# 第 23342 題：二次剩餘 [返回所在分頁 117](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/117/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261111-r06-quadratic-residue-foundations/#q-20261014-advance-20261111-r06-quadratic-residue-0042) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0045-23342 · q-20261014-advance-20261111-r06-quadratic-residue-0042 ## 原題與已知條件 odd prime p上的nonzero quadratic-residue convention與complete nonzero square table。操作=quadratic-membership-witness；資料={"p":61,"a":17}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — odd prime p上的nonzero quadratic-residue convention與complete nonzero square table。操作=quadratic-membership-witness；資料={"p":61,"a":17}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-quadratic-residue](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quadratic-residue/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=quadratic-membership-witness;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[p, a, normalized_class, nonzero_roots, nonzero_residue, certificate] 條件：無 原題快照保留歷史介面；此處直接列來源欄序，不依賴JavaScript。tag與No保聲稱範圍，固定來源排序不冒充數學證明。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 Quadratic ORIGINAL modulus:ORIGINAL integer=61;complete possible trial divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7] 操作後 ALL [divisor,remainder] rows=[[2, 1], [3, 1], [4, 1], [5, 1], [6, 1], [7, 5]];prime=是;a composite>1 has a factor at most its square root 條件：無 逐完整平方根範圍核整除；prime2的範圍為空而通過，0/1不通過。不能由少數取樣、平方表或Euler判準代替此資格。 步驟識別與依賴規則：finite_prime_ALL_trial_divisors_through_square_root · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root1 square := mul(1, 1) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root1 square = 1 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=1 in1..60;actual square=1 操作後 Euclidean square=0*61+1;nonzero square class=1;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root2 square := mul(2, 2) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root2 square = 4 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=2 in1..60;actual square=4 操作後 Euclidean square=0*61+4;nonzero square class=4;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root3 square := mul(3, 3) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root3 square = 9 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=3 in1..60;actual square=9 操作後 Euclidean square=0*61+9;nonzero square class=9;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root4 square := mul(4, 4) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root4 square = 16 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=4 in1..60;actual square=16 操作後 Euclidean square=0*61+16;nonzero square class=16;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root5 square := mul(5, 5) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root5 square = 25 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=5 in1..60;actual square=25 操作後 Euclidean square=0*61+25;nonzero square class=25;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root6 square := mul(6, 6) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root6 square = 36 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=6 in1..60;actual square=36 操作後 Euclidean square=0*61+36;nonzero square class=36;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root7 square := mul(7, 7) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root7 square = 49 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=7 in1..60;actual square=49 操作後 Euclidean square=0*61+49;nonzero square class=49;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root8 square := mul(8, 8) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root8 square = 64 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=8 in1..60;actual square=64 操作後 Euclidean square=1*61+3;nonzero square class=3;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root9 square := mul(9, 9) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root9 square = 81 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=9 in1..60;actual square=81 操作後 Euclidean square=1*61+20;nonzero square class=20;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root10 square := mul(10, 10) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root10 square = 100 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=10 in1..60;actual square=100 操作後 Euclidean square=1*61+39;nonzero square class=39;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root11 square := mul(11, 11) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root11 square = 121 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=11 in1..60;actual square=121 操作後 Euclidean square=1*61+60;nonzero square class=60;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root12 square := mul(12, 12) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root12 square = 144 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=12 in1..60;actual square=144 操作後 Euclidean square=2*61+22;nonzero square class=22;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root13 square := mul(13, 13) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root13 square = 169 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=13 in1..60;actual square=169 操作後 Euclidean square=2*61+47;nonzero square class=47;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root14 square := mul(14, 14) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root14 square = 196 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=14 in1..60;actual square=196 操作後 Euclidean square=3*61+13;nonzero square class=13;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root15 square := mul(15, 15) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root15 square = 225 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=15 in1..60;actual square=225 操作後 Euclidean square=3*61+42;nonzero square class=42;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root16 square := mul(16, 16) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root16 square = 256 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=16 in1..60;actual square=256 操作後 Euclidean square=4*61+12;nonzero square class=12;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root17 square := mul(17, 17) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root17 square = 289 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=17 in1..60;actual square=289 操作後 Euclidean square=4*61+45;nonzero square class=45;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root18 square := mul(18, 18) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root18 square = 324 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=18 in1..60;actual square=324 操作後 Euclidean square=5*61+19;nonzero square class=19;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root19 square := mul(19, 19) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root19 square = 361 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=19 in1..60;actual square=361 操作後 Euclidean square=5*61+56;nonzero square class=56;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root20 square := mul(20, 20) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root20 square = 400 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=20 in1..60;actual square=400 操作後 Euclidean square=6*61+34;nonzero square class=34;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root21 square := mul(21, 21) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root21 square = 441 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=21 in1..60;actual square=441 操作後 Euclidean square=7*61+14;nonzero square class=14;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root22 square := mul(22, 22) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root22 square = 484 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=22 in1..60;actual square=484 操作後 Euclidean square=7*61+57;nonzero square class=57;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root23 square := mul(23, 23) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root23 square = 529 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=23 in1..60;actual square=529 操作後 Euclidean square=8*61+41;nonzero square class=41;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root24 square := mul(24, 24) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root24 square = 576 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=24 in1..60;actual square=576 操作後 Euclidean square=9*61+27;nonzero square class=27;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root25 square := mul(25, 25) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root25 square = 625 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=25 in1..60;actual square=625 操作後 Euclidean square=10*61+15;nonzero square class=15;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root26 square := mul(26, 26) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root26 square = 676 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=26 in1..60;actual square=676 操作後 Euclidean square=11*61+5;nonzero square class=5;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root27 square := mul(27, 27) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root27 square = 729 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=27 in1..60;actual square=729 操作後 Euclidean square=11*61+58;nonzero square class=58;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root28 square := mul(28, 28) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root28 square = 784 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=28 in1..60;actual square=784 操作後 Euclidean square=12*61+52;nonzero square class=52;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S057 S059 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root29 square := mul(29, 29) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root29 square = 841 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058 S060 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=29 in1..60;actual square=841 操作後 Euclidean square=13*61+48;nonzero square class=48;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root30 square := mul(30, 30) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root30 square = 900 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=30 in1..60;actual square=900 操作後 Euclidean square=14*61+46;nonzero square class=46;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root31 square := mul(31, 31) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root31 square = 961 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=31 in1..60;actual square=961 操作後 Euclidean square=15*61+46;nonzero square class=46;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S063 S065 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root32 square := mul(32, 32) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root32 square = 1024 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064 S066 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=32 in1..60;actual square=1024 操作後 Euclidean square=16*61+48;nonzero square class=48;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root33 square := mul(33, 33) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root33 square = 1089 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=33 in1..60;actual square=1089 操作後 Euclidean square=17*61+52;nonzero square class=52;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S067 S069 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root34 square := mul(34, 34) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root34 square = 1156 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068 S070 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=34 in1..60;actual square=1156 操作後 Euclidean square=18*61+58;nonzero square class=58;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S069 S071 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root35 square := mul(35, 35) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root35 square = 1225 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070 S072 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=35 in1..60;actual square=1225 操作後 Euclidean square=20*61+5;nonzero square class=5;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S071 S073 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root36 square := mul(36, 36) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root36 square = 1296 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S072 S074 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=36 in1..60;actual square=1296 操作後 Euclidean square=21*61+15;nonzero square class=15;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S073 S075 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root37 square := mul(37, 37) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root37 square = 1369 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S074 S076 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=37 in1..60;actual square=1369 操作後 Euclidean square=22*61+27;nonzero square class=27;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S075 S077 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root38 square := mul(38, 38) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root38 square = 1444 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S076 S078 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=38 in1..60;actual square=1444 操作後 Euclidean square=23*61+41;nonzero square class=41;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S077 S079 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root39 square := mul(39, 39) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root39 square = 1521 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S078 S080 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=39 in1..60;actual square=1521 操作後 Euclidean square=24*61+57;nonzero square class=57;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S079 S081 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root40 square := mul(40, 40) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root40 square = 1600 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S080 S082 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=40 in1..60;actual square=1600 操作後 Euclidean square=26*61+14;nonzero square class=14;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S081 S083 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root41 square := mul(41, 41) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root41 square = 1681 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S082 S084 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=41 in1..60;actual square=1681 操作後 Euclidean square=27*61+34;nonzero square class=34;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S083 S085 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root42 square := mul(42, 42) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root42 square = 1764 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S084 S086 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=42 in1..60;actual square=1764 操作後 Euclidean square=28*61+56;nonzero square class=56;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S085 S087 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root43 square := mul(43, 43) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root43 square = 1849 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S086 S088 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=43 in1..60;actual square=1849 操作後 Euclidean square=30*61+19;nonzero square class=19;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S087 S089 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root44 square := mul(44, 44) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root44 square = 1936 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S088 S090 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=44 in1..60;actual square=1936 操作後 Euclidean square=31*61+45;nonzero square class=45;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S089 S091 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root45 square := mul(45, 45) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root45 square = 2025 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S090 S092 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=45 in1..60;actual square=2025 操作後 Euclidean square=33*61+12;nonzero square class=12;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S091 S093 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root46 square := mul(46, 46) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root46 square = 2116 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S092 S094 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=46 in1..60;actual square=2116 操作後 Euclidean square=34*61+42;nonzero square class=42;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S093 S095 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root47 square := mul(47, 47) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root47 square = 2209 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S094 S096 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=47 in1..60;actual square=2209 操作後 Euclidean square=36*61+13;nonzero square class=13;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S095 S097 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root48 square := mul(48, 48) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root48 square = 2304 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S096 S098 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=48 in1..60;actual square=2304 操作後 Euclidean square=37*61+47;nonzero square class=47;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S097 S099 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root49 square := mul(49, 49) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root49 square = 2401 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S098 S100 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=49 in1..60;actual square=2401 操作後 Euclidean square=39*61+22;nonzero square class=22;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S099 S101 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root50 square := mul(50, 50) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root50 square = 2500 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S100 S102 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=50 in1..60;actual square=2500 操作後 Euclidean square=40*61+60;nonzero square class=60;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S101 S103 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root51 square := mul(51, 51) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root51 square = 2601 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S102 S104 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=51 in1..60;actual square=2601 操作後 Euclidean square=42*61+39;nonzero square class=39;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S103 S105 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root52 square := mul(52, 52) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root52 square = 2704 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S104 S106 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=52 in1..60;actual square=2704 操作後 Euclidean square=44*61+20;nonzero square class=20;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S105 S107 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root53 square := mul(53, 53) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root53 square = 2809 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S106 S108 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=53 in1..60;actual square=2809 操作後 Euclidean square=46*61+3;nonzero square class=3;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S107 S109 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root54 square := mul(54, 54) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root54 square = 2916 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S108 S110 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=54 in1..60;actual square=2916 操作後 Euclidean square=47*61+49;nonzero square class=49;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S109 S111 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root55 square := mul(55, 55) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root55 square = 3025 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S110 S112 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=55 in1..60;actual square=3025 操作後 Euclidean square=49*61+36;nonzero square class=36;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S111 S113 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root56 square := mul(56, 56) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root56 square = 3136 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S112 S114 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=56 in1..60;actual square=3136 操作後 Euclidean square=51*61+25;nonzero square class=25;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S113 S115 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root57 square := mul(57, 57) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root57 square = 3249 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S114 S116 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=57 in1..60;actual square=3249 操作後 Euclidean square=53*61+16;nonzero square class=16;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S115 S117 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root58 square := mul(58, 58) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root58 square = 3364 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S116 S118 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=58 in1..60;actual square=3364 操作後 Euclidean square=55*61+9;nonzero square class=9;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S117 S119 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root59 square := mul(59, 59) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root59 square = 3481 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S118 S120 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=59 in1..60;actual square=3481 操作後 Euclidean square=57*61+4;nonzero square class=4;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S119 S121 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root60 square := mul(60, 60) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root60 square = 3600 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S120 S122 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=60 in1..60;actual square=3600 操作後 Euclidean square=59*61+1;nonzero square class=1;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S121 S123 · calculation操作前 Quadratic distinct nonzero residue count := sum(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) 操作後 Quadratic distinct nonzero residue count = 30 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S122 S124 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL modulus minus1 := sub(61, 1) 操作後 Quadratic ORIGINAL modulus minus1 = 60 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S123 S125 · calculation操作前 Quadratic half of all nonzero roots := div(60, 2) 操作後 Quadratic half of all nonzero roots = 30 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S124 S126 · implies操作前 ORIGINAL ODD PRIME p=61;complete nonzero square table=[[1, 1], [2, 4], [3, 9], [4, 16], [5, 25], [6, 36], [7, 49], [8, 3], [9, 20], [10, 39], [11, 60], [12, 22], [13, 47], [14, 13], [15, 42], [16, 12], [17, 45], [18, 19], [19, 56], [20, 34], [21, 14], [22, 57], [23, 41], [24, 27], [25, 15], [26, 5], [27, 58], [28, 52], [29, 48], [30, 46], [31, 46], [32, 48], [33, 52], [34, 58], [35, 5], [36, 15], [37, 27], [38, 41], [39, 57], [40, 14], [41, 34], [42, 56], [43, 19], [44, 45], [45, 12], [46, 42], [47, 13], [48, 47], [49, 22], [50, 60], [51, 39], [52, 20], [53, 3], [54, 49], [55, 36], [56, 25], [57, 16], [58, 9], [59, 4], [60, 1]];distinct classes=[1, 3, 4, 5, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 20, 22, 25, 27, 34, 36, 39, 41, 42, 45, 46, 47, 48, 49, 52, 56, 57, 58, 60] 操作後 x^2=y^2 implies p divides(x-y)(x+y),so x=y or x=-y modp;odd p and nonzero x make opposite roots DISTINCT;each image has2 roots,so residue count=30=(61-1)/2=30 條件：無 prime給無零因子的乘積消去，odd保2x不等0；±配對互不重疊覆蓋全部p−1非零root。這證計數與兩根性，不外推到zero、p2或composite。 步驟識別與依賴規則：quadratic_prime_field_opposite_root_pairs_exactly_two · 依賴：G001, S125 S127 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL candidate class Euclidean quotient times modulus := mul(0, 61) 操作後 Quadratic ORIGINAL candidate class Euclidean quotient times modulus = 0 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S126 S128 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL candidate class ORIGINAL signed value minus multiple := sub(17, 0) 操作後 Quadratic ORIGINAL candidate class ORIGINAL signed value minus multiple = 17 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S127 S129 · implies操作前 Quadratic ORIGINAL candidate class:ORIGINAL signed value=17;positive modulus=61;actual quotient=0 操作後 canonical residue=17;value=quotient*modulus+residue and0<=residue