# 第 23326 題：二次剩餘 [返回所在分頁 117](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/117/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261111-r06-quadratic-residue-foundations/#q-20261014-advance-20261111-r06-quadratic-residue-0026) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0045-23326 · q-20261014-advance-20261111-r06-quadratic-residue-0026 ## 原題與已知條件 odd prime p上的nonzero quadratic-residue convention與complete nonzero square table。操作=quadratic-membership-witness；資料={"p":3,"a":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — odd prime p上的nonzero quadratic-residue convention與complete nonzero square table。操作=quadratic-membership-witness；資料={"p":3,"a":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-quadratic-residue](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quadratic-residue/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=quadratic-membership-witness;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[p, a, normalized_class, nonzero_roots, nonzero_residue, certificate] 條件：無 原題快照保留歷史介面；此處直接列來源欄序，不依賴JavaScript。tag與No保聲稱範圍，固定來源排序不冒充數學證明。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 Quadratic ORIGINAL modulus:ORIGINAL integer=3;complete possible trial divisors=[] 操作後 ALL [divisor,remainder] rows=[];prime=是;a composite>1 has a factor at most its square root 條件：無 逐完整平方根範圍核整除；prime2的範圍為空而通過，0/1不通過。不能由少數取樣、平方表或Euler判準代替此資格。 步驟識別與依賴規則：finite_prime_ALL_trial_divisors_through_square_root · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root1 square := mul(1, 1) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root1 square = 1 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=1 in1..2;actual square=1 操作後 Euclidean square=0*3+1;nonzero square class=1;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root2 square := mul(2, 2) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root2 square = 4 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=2 in1..2;actual square=4 操作後 Euclidean square=1*3+1;nonzero square class=1;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Quadratic distinct nonzero residue count := sum(1) 操作後 Quadratic distinct nonzero residue count = 1 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL modulus minus1 := sub(3, 1) 操作後 Quadratic ORIGINAL modulus minus1 = 2 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Quadratic half of all nonzero roots := div(2, 2) 操作後 Quadratic half of all nonzero roots = 1 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 ORIGINAL ODD PRIME p=3;complete nonzero square table=[[1, 1], [2, 1]];distinct classes=[1] 操作後 x^2=y^2 implies p divides(x-y)(x+y),so x=y or x=-y modp;odd p and nonzero x make opposite roots DISTINCT;each image has2 roots,so residue count=1=(3-1)/2=1 條件：無 prime給無零因子的乘積消去，odd保2x不等0；±配對互不重疊覆蓋全部p−1非零root。這證計數與兩根性，不外推到zero、p2或composite。 步驟識別與依賴規則：quadratic_prime_field_opposite_root_pairs_exactly_two · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL candidate class Euclidean quotient times modulus := mul(0, 3) 操作後 Quadratic ORIGINAL candidate class Euclidean quotient times modulus = 0 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL candidate class ORIGINAL signed value minus multiple := sub(1, 0) 操作後 Quadratic ORIGINAL candidate class ORIGINAL signed value minus multiple = 1 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 Quadratic ORIGINAL candidate class:ORIGINAL signed value=1;positive modulus=3;actual quotient=0 操作後 canonical residue=1;value=quotient*modulus+residue and0<=residue