# 第 23335 題：二次剩餘 [返回所在分頁 117](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/117/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261111-r06-quadratic-residue-foundations/#q-20261014-advance-20261111-r06-quadratic-residue-0035) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0045-23335 · q-20261014-advance-20261111-r06-quadratic-residue-0035 ## 原題與已知條件 odd prime p上的nonzero quadratic-residue convention與complete nonzero square table。操作=quadratic-membership-witness；資料={"p":31,"a":10}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — odd prime p上的nonzero quadratic-residue convention與complete nonzero square table。操作=quadratic-membership-witness；資料={"p":31,"a":10}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-quadratic-residue](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quadratic-residue/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=quadratic-membership-witness;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[p, a, normalized_class, nonzero_roots, nonzero_residue, certificate] 條件：無 原題快照保留歷史介面；此處直接列來源欄序，不依賴JavaScript。tag與No保聲稱範圍，固定來源排序不冒充數學證明。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 Quadratic ORIGINAL modulus:ORIGINAL integer=31;complete possible trial divisors=[2, 3, 4, 5] 操作後 ALL [divisor,remainder] rows=[[2, 1], [3, 1], [4, 3], [5, 1]];prime=是;a composite>1 has a factor at most its square root 條件：無 逐完整平方根範圍核整除；prime2的範圍為空而通過，0/1不通過。不能由少數取樣、平方表或Euler判準代替此資格。 步驟識別與依賴規則：finite_prime_ALL_trial_divisors_through_square_root · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root1 square := mul(1, 1) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root1 square = 1 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=1 in1..30;actual square=1 操作後 Euclidean square=0*31+1;nonzero square class=1;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root2 square := mul(2, 2) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root2 square = 4 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=2 in1..30;actual square=4 操作後 Euclidean square=0*31+4;nonzero square class=4;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root3 square := mul(3, 3) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root3 square = 9 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=3 in1..30;actual square=9 操作後 Euclidean square=0*31+9;nonzero square class=9;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root4 square := mul(4, 4) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root4 square = 16 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=4 in1..30;actual square=16 操作後 Euclidean square=0*31+16;nonzero square class=16;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root5 square := mul(5, 5) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root5 square = 25 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=5 in1..30;actual square=25 操作後 Euclidean square=0*31+25;nonzero square class=25;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root6 square := mul(6, 6) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root6 square = 36 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=6 in1..30;actual square=36 操作後 Euclidean square=1*31+5;nonzero square class=5;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root7 square := mul(7, 7) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root7 square = 49 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=7 in1..30;actual square=49 操作後 Euclidean square=1*31+18;nonzero square class=18;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root8 square := mul(8, 8) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root8 square = 64 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=8 in1..30;actual square=64 操作後 Euclidean square=2*31+2;nonzero square class=2;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root9 square := mul(9, 9) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root9 square = 81 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=9 in1..30;actual square=81 操作後 Euclidean square=2*31+19;nonzero square class=19;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root10 square := mul(10, 10) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root10 square = 100 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=10 in1..30;actual square=100 操作後 Euclidean square=3*31+7;nonzero square class=7;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root11 square := mul(11, 11) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root11 square = 121 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=11 in1..30;actual square=121 操作後 Euclidean square=3*31+28;nonzero square class=28;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root12 square := mul(12, 12) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root12 square = 144 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=12 in1..30;actual square=144 操作後 Euclidean square=4*31+20;nonzero square class=20;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root13 square := mul(13, 13) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root13 square = 169 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=13 in1..30;actual square=169 操作後 Euclidean square=5*31+14;nonzero square class=14;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root14 square := mul(14, 14) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root14 square = 196 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=14 in1..30;actual square=196 操作後 Euclidean square=6*31+10;nonzero square class=10;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root15 square := mul(15, 15) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root15 square = 225 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=15 in1..30;actual square=225 操作後 Euclidean square=7*31+8;nonzero square class=8;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root16 square := mul(16, 16) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root16 square = 256 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=16 in1..30;actual square=256 操作後 Euclidean square=8*31+8;nonzero square class=8;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root17 square := mul(17, 17) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root17 square = 289 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=17 in1..30;actual square=289 操作後 Euclidean square=9*31+10;nonzero square class=10;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root18 square := mul(18, 18) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root18 square = 324 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=18 in1..30;actual square=324 操作後 Euclidean square=10*31+14;nonzero square class=14;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root19 square := mul(19, 19) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root19 square = 361 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=19 in1..30;actual square=361 操作後 Euclidean square=11*31+20;nonzero square class=20;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root20 square := mul(20, 20) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root20 square = 400 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=20 in1..30;actual square=400 操作後 Euclidean square=12*31+28;nonzero square class=28;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root21 square := mul(21, 21) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root21 square = 441 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=21 in1..30;actual square=441 操作後 Euclidean square=14*31+7;nonzero square class=7;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root22 square := mul(22, 22) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root22 square = 484 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=22 in1..30;actual square=484 操作後 Euclidean square=15*31+19;nonzero square class=19;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root23 square := mul(23, 23) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root23 square = 529 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=23 in1..30;actual square=529 操作後 Euclidean square=17*31+2;nonzero square class=2;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root24 square := mul(24, 24) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root24 square = 576 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=24 in1..30;actual square=576 操作後 Euclidean square=18*31+18;nonzero square class=18;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root25 square := mul(25, 25) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root25 square = 625 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=25 in1..30;actual square=625 操作後 Euclidean square=20*31+5;nonzero square class=5;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root26 square := mul(26, 26) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root26 square = 676 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=26 in1..30;actual square=676 操作後 Euclidean square=21*31+25;nonzero square class=25;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root27 square := mul(27, 27) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root27 square = 729 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=27 in1..30;actual square=729 操作後 Euclidean square=23*31+16;nonzero square class=16;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root28 square := mul(28, 28) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root28 square = 784 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=28 in1..30;actual square=784 操作後 Euclidean square=25*31+9;nonzero square class=9;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S057 S059 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root29 square := mul(29, 29) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root29 square = 841 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058 S060 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=29 in1..30;actual square=841 操作後 Euclidean square=27*31+4;nonzero square class=4;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root30 square := mul(30, 30) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root30 square = 900 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=30 in1..30;actual square=900 操作後 Euclidean square=29*31+1;nonzero square class=1;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 Quadratic distinct nonzero residue count := sum(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) 操作後 Quadratic distinct nonzero residue count = 15 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL modulus minus1 := sub(31, 1) 操作後 Quadratic ORIGINAL modulus minus1 = 30 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063 S065 · calculation操作前 Quadratic half of all nonzero roots := div(30, 2) 操作後 Quadratic half of all nonzero roots = 15 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064 S066 · implies操作前 ORIGINAL ODD PRIME p=31;complete nonzero square table=[[1, 1], [2, 4], [3, 9], [4, 16], [5, 25], [6, 5], [7, 18], [8, 2], [9, 19], [10, 7], [11, 28], [12, 20], [13, 14], [14, 10], [15, 8], [16, 8], [17, 10], [18, 14], [19, 20], [20, 28], [21, 7], [22, 19], [23, 2], [24, 18], [25, 5], [26, 25], [27, 16], [28, 9], [29, 4], [30, 1]];distinct classes=[1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 14, 16, 18, 19, 20, 25, 28] 操作後 x^2=y^2 implies p divides(x-y)(x+y),so x=y or x=-y modp;odd p and nonzero x make opposite roots DISTINCT;each image has2 roots,so residue count=15=(31-1)/2=15 條件：無 prime給無零因子的乘積消去，odd保2x不等0；±配對互不重疊覆蓋全部p−1非零root。這證計數與兩根性，不外推到zero、p2或composite。 步驟識別與依賴規則：quadratic_prime_field_opposite_root_pairs_exactly_two · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL candidate class Euclidean quotient times modulus := mul(0, 31) 操作後 Quadratic ORIGINAL candidate class Euclidean quotient times modulus = 0 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL candidate class ORIGINAL signed value minus multiple := sub(10, 0) 操作後 Quadratic ORIGINAL candidate class ORIGINAL signed value minus multiple = 10 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067 S069 · implies操作前 Quadratic ORIGINAL candidate class:ORIGINAL signed value=10;positive modulus=31;actual quotient=0 操作後 canonical residue=10;value=quotient*modulus+residue and0<=residue