# 第 23406 題：有限群的Cauchy定理 [返回所在分頁 118](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/118/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261112-r01-cauchy-theorem-finite-groups-foundations/#q-20261014-advance-20261112-r01-cauchy-theorem-finite-groups-0081) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0045-23406 · q-20261014-advance-20261112-r01-cauchy-theorem-finite-groups-0081 ## 原題與已知條件 完整有限群、prime divisor與exact element-order證書。操作=cauchy-composite-divisor-boundary；資料={"group_table":[[1,0,3,2,5,4,7,6],[0,1,2,3,4,5,6,7],[3,2,1,0,7,6,5,4],[2,3,0,1,6,7,4,5],[5,4,7,6,1,0,3,2],[4,5,6,7,0,1,2,3],[7,6,5,4,3,2,1,0],[6,7,4,5,2,3,0,1]],"identity":1,"divisor":8}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 完整有限群、prime divisor與exact element-order證書。操作=cauchy-composite-divisor-boundary；資料={"group_table":[[1,0,3,2,5,4,7,6],[0,1,2,3,4,5,6,7],[3,2,1,0,7,6,5,4],[2,3,0,1,6,7,4,5],[5,4,7,6,1,0,3,2],[4,5,6,7,0,1,2,3],[7,6,5,4,3,2,1,0],[6,7,4,5,2,3,0,1]],"identity":1,"divisor":8}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-cauchy-theorem-finite-groups](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-cauchy-theorem-finite-groups/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=cauchy-composite-divisor-boundary;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[group_order, composite_divisor, element_order_rows, divisor_divides_order, exists_element_of_requested_order, boundary] 條件：無 原題快照保留歷史介面；此處直接列來源欄序，不依賴JavaScript。tag與No保聲稱範圍，固定來源排序不冒充數學證明。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 ORIGINAL closed Cayley table=[[1, 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [3, 2, 1, 0, 7, 6, 5, 4], [2, 3, 0, 1, 6, 7, 4, 5], [5, 4, 7, 6, 1, 0, 3, 2], [4, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 3], [7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0], [6, 7, 4, 5, 2, 3, 0, 1]];ACTUAL declared group identity=1 操作後 ALL [g,e*g,g*e,both_equal_g] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是], [6, 6, 6, 是], [7, 7, 7, 是]];two-sided group identity=是 條件：無 群表的e*g與g*e兩側都須等g；這裡不把作用點的e*x=x當群identity證書。 步驟識別與依賴規則：groupaction_group_identity_both_sides_not_action_identity · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 0];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是], [6, 6, 6, 是], [7, 7, 7, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 1];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 2, 2, 是], [4, 5, 5, 是], [5, 4, 4, 是], [6, 7, 7, 是], [7, 6, 6, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 2];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是], [4, 6, 6, 是], [5, 7, 7, 是], [6, 4, 4, 是], [7, 5, 5, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 3];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 0, 0, 是], [4, 7, 7, 是], [5, 6, 6, 是], [6, 5, 5, 是], [7, 4, 4, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 4];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 4, 4, 是], [1, 5, 5, 是], [2, 6, 6, 是], [3, 7, 7, 是], [4, 0, 0, 是], [5, 1, 1, 是], [6, 2, 2, 是], [7, 3, 3, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 5];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 5, 5, 是], [1, 4, 4, 是], [2, 7, 7, 是], [3, 6, 6, 是], [4, 1, 1, 是], [5, 0, 0, 是], [6, 3, 3, 是], [7, 2, 2, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 6];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 6, 6, 是], [1, 7, 7, 是], [2, 4, 4, 是], [3, 5, 5, 是], [4, 2, 2, 是], [5, 3, 3, 是], [6, 0, 0, 是], [7, 1, 1, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 7];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 7, 7, 是], [1, 6, 6, 是], [2, 5, 5, 是], [3, 4, 4, 是], [4, 3, 3, 是], [5, 2, 2, 是], [6, 1, 1, 是], [7, 0, 0, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 0];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 2, 2, 是], [4, 5, 5, 是], [5, 4, 4, 是], [6, 7, 7, 是], [7, 6, 6, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 1];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是], [6, 6, 6, 是], [7, 7, 7, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 2];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 0, 0, 是], [4, 7, 7, 是], [5, 6, 6, 是], [6, 5, 5, 是], [7, 4, 4, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 3];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是], [4, 6, 6, 是], [5, 7, 7, 是], [6, 4, 4, 是], [7, 5, 5, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 4];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 5, 5, 是], [1, 4, 4, 是], [2, 7, 7, 是], [3, 6, 6, 是], [4, 1, 1, 是], [5, 0, 0, 是], [6, 3, 3, 是], [7, 2, 2, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 5];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 4, 4, 是], [1, 5, 5, 是], [2, 6, 6, 是], [3, 7, 7, 是], [4, 0, 0, 是], [5, 1, 1, 是], [6, 2, 2, 是], [7, 3, 3, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 6];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 7, 7, 是], [1, 6, 6, 是], [2, 5, 5, 是], [3, 4, 4, 是], [4, 3, 3, 是], [5, 2, 2, 是], [6, 1, 1, 是], [7, 0, 0, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 7];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 6, 6, 是], [1, 7, 7, 是], [2, 4, 4, 是], [3, 5, 5, 是], [4, 2, 2, 是], [5, 3, 3, 是], [6, 0, 0, 是], [7, 1, 1, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[2, 0];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是], [4, 6, 6, 是], [5, 7, 7, 是], [6, 4, 4, 是], [7, 5, 5, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[2, 1];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 0, 0, 是], [4, 7, 7, 是], [5, 6, 6, 是], [6, 5, 5, 是], [7, 4, 4, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[2, 2];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是], [6, 6, 6, 是], [7, 7, 7, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[2, 3];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 2, 2, 是], [4, 5, 5, 是], [5, 4, 4, 是], [6, 7, 7, 是], [7, 6, 6, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[2, 4];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 6, 6, 是], [1, 7, 7, 是], [2, 4, 4, 是], [3, 5, 5, 是], [4, 2, 2, 是], [5, 3, 3, 是], [6, 0, 0, 是], [7, 1, 1, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[2, 5];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 7, 7, 是], [1, 6, 6, 是], [2, 5, 5, 是], [3, 4, 4, 是], [4, 3, 3, 是], [5, 2, 2, 是], [6, 1, 1, 是], [7, 0, 0, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[2, 6];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 4, 4, 是], [1, 5, 5, 是], [2, 6, 6, 是], [3, 7, 7, 是], [4, 0, 0, 是], [5, 1, 1, 是], [6, 2, 2, 是], [7, 3, 3, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[2, 7];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 5, 5, 是], [1, 4, 4, 是], [2, 7, 7, 是], [3, 6, 6, 是], [4, 1, 1, 是], [5, 0, 0, 是], [6, 3, 3, 是], [7, 2, 2, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[3, 0];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 0, 0, 是], [4, 7, 7, 是], [5, 6, 6, 是], [6, 5, 5, 是], [7, 4, 4, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[3, 1];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是], [4, 6, 6, 是], [5, 7, 7, 是], [6, 4, 4, 是], [7, 5, 5, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[3, 2];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 2, 2, 是], [4, 5, 5, 是], [5, 4, 4, 是], [6, 7, 7, 是], [7, 6, 6, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[3, 3];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是], [6, 6, 6, 是], [7, 7, 7, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[3, 4];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 7, 7, 是], [1, 6, 6, 是], [2, 5, 5, 是], [3, 4, 4, 是], [4, 3, 3, 是], [5, 2, 2, 是], [6, 1, 1, 是], [7, 0, 0, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[3, 5];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 6, 6, 是], [1, 7, 7, 是], [2, 4, 4, 是], [3, 5, 5, 是], [4, 2, 2, 是], [5, 3, 3, 是], [6, 0, 0, 是], [7, 1, 1, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[3, 6];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 5, 5, 是], [1, 4, 4, 是], [2, 7, 7, 是], [3, 6, 6, 是], [4, 1, 1, 是], [5, 0, 0, 是], [6, 3, 3, 是], [7, 2, 2, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[3, 7];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 4, 4, 是], [1, 5, 5, 是], [2, 6, 6, 是], [3, 7, 7, 是], [4, 0, 0, 是], [5, 1, 1, 是], [6, 2, 2, 是], [7, 3, 3, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[4, 0];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 4, 4, 是], [1, 5, 5, 是], [2, 6, 6, 是], [3, 7, 7, 是], [4, 0, 0, 是], [5, 1, 1, 是], [6, 2, 2, 是], [7, 3, 3, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S034 S036 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[4, 1];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 5, 5, 是], [1, 4, 4, 是], [2, 7, 7, 是], [3, 6, 6, 是], [4, 1, 1, 是], [5, 0, 0, 是], [6, 3, 3, 是], [7, 2, 2, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[4, 2];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 6, 6, 是], [1, 7, 7, 是], [2, 4, 4, 是], [3, 5, 5, 是], [4, 2, 2, 是], [5, 3, 3, 是], [6, 0, 0, 是], [7, 1, 1, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[4, 3];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 7, 7, 是], [1, 6, 6, 是], [2, 5, 5, 是], [3, 4, 4, 是], [4, 3, 3, 是], [5, 2, 2, 是], [6, 1, 1, 是], [7, 0, 0, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S037 S039 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[4, 4];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是], [6, 6, 6, 是], [7, 7, 7, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S038 S040 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[4, 5];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 2, 2, 是], [4, 5, 5, 是], [5, 4, 4, 是], [6, 7, 7, 是], [7, 6, 6, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S039 S041 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[4, 6];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是], [4, 6, 6, 是], [5, 7, 7, 是], [6, 4, 4, 是], [7, 5, 5, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S040 S042 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[4, 7];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 0, 0, 是], [4, 7, 7, 是], [5, 6, 6, 是], [6, 5, 5, 是], [7, 4, 4, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S041 S043 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[5, 0];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 5, 5, 是], [1, 4, 4, 是], [2, 7, 7, 是], [3, 6, 6, 是], [4, 1, 1, 是], [5, 0, 0, 是], [6, 3, 3, 是], [7, 2, 2, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[5, 1];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 4, 4, 是], [1, 5, 5, 是], [2, 6, 6, 是], [3, 7, 7, 是], [4, 0, 0, 是], [5, 1, 1, 是], [6, 2, 2, 是], [7, 3, 3, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S043 S045 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[5, 2];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 7, 7, 是], [1, 6, 6, 是], [2, 5, 5, 是], [3, 4, 4, 是], [4, 3, 3, 是], [5, 2, 2, 是], [6, 1, 1, 是], [7, 0, 0, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S044 S046 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[5, 3];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 6, 6, 是], [1, 7, 7, 是], [2, 4, 4, 是], [3, 5, 5, 是], [4, 2, 2, 是], [5, 3, 3, 是], [6, 0, 0, 是], [7, 1, 1, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S045 S047 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[5, 4];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 2, 2, 是], [4, 5, 5, 是], [5, 4, 4, 是], [6, 7, 7, 是], [7, 6, 6, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S046 S048 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[5, 5];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是], [6, 6, 6, 是], [7, 7, 7, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S047 S049 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[5, 6];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 0, 0, 是], [4, 7, 7, 是], [5, 6, 6, 是], [6, 5, 5, 是], [7, 4, 4, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S048 S050 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[5, 7];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是], [4, 6, 6, 是], [5, 7, 7, 是], [6, 4, 4, 是], [7, 5, 5, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S049 S051 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[6, 0];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 6, 6, 是], [1, 7, 7, 是], [2, 4, 4, 是], [3, 5, 5, 是], [4, 2, 2, 是], [5, 3, 3, 是], [6, 0, 0, 是], [7, 1, 1, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S050 S052 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[6, 1];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 7, 7, 是], [1, 6, 6, 是], [2, 5, 5, 是], [3, 4, 4, 是], [4, 3, 3, 是], [5, 2, 2, 是], [6, 1, 1, 是], [7, 0, 0, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S051 S053 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[6, 2];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 4, 4, 是], [1, 5, 5, 是], [2, 6, 6, 是], [3, 7, 7, 是], [4, 0, 0, 是], [5, 1, 1, 是], [6, 2, 2, 是], [7, 3, 3, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S052 S054 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[6, 3];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 5, 5, 是], [1, 4, 4, 是], [2, 7, 7, 是], [3, 6, 6, 是], [4, 1, 1, 是], [5, 0, 0, 是], [6, 3, 3, 是], [7, 2, 2, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S053 S055 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[6, 4];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是], [4, 6, 6, 是], [5, 7, 7, 是], [6, 4, 4, 是], [7, 5, 5, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S054 S056 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[6, 5];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 0, 0, 是], [4, 7, 7, 是], [5, 6, 6, 是], [6, 5, 5, 是], [7, 4, 4, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S055 S057 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[6, 6];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是], [6, 6, 6, 是], [7, 7, 7, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S056 S058 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[6, 7];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 2, 2, 是], [4, 5, 5, 是], [5, 4, 4, 是], [6, 7, 7, 是], [7, 6, 6, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S057 S059 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[7, 0];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 7, 7, 是], [1, 6, 6, 是], [2, 5, 5, 是], [3, 4, 4, 是], [4, 3, 3, 是], [5, 2, 2, 是], [6, 1, 1, 是], [7, 0, 0, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S058 S060 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[7, 1];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 6, 6, 是], [1, 7, 7, 是], [2, 4, 4, 是], [3, 5, 5, 是], [4, 2, 2, 是], [5, 3, 3, 是], [6, 0, 0, 是], [7, 1, 1, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S059 S061 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[7, 2];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 5, 5, 是], [1, 4, 4, 是], [2, 7, 7, 是], [3, 6, 6, 是], [4, 1, 1, 是], [5, 0, 0, 是], [6, 3, 3, 是], [7, 2, 2, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S060 S062 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[7, 3];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 4, 4, 是], [1, 5, 5, 是], [2, 6, 6, 是], [3, 7, 7, 是], [4, 0, 0, 是], [5, 1, 1, 是], [6, 2, 2, 是], [7, 3, 3, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S061 S063 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[7, 4];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 0, 0, 是], [4, 7, 7, 是], [5, 6, 6, 是], [6, 5, 5, 是], [7, 4, 4, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S062 S064 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[7, 5];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是], [4, 6, 6, 是], [5, 7, 7, 是], [6, 4, 4, 是], [7, 5, 5, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S063 S065 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[7, 6];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 2, 2, 是], [4, 5, 5, 是], [5, 4, 4, 是], [6, 7, 7, 是], [7, 6, 6, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S064 S066 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[7, 7];check ALL k in Fin(8) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是], [6, 6, 6, 是], [7, 7, 7, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S065 S067 · implies操作前 ORIGINAL group element g=0;DECLARED identity=1;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 0, 0, 否], [2, 3, 3, 否], [3, 2, 2, 否], [4, 5, 5, 否], [5, 4, 4, 否], [6, 7, 7, 否], [7, 6, 6, 否]] 操作後 first actual two-sided inverse witness=0;exists=是 條件：無 每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。 步驟識別與依賴規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S066 S068 · implies操作前 ORIGINAL group element g=1;DECLARED identity=1;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 0, 0, 否], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 否], [3, 3, 3, 否], [4, 4, 4, 否], [5, 5, 5, 否], [6, 6, 6, 否], [7, 7, 7, 否]] 操作後 first actual two-sided inverse witness=1;exists=是 條件：無 每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。 步驟識別與依賴規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S067 S069 · implies操作前 ORIGINAL group element g=2;DECLARED identity=1;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 3, 3, 否], [1, 2, 2, 否], [2, 1, 1, 是], [3, 0, 0, 否], [4, 7, 7, 否], [5, 6, 6, 否], [6, 5, 5, 否], [7, 4, 4, 否]] 操作後 first actual two-sided inverse witness=2;exists=是 條件：無 每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。 步驟識別與依賴規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S068 S070 · implies操作前 ORIGINAL group element g=3;DECLARED identity=1;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 2, 2, 否], [1, 3, 3, 否], [2, 0, 0, 否], [3, 1, 1, 是], [4, 6, 6, 否], [5, 7, 7, 否], [6, 4, 4, 否], [7, 5, 5, 否]] 操作後 first actual two-sided inverse witness=3;exists=是 條件：無 每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。 步驟識別與依賴規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S069 S071 · implies操作前 ORIGINAL group element g=4;DECLARED identity=1;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 5, 5, 否], [1, 4, 4, 否], [2, 7, 7, 否], [3, 6, 6, 否], [4, 1, 1, 是], [5, 0, 0, 否], [6, 3, 3, 否], [7, 2, 2, 否]] 操作後 first actual two-sided inverse witness=4;exists=是 條件：無 每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。 步驟識別與依賴規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S070 S072 · implies操作前 ORIGINAL group element g=5;DECLARED identity=1;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 4, 4, 否], [1, 5, 5, 否], [2, 6, 6, 否], [3, 7, 7, 否], [4, 0, 0, 否], [5, 1, 1, 是], [6, 2, 2, 否], [7, 3, 3, 否]] 操作後 first actual two-sided inverse witness=5;exists=是 條件：無 每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。 步驟識別與依賴規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S071 S073 · implies操作前 ORIGINAL group element g=6;DECLARED identity=1;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 7, 7, 否], [1, 6, 6, 否], [2, 5, 5, 否], [3, 4, 4, 否], [4, 3, 3, 否], [5, 2, 2, 否], [6, 1, 1, 是], [7, 0, 0, 否]] 操作後 first actual two-sided inverse witness=6;exists=是 條件：無 每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。 步驟識別與依賴規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S072 S074 · implies操作前 ORIGINAL group element g=7;DECLARED identity=1;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 6, 6, 否], [1, 7, 7, 否], [2, 4, 4, 否], [3, 5, 5, 否], [4, 2, 2, 否], [5, 3, 3, 否], [6, 0, 0, 否], [7, 1, 1, 是]] 操作後 first actual two-sided inverse witness=7;exists=是 條件：無 每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。 步驟識別與依賴規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S073 S075 · implies操作前 structurally closed COMPLETE group candidate;two-sided identity=是;ALL-triple associativity=是;ALL-element inverses=是 操作後 group_valid=是 is the CONJUNCTION;False remains a reported candidate result,not a silent repair 條件：無 完整三項責任合取才是群資格。即使作用表看似排列，壞group table也不會因此變群；不自行換identity或修表。 步驟識別與依賴規則：groupaction_group_axiom_conjunction_candidate_may_fail · 依賴：G001, S074 S076 · implies操作前 CURRENT ORIGINAL complete Cayley table=[[1, 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [3, 2, 1, 0, 7, 6, 5, 4], [2, 3, 0, 1, 6, 7, 4, 5], [5, 4, 7, 6, 1, 0, 3, 2], [4, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 3], [7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0], [6, 7, 4, 5, 2, 3, 0, 1]];actual identity=1;order=8 操作後 ALL group axioms qualified;actual inverse list=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7];no point carrier or group-action assumption is used 條件：無 群表本身先完整驗閉合、identity、associativity、雙邊inverse；不套舊作用表的8元素限制，也不假設cyclic或commutative。純舊函式只代入本題表與trace。 步驟識別與依賴規則：group_CURRENT_complete_certified_Cayley_NOT_action_wrapper · 依賴：G001, S075 S077 · implies操作前 Cauchy ORIGINAL element0:ORIGINAL element=0;positive exponent=1;previous power=1;right multiply ORIGINAL g via table 操作後 g^1=0;identity=1;is_identity=否;all earlier POSITIVE powers are nonidentity 條件：無 從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。 步驟識別與依賴規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S076 S078 · implies操作前 Cauchy ORIGINAL element0:ORIGINAL element=0;positive exponent=2;previous power=0;right multiply ORIGINAL g via table 操作後 g^2=1;identity=1;is_identity=是;all earlier POSITIVE powers are nonidentity 條件：無 從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。 步驟識別與依賴規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S077 S079 · implies操作前 Cauchy ORIGINAL element0:CURRENT certified group order=8,element=0;ALL powers through first return=[[1, 0], [2, 1]] 操作後 exact positive order=2;cyclic powers before repetition form a subgroup of this size;its equal-size left cosets partition G,so this order divides group order 條件：無 有限群中e,g,…,g^|G|必重複，消去較小冪得正回返≤|G|。最小回返之前的冪互異，按exponent mod order乘法／inverse封閉；其left cosets給整除理由，不是從一個冪的等式猜order。 步驟識別與依賴規則：cauchy_finite_order_exists_and_cyclic_subgroup_divisibility · 依賴：G001, S078 S080 · implies操作前 Cauchy ORIGINAL element1:ORIGINAL element=1;positive exponent=1;previous power=1;right multiply ORIGINAL g via table 操作後 g^1=1;identity=1;is_identity=是;all earlier POSITIVE powers are nonidentity 條件：無 從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。 步驟識別與依賴規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S079 S081 · implies操作前 Cauchy ORIGINAL element1:CURRENT certified group order=8,element=1;ALL powers through first return=[[1, 1]] 操作後 exact positive order=1;cyclic powers before repetition form a subgroup of this size;its equal-size left cosets partition G,so this order divides group order 條件：無 有限群中e,g,…,g^|G|必重複，消去較小冪得正回返≤|G|。最小回返之前的冪互異，按exponent mod order乘法／inverse封閉；其left cosets給整除理由，不是從一個冪的等式猜order。 步驟識別與依賴規則：cauchy_finite_order_exists_and_cyclic_subgroup_divisibility · 依賴：G001, S080 S082 · implies操作前 Cauchy ORIGINAL element2:ORIGINAL element=2;positive exponent=1;previous power=1;right multiply ORIGINAL g via table 操作後 g^1=2;identity=1;is_identity=否;all earlier POSITIVE powers are nonidentity 條件：無 從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。 步驟識別與依賴規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S081 S083 · implies操作前 Cauchy ORIGINAL element2:ORIGINAL element=2;positive exponent=2;previous power=2;right multiply ORIGINAL g via table 操作後 g^2=1;identity=1;is_identity=是;all earlier POSITIVE powers are nonidentity 條件：無 從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。 步驟識別與依賴規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S082 S084 · implies操作前 Cauchy ORIGINAL element2:CURRENT certified group order=8,element=2;ALL powers through first return=[[1, 2], [2, 1]] 操作後 exact positive order=2;cyclic powers before repetition form a subgroup of this size;its equal-size left cosets partition G,so this order divides group order 條件：無 有限群中e,g,…,g^|G|必重複，消去較小冪得正回返≤|G|。最小回返之前的冪互異，按exponent mod order乘法／inverse封閉；其left cosets給整除理由，不是從一個冪的等式猜order。 步驟識別與依賴規則：cauchy_finite_order_exists_and_cyclic_subgroup_divisibility · 依賴：G001, S083 S085 · implies操作前 Cauchy ORIGINAL element3:ORIGINAL element=3;positive exponent=1;previous power=1;right multiply ORIGINAL g via table 操作後 g^1=3;identity=1;is_identity=否;all earlier POSITIVE powers are nonidentity 條件：無 從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。 步驟識別與依賴規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S084 S086 · implies操作前 Cauchy ORIGINAL element3:ORIGINAL element=3;positive exponent=2;previous power=3;right multiply ORIGINAL g via table 操作後 g^2=1;identity=1;is_identity=是;all earlier POSITIVE powers are nonidentity 條件：無 從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。 步驟識別與依賴規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S085 S087 · implies操作前 Cauchy ORIGINAL element3:CURRENT certified group order=8,element=3;ALL powers through first return=[[1, 3], [2, 1]] 操作後 exact positive order=2;cyclic powers before repetition form a subgroup of this size;its equal-size left cosets partition G,so this order divides group order 條件：無 有限群中e,g,…,g^|G|必重複，消去較小冪得正回返≤|G|。最小回返之前的冪互異，按exponent mod order乘法／inverse封閉；其left cosets給整除理由，不是從一個冪的等式猜order。 步驟識別與依賴規則：cauchy_finite_order_exists_and_cyclic_subgroup_divisibility · 依賴：G001, S086 S088 · implies操作前 Cauchy ORIGINAL element4:ORIGINAL element=4;positive exponent=1;previous power=1;right multiply ORIGINAL g via table 操作後 g^1=4;identity=1;is_identity=否;all earlier POSITIVE powers are nonidentity 條件：無 從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。 步驟識別與依賴規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S087 S089 · implies操作前 Cauchy ORIGINAL element4:ORIGINAL element=4;positive exponent=2;previous power=4;right multiply ORIGINAL g via table 操作後 g^2=1;identity=1;is_identity=是;all earlier POSITIVE powers are nonidentity 條件：無 從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。 步驟識別與依賴規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S088 S090 · implies操作前 Cauchy ORIGINAL element4:CURRENT certified group order=8,element=4;ALL powers through first return=[[1, 4], [2, 1]] 操作後 exact positive order=2;cyclic powers before repetition form a subgroup of this size;its equal-size left cosets partition G,so this order divides group order 條件：無 有限群中e,g,…,g^|G|必重複，消去較小冪得正回返≤|G|。最小回返之前的冪互異，按exponent mod order乘法／inverse封閉；其left cosets給整除理由，不是從一個冪的等式猜order。 步驟識別與依賴規則：cauchy_finite_order_exists_and_cyclic_subgroup_divisibility · 依賴：G001, S089 S091 · implies操作前 Cauchy ORIGINAL element5:ORIGINAL element=5;positive exponent=1;previous power=1;right multiply ORIGINAL g via table 操作後 g^1=5;identity=1;is_identity=否;all earlier POSITIVE powers are nonidentity 條件：無 從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。 步驟識別與依賴規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S090 S092 · implies操作前 Cauchy ORIGINAL element5:ORIGINAL element=5;positive exponent=2;previous power=5;right multiply ORIGINAL g via table 操作後 g^2=1;identity=1;is_identity=是;all earlier POSITIVE powers are nonidentity 條件：無 從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。 步驟識別與依賴規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S091 S093 · implies操作前 Cauchy ORIGINAL element5:CURRENT certified group order=8,element=5;ALL powers through first return=[[1, 5], [2, 1]] 操作後 exact positive order=2;cyclic powers before repetition form a subgroup of this size;its equal-size left cosets partition G,so this order divides group order 條件：無 有限群中e,g,…,g^|G|必重複，消去較小冪得正回返≤|G|。最小回返之前的冪互異，按exponent mod order乘法／inverse封閉；其left cosets給整除理由，不是從一個冪的等式猜order。 步驟識別與依賴規則：cauchy_finite_order_exists_and_cyclic_subgroup_divisibility · 依賴：G001, S092 S094 · implies操作前 Cauchy ORIGINAL element6:ORIGINAL element=6;positive exponent=1;previous power=1;right multiply ORIGINAL g via table 操作後 g^1=6;identity=1;is_identity=否;all earlier POSITIVE powers are nonidentity 條件：無 從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。 步驟識別與依賴規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S093 S095 · implies操作前 Cauchy ORIGINAL element6:ORIGINAL element=6;positive exponent=2;previous power=6;right multiply ORIGINAL g via table 操作後 g^2=1;identity=1;is_identity=是;all earlier POSITIVE powers are nonidentity 條件：無 從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。 步驟識別與依賴規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S094 S096 · implies操作前 Cauchy ORIGINAL element6:CURRENT certified group order=8,element=6;ALL powers through first return=[[1, 6], [2, 1]] 操作後 exact positive order=2;cyclic powers before repetition form a subgroup of this size;its equal-size left cosets partition G,so this order divides group order 條件：無 有限群中e,g,…,g^|G|必重複，消去較小冪得正回返≤|G|。最小回返之前的冪互異，按exponent mod order乘法／inverse封閉；其left cosets給整除理由，不是從一個冪的等式猜order。 步驟識別與依賴規則：cauchy_finite_order_exists_and_cyclic_subgroup_divisibility · 依賴：G001, S095 S097 · implies操作前 Cauchy ORIGINAL element7:ORIGINAL element=7;positive exponent=1;previous power=1;right multiply ORIGINAL g via table 操作後 g^1=7;identity=1;is_identity=否;all earlier POSITIVE powers are nonidentity 條件：無 從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。 步驟識別與依賴規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S096 S098 · implies操作前 Cauchy ORIGINAL element7:ORIGINAL element=7;positive exponent=2;previous power=7;right multiply ORIGINAL g via table 操作後 g^2=1;identity=1;is_identity=是;all earlier POSITIVE powers are nonidentity 條件：無 從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。 步驟識別與依賴規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S097 S099 · implies操作前 Cauchy ORIGINAL element7:CURRENT certified group order=8,element=7;ALL powers through first return=[[1, 7], [2, 1]] 操作後 exact positive order=2;cyclic powers before repetition form a subgroup of this size;its equal-size left cosets partition G,so this order divides group order 條件：無 有限群中e,g,…,g^|G|必重複，消去較小冪得正回返≤|G|。最小回返之前的冪互異，按exponent mod order乘法／inverse封閉；其left cosets給整除理由，不是從一個冪的等式猜order。 步驟識別與依賴規則：cauchy_finite_order_exists_and_cyclic_subgroup_divisibility · 依賴：G001, S098 S100 · implies操作前 Cauchy ORIGINAL composite divisor:ORIGINAL integer=8;complete possible trial divisors=[2] 操作後 ALL [divisor,remainder] rows=[[2, 0]];prime=否;a composite>1 has a factor at most its square root 條件：無 逐完整平方根範圍核整除；prime2的範圍為空而通過，0/1不通過。不能由少數取樣、平方表或Euler判準代替此資格。 步驟識別與依賴規則：finite_prime_ALL_trial_divisors_through_square_root · 依賴：G001, S099 S101 · implies操作前 CURRENT group order=8;ORIGINAL composite divisor=8;COMPLETE element-order rows=[[0, 2], [1, 1], [2, 2], [3, 2], [4, 2], [5, 2], [6, 2], [7, 2]] 操作後 divisor divides order=是;exists element of requested order=否 in THIS complete group;not a claim composite element orders never occur 條件：無 必須真整除且完整表真找不到該階，才是反例；其他群可以有合數階元素，不由此模型否定它們。這也不在討論同階subgroup是否存在。 步驟識別與依賴規則：cauchy_composite_counterexample_ACTUAL_absence_not_general_negation · 依賴：G001, S100 ## 逐步反向核對 - S101 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S100 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S099 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S098 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S097 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S096 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S095 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S094 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S093 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S092 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S091 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S090 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S089 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S088 · 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semantic review receipt SHA-256: 357d7ad7a6726b2a757558d3b9586a408ade06526cc023da093719c292704438 - question-first witness SHA-256: 99cefe17e98c7a74321801cf72df6d02fc95b6a6b78aa335accb7e11ed467b2a - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261112-r01-cauchy-theorem-finite-groups-0081.json)