# 第 24006 題：Taylor多項式 [返回所在分頁 121](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/121/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261112-r02-taylor-polynomial-foundations/#q-20261014-advance-20261112-r02-taylor-polynomial-0031) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0047-24006 · q-20261014-advance-20261112-r02-taylor-polynomial-0031 ## 原題與已知條件 固定center、nonnegative order與完整zero-through-n derivative jet。操作=taylor-coefficient-construction；資料={"derivatives":[6,12,18,24],"center":-7,"order":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 固定center、nonnegative order與完整zero-through-n derivative jet。操作=taylor-coefficient-construction；資料={"derivatives":[6,12,18,24],"center":-7,"order":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-taylor-polynomial](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-taylor-polynomial/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [taylor-coefficient-construction] 操作後 derived = [[center, order, shifted_coefficients, indexed_coefficients, certificate]] 條件：無 本頁列完整來源欄序，不需JavaScript；gradient boundary依原mode選6／8／7欄，不補欄也不由答案猜mode。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [-7, 3, [6, 12, 18, 24]] 操作後 derived = [[0, 1, 2, 3], 4, 是] 條件：無 原題把這些數據指定為同一函數在同一a的各階導數；數字清單並不驗證未知函數可微。0階是f(a)。 步驟識別與依賴規則：Taylor_assumed_complete_derivative_jet_not_differentiability_test · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [0] 操作後 derived = [1] 條件：無 0!是空乘積1，不是0。 步驟識別與依賴規則：empty_factorial_is_multiplicative_unit · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Taylor coefficient0 derivative over factorial := div(6, 1) 操作後 Taylor coefficient0 derivative over factorial = 6 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Taylor k1 factorial step1 := mul(1, 1) 操作後 Taylor k1 factorial step1 = 1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Taylor coefficient1 derivative over factorial := div(12, 1) 操作後 Taylor coefficient1 derivative over factorial = 12 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Taylor k2 factorial step1 := mul(1, 1) 操作後 Taylor k2 factorial step1 = 1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Taylor k2 factorial step2 := mul(1, 2) 操作後 Taylor k2 factorial step2 = 2 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Taylor coefficient2 derivative over factorial := div(18, 2) 操作後 Taylor coefficient2 derivative over factorial = 9 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Taylor k3 factorial step1 := mul(1, 1) 操作後 Taylor k3 factorial step1 = 1 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Taylor k3 factorial step2 := mul(1, 2) 操作後 Taylor k3 factorial step2 = 2 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Taylor k3 factorial step3 := mul(2, 3) 操作後 Taylor k3 factorial step3 = 6 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Taylor coefficient3 derivative over factorial := div(24, 6) 操作後 Taylor coefficient3 derivative over factorial = 4 條件：無 依原題角色與已證中間量精確代值；分母先核非零，不以近似數替代。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 source roles = [-7, 3, [6, 12, 9, 4]] 操作後 derived = [T_n(x)=sum c_k*(x-center)^k, T_n^(j)(center)=declared derivative[j] for EVERY0<=j<=n, no remainder or infinite-series certificate] 條件：無 在中心逐j求導，kj仍含正次(x-a)而為0，唯k=j留下j!c_j；這證完整jet匹配。n=0保常數f(a)，不自動給原函數等式或餘項界。 步驟識別與依賴規則：Taylor_shifted_basis_matches_derivatives_ALL_orders · 依賴：G001, S013 ## 逐步反向核對 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor coefficient3 derivative over factorial，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor k3 factorial step3，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor k3 factorial step2，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor k3 factorial step1，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor coefficient2 derivative over factorial，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor k2 factorial step2，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor k2 factorial step1，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor coefficient1 derivative over factorial，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor k1 factorial step1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Taylor coefficient0 derivative over factorial，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (-7, 3, [6, 12, 9, 4], [[0, 6], [1, 12], [2, 9], [3, 4]], coefficient_k_equals_derivative_k_over_k_factorial) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 234be15f4721d2bf662cadf08c697d93f351747e91b0ba2cac8d6e0a0e9cef55 - candidate record SHA-256: ab8732a7f80958977b076007446730ab8d1604e66272e23584aba18f385bff71 - semantic review receipt SHA-256: 9b43b9823e9bd2478d6caa5b57ffed161c2c8956af86974e901d5662ad994386 - question-first witness SHA-256: eb97596068e2d5648033bab2b8f6ca9b653bbe8cb77c0f8e1d16d0c40e46f50b - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261112-r02-taylor-polynomial-0031.json)