# 第 23347 題：二次剩餘 [返回所在分頁 117](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/117/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261111-r06-quadratic-residue-foundations/#q-20261014-advance-20261111-r06-quadratic-residue-0047) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0045-23347 · q-20261014-advance-20261111-r06-quadratic-residue-0047 ## 原題與已知條件 odd prime p上的nonzero quadratic-residue convention與complete nonzero square table。操作=quadratic-membership-witness；資料={"p":83,"a":22}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — odd prime p上的nonzero quadratic-residue convention與complete nonzero square table。操作=quadratic-membership-witness；資料={"p":83,"a":22}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-quadratic-residue](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quadratic-residue/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=quadratic-membership-witness;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[p, a, normalized_class, nonzero_roots, nonzero_residue, certificate] 條件：無 原題快照保留歷史介面；此處直接列來源欄序，不依賴JavaScript。tag與No保聲稱範圍，固定來源排序不冒充數學證明。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 Quadratic ORIGINAL modulus:ORIGINAL integer=83;complete possible trial divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] 操作後 ALL [divisor,remainder] rows=[[2, 1], [3, 2], [4, 3], [5, 3], [6, 5], [7, 6], [8, 3], [9, 2]];prime=是;a composite>1 has a factor at most its square root 條件：無 逐完整平方根範圍核整除；prime2的範圍為空而通過，0/1不通過。不能由少數取樣、平方表或Euler判準代替此資格。 步驟識別與依賴規則：finite_prime_ALL_trial_divisors_through_square_root · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root1 square := mul(1, 1) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root1 square = 1 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=1 in1..82;actual square=1 操作後 Euclidean square=0*83+1;nonzero square class=1;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root2 square := mul(2, 2) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root2 square = 4 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=2 in1..82;actual square=4 操作後 Euclidean square=0*83+4;nonzero square class=4;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root3 square := mul(3, 3) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root3 square = 9 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=3 in1..82;actual square=9 操作後 Euclidean square=0*83+9;nonzero square class=9;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root4 square := mul(4, 4) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root4 square = 16 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=4 in1..82;actual square=16 操作後 Euclidean square=0*83+16;nonzero square class=16;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root5 square := mul(5, 5) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root5 square = 25 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=5 in1..82;actual square=25 操作後 Euclidean square=0*83+25;nonzero square class=25;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root6 square := mul(6, 6) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root6 square = 36 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=6 in1..82;actual square=36 操作後 Euclidean square=0*83+36;nonzero square class=36;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root7 square := mul(7, 7) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root7 square = 49 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=7 in1..82;actual square=49 操作後 Euclidean square=0*83+49;nonzero square class=49;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root8 square := mul(8, 8) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root8 square = 64 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=8 in1..82;actual square=64 操作後 Euclidean square=0*83+64;nonzero square class=64;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root9 square := mul(9, 9) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root9 square = 81 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=9 in1..82;actual square=81 操作後 Euclidean square=0*83+81;nonzero square class=81;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root10 square := mul(10, 10) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root10 square = 100 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=10 in1..82;actual square=100 操作後 Euclidean square=1*83+17;nonzero square class=17;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root11 square := mul(11, 11) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root11 square = 121 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=11 in1..82;actual square=121 操作後 Euclidean square=1*83+38;nonzero square class=38;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root12 square := mul(12, 12) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root12 square = 144 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=12 in1..82;actual square=144 操作後 Euclidean square=1*83+61;nonzero square class=61;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root13 square := mul(13, 13) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root13 square = 169 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=13 in1..82;actual square=169 操作後 Euclidean square=2*83+3;nonzero square class=3;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root14 square := mul(14, 14) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root14 square = 196 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=14 in1..82;actual square=196 操作後 Euclidean square=2*83+30;nonzero square class=30;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root15 square := mul(15, 15) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root15 square = 225 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=15 in1..82;actual square=225 操作後 Euclidean square=2*83+59;nonzero square class=59;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root16 square := mul(16, 16) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root16 square = 256 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=16 in1..82;actual square=256 操作後 Euclidean square=3*83+7;nonzero square class=7;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root17 square := mul(17, 17) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root17 square = 289 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=17 in1..82;actual square=289 操作後 Euclidean square=3*83+40;nonzero square class=40;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root18 square := mul(18, 18) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root18 square = 324 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=18 in1..82;actual square=324 操作後 Euclidean square=3*83+75;nonzero square class=75;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root19 square := mul(19, 19) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root19 square = 361 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=19 in1..82;actual square=361 操作後 Euclidean square=4*83+29;nonzero square class=29;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root20 square := mul(20, 20) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root20 square = 400 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=20 in1..82;actual square=400 操作後 Euclidean square=4*83+68;nonzero square class=68;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root21 square := mul(21, 21) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root21 square = 441 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=21 in1..82;actual square=441 操作後 Euclidean square=5*83+26;nonzero square class=26;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root22 square := mul(22, 22) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root22 square = 484 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=22 in1..82;actual square=484 操作後 Euclidean square=5*83+69;nonzero square class=69;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root23 square := mul(23, 23) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root23 square = 529 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=23 in1..82;actual square=529 操作後 Euclidean square=6*83+31;nonzero square class=31;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root24 square := mul(24, 24) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root24 square = 576 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=24 in1..82;actual square=576 操作後 Euclidean square=6*83+78;nonzero square class=78;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root25 square := mul(25, 25) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root25 square = 625 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=25 in1..82;actual square=625 操作後 Euclidean square=7*83+44;nonzero square class=44;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root26 square := mul(26, 26) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root26 square = 676 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=26 in1..82;actual square=676 操作後 Euclidean square=8*83+12;nonzero square class=12;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root27 square := mul(27, 27) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root27 square = 729 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=27 in1..82;actual square=729 操作後 Euclidean square=8*83+65;nonzero square class=65;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root28 square := mul(28, 28) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root28 square = 784 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=28 in1..82;actual square=784 操作後 Euclidean square=9*83+37;nonzero square class=37;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S057 S059 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root29 square := mul(29, 29) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root29 square = 841 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058 S060 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=29 in1..82;actual square=841 操作後 Euclidean square=10*83+11;nonzero square class=11;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root30 square := mul(30, 30) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root30 square = 900 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=30 in1..82;actual square=900 操作後 Euclidean square=10*83+70;nonzero square class=70;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root31 square := mul(31, 31) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root31 square = 961 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=31 in1..82;actual square=961 操作後 Euclidean square=11*83+48;nonzero square class=48;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S063 S065 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root32 square := mul(32, 32) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root32 square = 1024 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064 S066 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=32 in1..82;actual square=1024 操作後 Euclidean square=12*83+28;nonzero square class=28;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root33 square := mul(33, 33) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root33 square = 1089 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=33 in1..82;actual square=1089 操作後 Euclidean square=13*83+10;nonzero square class=10;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S067 S069 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root34 square := mul(34, 34) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root34 square = 1156 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068 S070 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=34 in1..82;actual square=1156 操作後 Euclidean square=13*83+77;nonzero square class=77;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S069 S071 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root35 square := mul(35, 35) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root35 square = 1225 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070 S072 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=35 in1..82;actual square=1225 操作後 Euclidean square=14*83+63;nonzero square class=63;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S071 S073 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root36 square := mul(36, 36) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root36 square = 1296 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S072 S074 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=36 in1..82;actual square=1296 操作後 Euclidean square=15*83+51;nonzero square class=51;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S073 S075 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root37 square := mul(37, 37) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root37 square = 1369 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S074 S076 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=37 in1..82;actual square=1369 操作後 Euclidean square=16*83+41;nonzero square class=41;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S075 S077 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root38 square := mul(38, 38) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root38 square = 1444 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S076 S078 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=38 in1..82;actual square=1444 操作後 Euclidean square=17*83+33;nonzero square class=33;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S077 S079 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root39 square := mul(39, 39) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root39 square = 1521 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S078 S080 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=39 in1..82;actual square=1521 操作後 Euclidean square=18*83+27;nonzero square class=27;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S079 S081 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root40 square := mul(40, 40) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root40 square = 1600 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S080 S082 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=40 in1..82;actual square=1600 操作後 Euclidean square=19*83+23;nonzero square class=23;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S081 S083 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root41 square := mul(41, 41) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root41 square = 1681 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S082 S084 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=41 in1..82;actual square=1681 操作後 Euclidean square=20*83+21;nonzero square class=21;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S083 S085 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root42 square := mul(42, 42) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root42 square = 1764 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S084 S086 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=42 in1..82;actual square=1764 操作後 Euclidean square=21*83+21;nonzero square class=21;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S085 S087 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root43 square := mul(43, 43) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root43 square = 1849 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S086 S088 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=43 in1..82;actual square=1849 操作後 Euclidean square=22*83+23;nonzero square class=23;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S087 S089 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root44 square := mul(44, 44) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root44 square = 1936 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S088 S090 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=44 in1..82;actual square=1936 操作後 Euclidean square=23*83+27;nonzero square class=27;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S089 S091 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root45 square := mul(45, 45) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root45 square = 2025 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S090 S092 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=45 in1..82;actual square=2025 操作後 Euclidean square=24*83+33;nonzero square class=33;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S091 S093 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root46 square := mul(46, 46) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root46 square = 2116 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S092 S094 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=46 in1..82;actual square=2116 操作後 Euclidean square=25*83+41;nonzero square class=41;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S093 S095 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root47 square := mul(47, 47) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root47 square = 2209 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S094 S096 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=47 in1..82;actual square=2209 操作後 Euclidean square=26*83+51;nonzero square class=51;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S095 S097 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root48 square := mul(48, 48) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root48 square = 2304 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S096 S098 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=48 in1..82;actual square=2304 操作後 Euclidean square=27*83+63;nonzero square class=63;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S097 S099 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root49 square := mul(49, 49) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root49 square = 2401 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S098 S100 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=49 in1..82;actual square=2401 操作後 Euclidean square=28*83+77;nonzero square class=77;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S099 S101 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root50 square := mul(50, 50) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root50 square = 2500 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S100 S102 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=50 in1..82;actual square=2500 操作後 Euclidean square=30*83+10;nonzero square class=10;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S101 S103 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root51 square := mul(51, 51) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root51 square = 2601 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S102 S104 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=51 in1..82;actual square=2601 操作後 Euclidean square=31*83+28;nonzero square class=28;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S103 S105 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root52 square := mul(52, 52) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root52 square = 2704 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S104 S106 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=52 in1..82;actual square=2704 操作後 Euclidean square=32*83+48;nonzero square class=48;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S105 S107 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root53 square := mul(53, 53) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root53 square = 2809 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S106 S108 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=53 in1..82;actual square=2809 操作後 Euclidean square=33*83+70;nonzero square class=70;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S107 S109 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root54 square := mul(54, 54) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root54 square = 2916 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S108 S110 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=54 in1..82;actual square=2916 操作後 Euclidean square=35*83+11;nonzero square class=11;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S109 S111 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root55 square := mul(55, 55) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root55 square = 3025 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S110 S112 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=55 in1..82;actual square=3025 操作後 Euclidean square=36*83+37;nonzero square class=37;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S111 S113 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root56 square := mul(56, 56) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root56 square = 3136 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S112 S114 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=56 in1..82;actual square=3136 操作後 Euclidean square=37*83+65;nonzero square class=65;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S113 S115 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root57 square := mul(57, 57) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root57 square = 3249 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S114 S116 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=57 in1..82;actual square=3249 操作後 Euclidean square=39*83+12;nonzero square class=12;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S115 S117 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root58 square := mul(58, 58) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root58 square = 3364 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S116 S118 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=58 in1..82;actual square=3364 操作後 Euclidean square=40*83+44;nonzero square class=44;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S117 S119 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root59 square := mul(59, 59) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root59 square = 3481 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S118 S120 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=59 in1..82;actual square=3481 操作後 Euclidean square=41*83+78;nonzero square class=78;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S119 S121 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root60 square := mul(60, 60) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root60 square = 3600 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S120 S122 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=60 in1..82;actual square=3600 操作後 Euclidean square=43*83+31;nonzero square class=31;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S121 S123 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root61 square := mul(61, 61) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root61 square = 3721 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S122 S124 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=61 in1..82;actual square=3721 操作後 Euclidean square=44*83+69;nonzero square class=69;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S123 S125 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root62 square := mul(62, 62) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root62 square = 3844 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S124 S126 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=62 in1..82;actual square=3844 操作後 Euclidean square=46*83+26;nonzero square class=26;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S125 S127 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root63 square := mul(63, 63) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root63 square = 3969 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S126 S128 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=63 in1..82;actual square=3969 操作後 Euclidean square=47*83+68;nonzero square class=68;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S127 S129 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root64 square := mul(64, 64) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root64 square = 4096 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S128 S130 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=64 in1..82;actual square=4096 操作後 Euclidean square=49*83+29;nonzero square class=29;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S129 S131 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root65 square := mul(65, 65) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root65 square = 4225 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S130 S132 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=65 in1..82;actual square=4225 操作後 Euclidean square=50*83+75;nonzero square class=75;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S131 S133 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root66 square := mul(66, 66) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root66 square = 4356 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S132 S134 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=66 in1..82;actual square=4356 操作後 Euclidean square=52*83+40;nonzero square class=40;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S133 S135 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root67 square := mul(67, 67) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root67 square = 4489 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S134 S136 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=67 in1..82;actual square=4489 操作後 Euclidean square=54*83+7;nonzero square class=7;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S135 S137 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root68 square := mul(68, 68) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root68 square = 4624 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S136 S138 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=68 in1..82;actual square=4624 操作後 Euclidean square=55*83+59;nonzero square class=59;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S137 S139 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root69 square := mul(69, 69) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root69 square = 4761 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S138 S140 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=69 in1..82;actual square=4761 操作後 Euclidean square=57*83+30;nonzero square class=30;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S139 S141 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root70 square := mul(70, 70) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root70 square = 4900 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S140 S142 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=70 in1..82;actual square=4900 操作後 Euclidean square=59*83+3;nonzero square class=3;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S141 S143 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root71 square := mul(71, 71) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root71 square = 5041 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S142 S144 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=71 in1..82;actual square=5041 操作後 Euclidean square=60*83+61;nonzero square class=61;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S143 S145 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root72 square := mul(72, 72) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root72 square = 5184 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S144 S146 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=72 in1..82;actual square=5184 操作後 Euclidean square=62*83+38;nonzero square class=38;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S145 S147 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root73 square := mul(73, 73) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root73 square = 5329 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S146 S148 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=73 in1..82;actual square=5329 操作後 Euclidean square=64*83+17;nonzero square class=17;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S147 S149 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root74 square := mul(74, 74) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root74 square = 5476 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S148 S150 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=74 in1..82;actual square=5476 操作後 Euclidean square=65*83+81;nonzero square class=81;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S149 S151 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root75 square := mul(75, 75) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root75 square = 5625 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S150 S152 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=75 in1..82;actual square=5625 操作後 Euclidean square=67*83+64;nonzero square class=64;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S151 S153 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root76 square := mul(76, 76) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root76 square = 5776 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S152 S154 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=76 in1..82;actual square=5776 操作後 Euclidean square=69*83+49;nonzero square class=49;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S153 S155 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root77 square := mul(77, 77) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root77 square = 5929 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S154 S156 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=77 in1..82;actual square=5929 操作後 Euclidean square=71*83+36;nonzero square class=36;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S155 S157 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root78 square := mul(78, 78) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root78 square = 6084 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S156 S158 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=78 in1..82;actual square=6084 操作後 Euclidean square=73*83+25;nonzero square class=25;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S157 S159 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root79 square := mul(79, 79) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root79 square = 6241 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S158 S160 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=79 in1..82;actual square=6241 操作後 Euclidean square=75*83+16;nonzero square class=16;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S159 S161 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root80 square := mul(80, 80) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root80 square = 6400 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S160 S162 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=80 in1..82;actual square=6400 操作後 Euclidean square=77*83+9;nonzero square class=9;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S161 S163 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root81 square := mul(81, 81) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root81 square = 6561 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S162 S164 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=81 in1..82;actual square=6561 操作後 Euclidean square=79*83+4;nonzero square class=4;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S163 S165 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL nonzero root82 square := mul(82, 82) 操作後 Quadratic ORIGINAL nonzero root82 square = 6724 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S164 S166 · implies操作前 ORIGINAL nonzero root x=82 in1..82;actual square=6724 操作後 Euclidean square=81*83+1;nonzero square class=1;complete root-index order retained 條件：無 逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。 步驟識別與依賴規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S165 S167 · calculation操作前 Quadratic distinct nonzero residue count := sum(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) 操作後 Quadratic distinct nonzero residue count = 41 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S166 S168 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL modulus minus1 := sub(83, 1) 操作後 Quadratic ORIGINAL modulus minus1 = 82 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S167 S169 · calculation操作前 Quadratic half of all nonzero roots := div(82, 2) 操作後 Quadratic half of all nonzero roots = 41 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S168 S170 · implies操作前 ORIGINAL ODD PRIME p=83;complete nonzero square table=[[1, 1], [2, 4], [3, 9], [4, 16], [5, 25], [6, 36], [7, 49], [8, 64], [9, 81], [10, 17], [11, 38], [12, 61], [13, 3], [14, 30], [15, 59], [16, 7], [17, 40], [18, 75], [19, 29], [20, 68], [21, 26], [22, 69], [23, 31], [24, 78], [25, 44], [26, 12], [27, 65], [28, 37], [29, 11], [30, 70], [31, 48], [32, 28], [33, 10], [34, 77], [35, 63], [36, 51], [37, 41], [38, 33], [39, 27], [40, 23], [41, 21], [42, 21], [43, 23], [44, 27], [45, 33], [46, 41], [47, 51], [48, 63], [49, 77], [50, 10], [51, 28], [52, 48], [53, 70], [54, 11], [55, 37], [56, 65], [57, 12], [58, 44], [59, 78], [60, 31], [61, 69], [62, 26], [63, 68], [64, 29], [65, 75], [66, 40], [67, 7], [68, 59], [69, 30], [70, 3], [71, 61], [72, 38], [73, 17], [74, 81], [75, 64], [76, 49], [77, 36], [78, 25], [79, 16], [80, 9], [81, 4], [82, 1]];distinct classes=[1, 3, 4, 7, 9, 10, 11, 12, 16, 17, 21, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 36, 37, 38, 40, 41, 44, 48, 49, 51, 59, 61, 63, 64, 65, 68, 69, 70, 75, 77, 78, 81] 操作後 x^2=y^2 implies p divides(x-y)(x+y),so x=y or x=-y modp;odd p and nonzero x make opposite roots DISTINCT;each image has2 roots,so residue count=41=(83-1)/2=41 條件：無 prime給無零因子的乘積消去，odd保2x不等0；±配對互不重疊覆蓋全部p−1非零root。這證計數與兩根性，不外推到zero、p2或composite。 步驟識別與依賴規則：quadratic_prime_field_opposite_root_pairs_exactly_two · 依賴：G001, S169 S171 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL candidate class Euclidean quotient times modulus := mul(0, 83) 操作後 Quadratic ORIGINAL candidate class Euclidean quotient times modulus = 0 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S170 S172 · calculation操作前 Quadratic ORIGINAL candidate class ORIGINAL signed value minus multiple := sub(22, 0) 操作後 Quadratic ORIGINAL candidate class ORIGINAL signed value minus multiple = 22 條件：無 依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S171 S173 · implies操作前 Quadratic ORIGINAL candidate class:ORIGINAL signed value=22;positive modulus=83;actual quotient=0 操作後 canonical residue=22;value=quotient*modulus+residue and0<=residue