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (41, [[1, 1], [2, 4], [3, 9], [4, 16], [5, 25], [6, 36], [7, 8], [8, 23], [9, 40], [10, 18], [11, 39], [12, 21], [13, 5], [14, 32], [15, 20], [16, 10], [17, 2], [18, 37], [19, 33], [20, 31], [21, 31], [22, 33], [23, 37], [24, 2], [25, 10], [26, 20], [27, 32], [28, 5], [29, 21], [30, 39], [31, 18], [32, 40], [33, 23], [34, 8], [35, 36], [36, 25], [37, 16], [38, 9], [39, 4], [40, 1]], [1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 40], 20, 20, 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 91b6b605786cdba205d779f276e5ea5278db2042f2016ff2ad8e58662d304068 - candidate record SHA-256: 72e95022bfccef232e4a32512693efdbc5858ec9f38bdfd2162e8cd1c87c5722 - semantic review receipt SHA-256: 357d7ad7a6726b2a757558d3b9586a408ade06526cc023da093719c292704438 - question-first witness SHA-256: 99cefe17e98c7a74321801cf72df6d02fc95b6a6b78aa335accb7e11ed467b2a - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261111-r06-quadratic-residue-0012.json)